9.1 三角形 课件 2023-2024学年华东师大版数学七年级下册

第9章多边形9.1

三角形9.1.1认识三角形第1课时

三角形的有关概念华东师大版数学七年级下册问题引入埃及金字塔

水分子结构示意图飞机机翼问题：(1)从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑

物到微小的分子结构，都有什么样的形状？(2)在我们的生活中有没有这样的形状呢？试举例.三角形的概念

有三条线段，三个角边：线段

AB，BC，CA是三角形的边.顶点：点

A，B，C是三角形的顶点.角：∠A,∠B,∠C叫作三角形的内角，简称三角形的角.问题

1：观察三角形的形成过程，说一说什么叫三角形?定义：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫作三角形.问题

2：三角形中有几条线段?有几个角?A

B

C

记法：三角形

ABC用符号表示为________.边的表示：三角形

ABC的边

AB、AC和

BC可用小写

字母分别表示为________.△ABCc，b，a边

c边

b边

a顶点

C角角角顶点

A顶点

B辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？为什么？不符合不符合不符合①

位置关系：不在同一直线上；②

连接方式：首尾相接.三角形应满足以下两个条件：要点提醒表示方法：

三角形用符号“△”表示，如三角形

ABC

可记作“△ABC”，读作“三角形

ABC”，此外

△ABC

还可记作

△BCA，△CAB，△ACB

等.基本要素：三角形的边：边

AB、BC、CA；三角形的顶点：顶点

A、B、C；三角形的内角(简称为三角形的角)：∠A、∠B、∠C.特别规定：三角形

ABC中，顶点A所对的边记作

a，顶点B所对的边记作

b，顶点C所对的边记作

c.找一找：（1）图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．

ABCDE5个，分别是△ABE，△ABC，△BCE，△BCD，△ECD.（2）以

AB为边的三角形有哪些？△ABC，△ABE.（3）以

E为顶点的三角形有哪些？△ABE，△BCE，△CDE.（4）以∠D为角的三角形有哪些？△BCD，△DEC.（5）说出

△BCD的三个角和三个顶点所对的边.△BCD的三个角是∠BCD、∠D

和∠CBD.ABCDE顶点

B所对的边为

DC，顶点

C所对的边为

BD，顶点

D所对的边为

BC.问题

3：

如图，把△ABC的一边

BC延长，得到

∠ACD.它与

△ABC有和联系呢？

像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.

对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内角.D

三角形的分类问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？锐角三角形直角三角形钝角三角形

由图可发现，在三角形中，所有角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形.(1)等腰三角形和等边三角形的区别是什么?(2)从边上来说，除了等腰三角形和等边三角形还有

什么样的三角形?(3)根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等.三边都不相等的三角形.问题2：如果以三角形边的元素的不同，三角形该如何

分类呢？等边三角形等腰三角形不等边三角形（顶角（底角（底角按是否有边相等分三角形不等边三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形按内角大小分三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形腰底边三角形定义及其基本要素顶点、角、边分类按角分类按边分类分类不重不漏9.1

三角形9.1.1认识三角形第2课时

三角形中的重要线段华东师大版数学七年级下册复习回顾1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条，怎么画？只能画一条.2.已知

△ABC

中，BC=5cm，高

AD=4cm，求

△ABC的

面积.三角形的高问题1

什么是三角形的高？怎样画三角形的高？定义如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.问题2

由三角形的高你能得到什么结论？∠ADB=∠ADC=90°ABCD垂足注意：标明垂直的记号和垂足的字母.ABCDEFABCDABCDEF画图发现三角形的三条高交于一点.（1）锐角三角形的高交于三角形内一点；（2）直角三角形的高交于直角的顶点；（3）钝角三角形的高交于三角形外一点.O(E,F)O画一画如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？三角形的中线问题

1

如图，如果点

C是线段

AB的中点，你能得到什么结论？ACBAC=BC=AB定义：如图，连接△ABC的顶点

A和它所对的边

BC的中点

D，所得线段

AD叫做△ABC的边

BC上的中线.问题

2

如图，如果点

D是线段

BC的中点，那么线段

AD就称为

△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线.ABC想一想：由三角形的中线能得到什么结论？BD=CD=BCD画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？画图发现

三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心.ABCABCABCDEFDDEFEFOOO问题

3

如图，在

△ABC中，AD是

△ABC的中线，AE是

△ABC的高．试判断

△ABD和

△ACD的面积有什么关系，为什么？BCDEA答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.问题

4

通过问题

3你能发现什么规律？答：三角形的中线能将三角形的面积平分.三角形的角平分线问题

1

如图，若

OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ACBO∠AOC=∠BOC想一想：三角形的角平分线与角的平分线相同吗?相同点是：

∠ABD=∠CBD；不同点是：前者是线段，后者是射线.问题

2

如图，在△ABC中，如果∠BAC的平分线

AD

交

BC边于点

D，我们就称

AD

是

△ABC

的角平分线．类比探索三角形的高和中线的过程，你能得到哪些结论？BCDA((答：三角形的三条角平分线交于三角形内一点.典例精析例1如图，已知

AD，AE分别是

△ABC的高和中线，

AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，试求：(1)△ABE的面积；(2)△ACE和

△ABE的周长的差.ABCDE解：(1)即

AD=4.8.(2)∵AE是

△ABC的中线，∴BE=CE.

∴△ACE

和

△ABE的周长的差

=（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)=AC+AE+CE-AB-AE-BE=AC-AB=8-6=2(cm)

重要发现

三角形中线

AE把原三角形分成的两个三角形的周长差就是

AC

与

AB

的差.ABCDE例2如图，在△ABC中，请作图

(1)画出

△ABC的

∠C的平分线；

(2)画出

△ABC的边

AC上的中线；

(3)画出

△ABC的边

BC上的高.ABCDEF答：如图，CF是一条角平

分线；BE是

AC边上的中线；AD是边

BC上的高.

画高要标明垂直符号.三角形的角平分线，中线及高都要画成线段.注意1.下列各组图形，哪一组图形中

AD是△ABC的

BC边上的高(

)ADCBABCDABCDABCDABCDD解：∵

CD是△ABC

的中线，

∴

BD=AD.

∵

BC-

AC=5cm，

∴△DBC与△ADC的周长差是

5cm.

又∵△DBC

的周长为

25cm，

∴△ADC的周长为

25-

5=20(cm).2.如图，在△ABC中，CD是中线，已知

BC-

AC=5cm，

△DBC

的周长为

25cm，求△ADC的周长.ADBC3.如图是一张三角形纸片，请你动手画出它的BC边上的中线，BC边上的高，∠A

的平分线.ABCD

AD为中线（BD=DC）E

AE为高（AE⊥BC）))AF

为∠A的平分线（∠BAF=∠CAF）F能力提升：王大爷有一块三角形的菜地，现在要将它们平均分给四个儿子，在菜地的一角

A

处有一口池塘，为了使分开后的四块菜地都能就近取水，王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？如果不考虑水源，你认为还可以怎样分?A（思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.）三角形的重要线段高钝角三角形两短边上的高的画法中线会把原三角形的面积平分一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差角平分线是线段，不是射线9.1

三角形9.1.2

三角形的内角和与外角和华东师大版数学七年级下册将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？

折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角.可以将∠A，∠B剪下并移至顶点

C处拼接成一个角.ABC三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观察与思考三角形的内角和

如图，经过

△ABC

一顶点

A

作直线

B'C'，使得

B'C'∥BC.则

，所以

∠B+∠BAC+∠C=180°.又观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.由此得到：

三角形的内角和等于180°.你还能想出其它的方法推出这个结论吗？思考：多种方法证明三角形内角和等于180°

的核心是什么？借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.CAB12345lACB12345lP6mABCDE例1

在

△ABC

中，∠A

的度数是

∠B

的度数的3倍，∠C

比

∠B

大15°，求

∠A，∠B，∠C的度数.解:设

∠B为

x°，则

∠A为(3x)°，∠C为(x＋

15)°，从而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.几何问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.典例精析例2

如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-

∠B

-

∠BAD=180°-75°-

20°=85°.问题1：如图，在直角△ABC

中，∠C

=90°，两锐角的和等于多少呢？在直角△ABC

中，∠C

=

90°，

由三角形内角和定理，得∠A+∠B+

∠C

=180°，故∠A+∠B

=

90°.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？直角三角形的内角性质ABC直角三角形的两个锐角互余．应用格式：在

Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形

ABC

可以写成

Rt△ABC．总结归纳例

3

如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点

E.∠CAE与

∠DBE有什么关系？为什么？ABCDE在

Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在

Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.解：∠CAE=∠DBE.理由如下：三角形的外角的性质问题

1

在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？

我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.因为∠ACD+∠ACB=180°，

∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD

-

∠A

-

∠B=0（等量减等量，差相等）于是∠ACD=∠A+∠B.由此得到：2.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度数.解：因为∠B+∠C=∠CAD，所以∠C=∠CAD

-

∠B，

所以∠C=100°

-

30°=70°.做一做解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.问题2

如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ABCEFD((((((213你还有其他解法吗？解法二：如图，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1

+∠2

+∠3=180°，①+②+③得∠BAE

+∠CBF

+∠ACD+(∠1

+∠2

+∠3)=540°，所以∠BAE

+∠CBF

+∠ACD=540°-180°=360°.ABCEFD((((((213要点归纳三角形的外角和等于

360°.ABCEFD((((((213∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.典例精析例4

(一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.ABCD(((51°20°30°思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.解法一：连接

AD并延长到点

E.在△ABD中，∠1+∠B=∠3，在△ACD中，∠2+∠C=∠4.∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C

=51°

+20°

+30°

=101°.ABCD((20°30°E

))12)3)4你发现了什么结论？解法二：延长

BD交

AC于点

E.在△ABE中，∠1=∠B+∠A，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠C.∴∠BDC=∠A+∠B+∠C

=51°

+20°

+30°

=101°.ABCD(((51°20°30°E

)1解法三：连接

CD并延长交

AB于

F(解题过程同解法二).)2F

解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.总结ABCD(((132(重要发现：∠BDC=∠1+∠2+∠3.三角形的内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于

180°三角形的外角定义角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线性质推论1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角和三角形的外角和等于

360°推论2：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角9.1

三角形9.1.3

三角形的三边关系华东师大版数学七年级下册观察与思考我要到学校怎么走呀？哪一条路最近呀？为什么？邮局学校商店小明家小明合作探究三角形的三边关系ABC路线1：从

A到

C再到

B的路线走；路线2：沿线