高中专题复习及考试要求 第六章 平面向量与复数 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用

第3节平面向量的数量积及平面向量的应用考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.平面向量数量积的有关概念知

识

梳

理|a||b|cosθ|b|cosθ2.平面向量数量积的性质及其坐标表示3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.[常用结论与微点提醒]1.向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别.2.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.3.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)解析

(1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.答案(1)×

(2)√

(3)√

(4)×2.(老教材必修4P108AT1改编)设a，b是非零向量.“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(

) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cosθ＝|a|·|b|，所以cosθ＝1，即a与b的夹角为0°，故a∥b.

当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°，

所以a·b＝|a|·|b|cosθ＝±|a|·|b|，

所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件.

答案Ab·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.答案D答案C答案D6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.

解析由题意得a＋b＝(m－1，3)，

因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.

答案7考点一平面向量的数量积运算＝15－10－12＋6＝－1.解析(1)如图，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2.答案(1)－1

(2)A规律方法平面向量数量积的三种运算方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.提醒解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.解析(1)因为|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，角度1垂直问题考点二平面向量数量积的应用多维探究答案A规律方法两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为可视零向量与任意向量垂直.角度2长度问题答案(1)B

(2)D∴(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝16，∴|a－2b|＝4.角度3夹角问题解析由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2.答案B解析(1)由a⊥b，得a·b＝0.又∵a＝(－4，3)，b＝(6，m)，∴－4×6＋3m＝0，解得m＝8.(2)由a⊥b，得a·b＝－2(2m－1)＋2(3m－2)＝0，解得m＝1，∴a＝(1，2)，b＝(－2，1)，∴2a－3b＝(2，4)－(－6，3)＝(8，1)，考点三平面向量与三角函数解得c＝1，c＝－7(舍去)，规律方法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求解.因为a2＝b2＋c2－2bccosA，所以12＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，赢得高分巧用解析法解平面向量压轴题平面向量问题一般有两种解决方法：一是利用平面向量基本定理选择基底，利用向量的线性运算解决；二是通过建立坐标系转化为代数运算解决.思维升华对比以上两种方法，你会发现第二种解法，即解析法思路更加简单，解析法可能不是最快的解题方法，但一定是思路最简单的方法，这种方法可能运算繁琐，但和线性运算相比，可大大减少思路卡壳的可能.法二以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.数学运算、数学建模——平面向量与三角形的“四心”1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范、细致运算的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本专题通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.类型1平面向量与三角形的“重心”∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.答案

C类型2平面向量与三角形的“内心”问题解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面