欧拉公式的应用

滨州学院本科毕业设计（论文）PAGEPAGEI滨州学院毕业设计（论文）题目欧拉公式的应用系（院）数学与信息科学系专业数学与应用数学班级2004级本科四班学生姓名杨明证学号2004040635指导教师徐化忠职称讲师2008年04月18日欧拉公式的应用摘要本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便．关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数Euler'sFormulafortheApplicationAbstractThistextfirstintroducedtheEuler'sformulaandthegeneralizedEuler'sformula,andthenbrieflydiscussedthecharacteristicsoftheEuler'sformula.TheformoftheEuler'sformulaisnumerous,andtheapplicationoftheEuler'sformulaisextensive,thistextresearchestheEuler'sformulaintheTriangleFunctionindetail,theEuler'sformulaintheapplicationofthetrigonometricseries、thedemonstrationofthetrigonometricidentity,thesolutionoftheproblemsofthetrigonometry、thesearchofthecomplicatedtriangle,thecomplextriangulartransformationcanbeavoided,theproblemscanberesolvedwithmorevisualizedalgebraicoperation.Ontheotherhand,theuseofthedecreasingpowersoftheEuler'sformulacanexpressthesinefunctionandthecosinefunctionofhigher-powerasthealgebraicadditionofthefunctionofthefirstpower,Toovercometheinconvenienceofthehigh-powerfunctionincomputation.Keywords:Euler'sformulatrigonometricfunctionseriesofdecreasingpowerstriangularnumbers目录摘要 IAbstract II目录 i一、绪论 1二、欧拉公式的证明、特点、作用 1三、欧拉公式在三角函数中的应用 4(一)倍角和半角的三角变换 4(二)积化和差与差化积的三角变换 5(三)求三角表达式的值 5(四)证明三角恒等式 6(五)解三角方程 7(六)利用公式求三角级数的和 7(七)探求一些复杂的三角关系式 8(八)解决一些方程根的问题 9(九)欧拉公式大降幂 10（十）三角函数的求积 14结束语 16致谢 17参考文献 18一、绪论欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、、欧拉积分等多种形式．由于欧拉公式有多种形式，在数学领域中的应用范围很广，本文只介绍欧拉公式的一种形式“”以及这种形式在数学中的应用．二、欧拉公式的证明、特点、作用1748年，欧拉在其著作中陈述出公式，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁．同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便．下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化，并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用，在高等数学中的部分应用．欧拉公式它的证明有各种不同的证明方法，好多《复变函数》教科书上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的．下面我们介绍一种新的证明方法：极限法．证明令．首先证明．因为，所以．从而．令，则．把视为连续变量，由洛必达法则有．即．令，则．故．其次证明．因为的主值支，所以，而，故．于是便证得：．欧拉公式还可以推广到以下形式：已知欧拉公式其中为实数，则由式得则得：得：又因为由此便得出最重要的四个公式．这些公式具有以下特点：实质上，这些公式给出了三角函数的复指数形式，故代入三角变换中，便将三角运算化为指数函数的代数运算，使三角运算从多种思考方法化为单一思考方法，从而降低了三角变换的难度．观察这几个公式，与互为倒数，积为1，这一过程常常在证明过程中被应用．在以上公式的推导过程中，分别令，得到以下式子：．欧拉公式的桥梁作用:(1)纯虚指数值可以通过三角函数值来计算例如，，，，．由欧拉公式可以看出，在复数域内，指数函数是周期函数，具有基本周期．(2)任何实数的三角函数可以用纯虚指数表示，从而通过指数函数来研究三角函数的性质．在欧拉公式中用代替，则．由，得到，由上式容易看出正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．(3)引出复数的指数表示法，从而使得复数的表示法增加为代数形式、三角形式和指数形式三种形式，便于我们酌情使用．三欧拉公式在三角函数中的应用(一)倍角和半角的三角变换在此类型的题目中，大都用到以下两个技巧：及．例1求证证左 右所以原式成立．(二)积化和差与差化积的三角变换例2计算：解.所以原式等于．(三)求三角表达式的值例3已知，求的值:解原式由代入上式消去原式对所以原式．(四)证明三角恒等式例4证明为方便计算令,原式变为证明左边右边左边．例5求证：证明而．(五)解三角方程例6解方程解把代入得：．由欧拉公式得：，经整理得：，，,，．所以，代入式得到，由此即得到方程的解．(六)利用公式求三角级数的和在三角级数中，按常规方法求和常常是很麻烦的，有时甚至求不出结果．而欧拉公式：，很好的解决了这类问题．例7求三角级数的前几项和．解．(七)探求一些复杂的三角关系式例8试把和分别表示成的线形组合．解，注意到，得到，故有在式中用代替得到(八)解决一些方程根的问题例9证明方程至多有个根．证明令，设，则，,那么：故是关于的次多项式，所以由代数学基本定理知：方程至多有个根．例10设都是实常数，，若是方程的两个根，，不全为零．证明：．证明令，．则化为．由三角不等式知，所以复常数同理复常数又分别满足方程，即，．可见的系数行列式，从而必存在整数使得．(九)欧拉公式大降幂在高等数学中常会遇到高次幂的正余弦函数，这些函数在计算上很不方便，欧拉公式可把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和，克服了高次幂函数在运算上的不方便．首先我们先介绍一下欧拉公式在三角函数中的降幂使用．1正弦大降幂：．．．综上：正弦大降幂规则如下括号前的系数视的奇偶而定；当时系数为，当时系数为．括号内符号正负相同；当时括号内各项均为余弦，依次为．当时，括号内各项均为正弦，依次为，．2余弦大降幂．综上：余弦大降幂规则如下：括号前的系数为；括号内全部是号；括号内各项均为余弦；当时，依次为当时，依次为．3正余弦大降幂的应用(1)求傅里叶级数例11求的傅立叶级数解由于是为周期的连续函数，所以它的傅立叶级数展开式唯一，即：．(2)求阶导数例12求的阶导数解(3)求积分例13求例14求解令，则：，，在上的值，．（十）三角函数的求积例15不查表，计算解．（十一）条件等式的证明例16已知均为锐角且，．求证．证明由，得到得：．由三角变换得：，因为均为锐角，所以也为锐角，即知，所以原式得证．结束语欧拉公式在数学的许多定理和计算中,有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来,为我们研究这两种函数的相关运算及其性质架起了一座桥梁．本文通过实例的形式说明欧拉公式在三角函数中的应用,在求三角表达式的值、证明三角恒等式、解决一些方程根的问题、求三角级数的和、解决高次幂的三角函数时,都应用到了欧拉公式,从而避免了复杂的三角变换,使得问题迎刃而解,在三角中的应用能够利用较为直观代数运算使得问题得到解决．在探求一些复杂的三角关系时,如果不借助欧拉公式,而试图通过纯三角运算直接推导这些关系是相当麻烦的．本文在介绍欧拉公式时给出了欧拉公式的证明,应用到了极限的方法,不同于其它的定义复变指数函数和复变三角函数进行证明的方法．但不可避免的是：欧拉公式在证明某些恒等式时，却相对增加了计算量．因此，在证明三角恒等式时，要具体问题具体分析．致谢本文从拟订题目到定稿，历时数月．在本论文完成之际，首先要向我的指导老师徐化忠老师致以诚挚的谢意．徐老师在本次写作过程中悉心指导，并在论文资料方面以及论文的结构格式和论文的修改方面给予了宝贵提议，在此表示由衷的感谢！同时他对工作的积极热情、认真负责、有条不紊、实事求是的态度，给我留下了深刻的印象，使我受益非浅．在此我谨向徐老师表示忠心的感谢和深深的敬意．同时，我要感谢学院领导、学院老师的关心与大力支持．在论文的写作过程中受到了学校领导、数学系领导的高度重视与老师们的鼎立帮助．特别是在论文资料的搜集查阅，学院领导为我们卖进了大量的文献资料，系里还为我们免费开放了数学建模实验室，为同学们的资料查询与论文打印提供了极大的方便，在此表示衷心的感谢！在本次写作过程中还得到了图书馆老师们和同学们的热心帮助，特别是在论文资料的搜集查阅，他们给了我无私的帮助和支持，在此深表谢意．最后，向我的家人和朋友表示深深的谢意，他们给予我的爱、理解、关心和支持是我不断前进的动力．学无止境．明天，将是我终身学习另一天的开始．参考文献