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文档简介

1.3.3矩阵范数（2）齐次性

（3）三角不等式则称函数为上的一个矩阵范数。以及任意复常数即对任意矩阵

和

上的一个非负实值函数，记为，若该函数满足以下条件：

定义在（1）非负性

当且仅当

时

0³A（4）相容性定义1.2〔1-23〕(1-24)我们分别称由〔1-23〕和〔1-24〕所定义的范数为矩阵的

-范数和Frobenius范数（F-范数）．范数的例子定义1.6如果对任意m×n矩阵A

和任意n

维向量x,满足与向量范数则称矩阵范数相容.任意一种相容的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数．矩阵的F-范数与向量的2-范数是相容的．对于一种矩阵范数和一种向量范数范数与向量的1-范数是相容的.矩阵的

算子范数

(1-25)定理1.4，已知和上的同类向量范数，定义简称附属范数或算子范数.由关系式（1-25）定义的矩阵范数称为从属向量范数的矩阵范数.则是一种矩阵范数,且与向量范数相容．

由(1-25)可得因此能够找到向量证与向量范数的相容性有界闭集上的连续函数，存在性是对每一个矩阵而言，易证中的下面证明是一种矩阵范数．(1)非负性显然(2)齐次性,使得，而且(3)三角不等式，使得

假设满足，则存在.(4)相容性时显然。设和分别为m×l因此和l×n阶矩阵，存在,满足并且,使得在向量范数中，最常用的范数为向量的1-范数、2-范数和∞-范数，下面分别导出从属这三种向量范数的矩阵范数．

(列范数)(行范数)

〔1〕〔2〕〔3〕〔谱范数〕定理1.5设，那么

如果，则取,

.

综上,对任何算子范数，单位矩阵的范数值为1，即推论事实上，又，不是算子范数。事实上，设求例2解：

令得满足矩阵范数的性质为矩阵空间的任一种矩阵范数，均有

设则对任意的n

阶方阵

〔1-26〕定理1.6证，那么有从而得到．设问实值函数可不可以作为一种范数？注意：当时，取，那么有；从而故不可以作为一种范数。

上的一种

〔1-27〕注：定理1.7中的矩阵范数与给定的矩阵有关。针对矩阵构造的矩阵范数对于另一个矩阵，不等式不一定成立。

定理1.7对于任给的存在

（依赖矩阵算子范数和常数ε），使得

(1-28)定理1.8

整理后便可得到(1-12)式。证由定理1.6知，设为矩阵的任意特征值，则矩阵的特征值

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