第2章平面体系的几何组成分析

第2章平面体系的几何组成分析●本章教学的根本要求：掌握几何不变体系、几何可变体系、刚片、自由度、约束、必要约束与多余约束、实铰与虚铰的概念；了解平面体系的计算自由度及其计算方法；掌握平面几何不变体系的根本组成规那么及其运用；了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。●本章教学内容的重点：几何不变体系的根本组成规那么及其运用；静定结构与超静定结构的概念。●本章教学内容的难点：灵活运用三个根本组成规那么分析平面体系的几何组成性质。AllRightsReserved精选ppt2.1几何不变体系和几何可变体系2.2几何组成分析的几个概念2.3平面体系的计算自由度2.4平面几何不变体系的根本组成规那么2.5几何可变体系2.6几何组成分析的方法及例如2.7静定结构与超静定结构●

本章内容简介:第2章平面体系的几何组成分析AllRightsReserved精选ppt2.1几何不变体系和几何可变体系2.1.1几何不变体系和几何可变体系1.几何不变体系——受到荷载等外因作用后，假设不考虑材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。D

FP

FPAABBA1EIEI1=∞弹性变形几何不变体系例如AllRightsReserved精选ppt2.几何可变体系——受到荷载等外因作用后，由于刚体运动，其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。ABEI1=∞FPA1A2刚体位移2.1.1几何不变体系和几何可变体系2.1几何不变体系和几何可变体系几何可变体系例如几何可变体系例如几何可变体系例如AllRightsReserved精选ppt2.1.2造成几何可变的原因1.内部构造不健全：如图a所示，由两个铰结三角形组成的桁架，本为几何不变体系；但假设从其内部抽掉一根桁杆CB，如图b所示，那么当结点C处作用FP时，该桁架杆件之间将产生刚性位移，即变成了几何可变体系。a)几何不变体系b)几何可变体系ABCDABCDC1D1FPFP2.1几何不变体系和几何可变体系AllRightsReserved精选ppt2.外部支承不恰当：如图a所示简支梁，本为几何不变体系；但假设将A端水平支杆移至C处并竖向设置，如图b所示，那么在图示FP作用下，梁AB将相对于地基发生刚性平移，即变成了几何可变体系。a)几何不变体系b)几何可变体系ABFPFPAA1BB1CC12.1.2造成几何可变的原因2.1几何不变体系和几何可变体系AllRightsReserved精选ppt2.1.3几何组成分析的目的结构必须是几何不变体系才能承担荷载。几何组成分析的目的：主要就是要检查并设法保证结构是几何不变体系；2.1几何不变体系和几何可变体系AllRightsReserved精选ppt2.2.2自由度体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为该体系的自由度。平面内一个点的自由度为2。平面内一根杆件〔一个刚片〕的自由度为3xxyyAA1Dx

DyABA1B1DxDyDq

OO2.2几何组成分析的几个概念2.2.1刚片体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一杆件〔或体系中一几何不变局部〕均可看为一个刚体，一个平面刚体称为一个刚片。AllRightsReserved精选ppt2.2.3约束减少自由度的装置称为约束〔或联系〕。可以减少1个自由度的装置是1个约束。杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰支座和固定支座，称为外部约束；杆件之间常用的约束是链杆、铰结和刚结，称为内部约束。1.链杆的约束作用

1根链杆相当于1个约束。IIIAB2.2几何组成分析的几个概念AllRightsReserved精选ppt2.铰的约束作用

(1)单铰〔连接两个刚片的铰〕1个单铰相当于2个约束,减少2个自由度。(2)复铰〔连接两个刚片以上的铰〕连接n个刚片的复铰可折算成〔n-1〕个单铰，相当于2(n-1)个约束。AIIIIIIIIIq1

q2qA2.2几何组成分析的几个概念AllRightsReserved精选ppt3.刚结的约束作用(1)单刚结〔连接两个刚片的刚结〕1个单刚结相当于3个约束,减少3个自由度。(2)复刚结〔连接两个以上的刚片的刚结〕连接n个刚片的复刚结可折算成〔n-1〕个单刚结，相当于3(n-1)个约束。IIIIIIIIIAAABCDEA左A右2.2几何组成分析的几个概念AllRightsReserved精选ppt2.2.4必要约束和多余约束1.必要约束在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随之变化，那么此约束称为必要约束。2.多余约束在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目并不因此而改变，那么此约束称为多余约束。a)无多余约束b)有多余约束c)有多余约束AA①①①②②②④③③③BBC2.2几何组成分析的几个概念AllRightsReserved精选ppt2.2.5实铰和虚铰1.实铰

2.虚铰〔瞬铰〕【注意】形成虚铰的两链杆必须连接相同的两个刚片。IIIIIIAAIIIAAABBBCCCDDD①①①②②②O(虚铰)O(虚铰)相交于无穷远处(虚铰)2.2几何组成分析的几个概念AllRightsReserved精选ppt2.3平面体系的计算自由度2.3.1体系的实际自由度S与计算自由度W的定义1.体系的实际自由度S

体系是由对象〔刚片或铰结点部件〕加上约束组成的。令体系的实际自由度为S，各对象的自由度总和为a，必要约束数为c，那么

S＝a–c

2.体系的计算自由度W

将上式中的必要约束数c改为全部约束数d，那么

W＝a–d

只有当体系的全部约束中没有多余约束时，体系的计算自由度W才等于实际自由度S。AllRightsReserved精选ppt2.3平面体系的计算自由度2.3.1体系的实际自由度S与计算自由度W的关系3.体系的多余约束数n

体系的必要约束数c与多余约束数n之间有如下关系

n＝d–c

4.计算自由度W≤

实际自由度S

证明：因为

W＝a–d=a–c–n=S–n而n≥0，因此W＝S–n≤S。AllRightsReserved精选ppt2.3.2平面体系的计算自由度1.刚片体系的计算自由度

W＝3m-(3g+2h+r)其中：m为个刚片个数；g为单刚结个数，h为单铰结个数，r为与地基之间参加的支杆数。以刚片为对象，以地基为参照物，其刚片体系的计算自由度为2.3平面体系的计算自由度AllRightsReserved精选ppt(2)计入m的刚片，其内部应无多余约束。如果遇到内部有多余约束的刚片，那么应把它变成内部无多余约束的刚片，而把它的附加约束在计算体系的“全部约束数〞d时考虑进去。a)b)c)d)图a是内部没有多余约束的刚片，而图b、c、d那么是内局部别有1、2、3个多余约束的刚片，它们可以看作在图a的刚片内局部别附加了一根链杆或一个铰结或一个刚结。(1)地基是参照物，不计入m中。在应用公式时，应注意以下几点：2.3平面体系的计算自由度AllRightsReserved精选ppt(3)刚片与刚片之间的刚结或铰结数目〔复刚结或复铰结应折算为单刚结或单铰结数目〕计入g和h。(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和h，而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。2.3平面体系的计算自由度AllRightsReserved精选ppt【例2-1】试求图示体系的计算自由度W。

解：m=9，g=3，h=8,r=6W=3m-(3g+2h+r)=3×9-(3×3+2×8+6)=-4m1

m2(3)h(1)hm3m4m5m6m7m8m9(1)h

(3)h(3)g(3)r(3)r2.3平面体系的计算自由度AllRightsReserved精选ppt【例2-2】试求图示体系的计算自由度。解：m=9，g=4，h=7，

r=3W=3m-(3g+2h+r)=3×9-(3×4+2×7+3)=-22.3平面体系的计算自由度AllRightsReserved精选ppt【例】试求图示体系的计算自由度。解：m=9，g=6，h=4，

r=9W=3m-(3g+2h+r)=3×9-(3×6+2×4+9)=-8m1m2m3m4m5m6m7m8m9(1)h(1)h(1)h(1)g(1)g(2)g(2)g(1)h(3)r(3)r(3)r2.3平面体系的计算自由度AllRightsReserved精选ppt2.铰接链杆体系的计算自由度

W=2j-(b+r)其中：j为体系的铰结数；b为链杆数为；r为支杆数。【注意】在计算j时，但凡链杆的端点，都应当算作结点，而且无论一个铰结点上连接几根链杆，都只以1计入j中；在计算b和r时，链杆与支杆应当区别开来，因为链杆是内部约束，而支杆那么是外部约束，二者不可混淆。2.3平面体系的计算自由度AllRightsReserved精选ppt【例2-3】试求图2-12所示体系的计算自由度。解：在该体系中，4、5两处除应算作结点外，同时还都是固定铰支座。因此，该体系的铰结数j=5，链杆数b=4，支杆数r=6。故由公式(2-4)，可得W=2j-(b+r)=2×5-(4+6)=0451232.3平面体系的计算自由度AllRightsReserved精选ppt2.3.3体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系先求出图示各体系的W。可看出存在以下三种情况：(1)W>0时，体系缺少必要的约束，具有运动自由度，为几何可变体系。S≥W>0，即S>0，体系几何可变。2.3平面体系的计算自由度a)W=1>0b)W=0c)W=-1<0AllRightsReserved精选ppt

(2)W=0时，体系具有成为几何不变体系所必须的最少约束数目，但体系不一定是几何不变的。S≥W=0，即S≥

0，体系几何组成性质不确定。2.3.3体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系2.3平面体系的计算自由度a)W=1>0b)W=0c)W=-1<0AllRightsReserved精选ppt

(3)W<0时，体系有多余约束，但体系也不一定是几何不变的。S≥W，但S不可能为负值，即S≥0，体系几何组成性质不确定。2.3.3体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系2.3平面体系的计算自由度a)W=1>0b)W=0c)W=-1<0AllRightsReserved精选ppt(2)假设W≤0，只说明具有几何不变的必要条件，但不是充分条件。因为体系是否几何不变还取决于约束的布置是否合理。(1)假设W＞0，体系一定是几何可变的。由此可知：2.3平面体系的计算自由度2.3.3体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系a)W=1>0b)W=0c)W=-1<0AllRightsReserved精选ppt2.4平面几何不变体系的根本组成规那么2.4.1二元体规那么〔固定一点规那么〕——一个点与一个刚片的联结方式总规那么：铰结三角形是几何不变的。规那么Ⅰ：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，那么组成内部几何不变且无多余约束的体系。IBC③②AAllRightsReserved精选ppt用两根不共线的链杆联结(开展)一个新结点的构造，称为二元体。于是，规那么Ⅰ也可用二元体的组成表述为：由二元体的性质可知：在一个体系上依次加上〔或取消〕假设干个二元体，不影响原体系的几何可变性。这一结论常为几何组成分析带来方便。②②②①①①AAA2.4.1二元体规那么

在一个刚片上，增加一个二元体，仍为几何不变，且无多余约束的体系。2.4平面几何不变体系的根本组成规那么AllRightsReserved精选ppt2.4.2两刚片规那么——平面内两个刚片的联结方式规那么Ⅱ〔表述之一〕：两刚片用一铰和一链杆相连，且链杆及其延线不通过铰，那么组成内部几何不变且无多余约束的体系。规那么Ⅱ〔表述之二〕：两个刚片用三个链杆相连，且三根链杆不全交于一点也不全平行，那么组成内部几何不变且无多余约束的体系。ABC③③③②IIIIIIIAABBCC①②2.4平面几何不变体系的根本组成规那么AllRightsReserved精选ppt2.4.3三刚片规那么——平面内三个刚片的联结方式规那么Ⅲ：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线上，那么组成内部几何不变且无多余约束的体系。IIIIIIABC2.4平面几何不变体系的根本组成规那么AllRightsReserved精选ppt

【小结】1)二元体规则：（不共线）伸出两杆发展结点3)三刚片规则：三个铰链不共一线2)二刚片规则：（铰可“实”可“虚”）一铰一杆铰心勿穿三根链杆不交一点2.4平面几何不变体系的根本组成规那么或AllRightsReserved精选ppt2.5几何可变体系由于约束布置不当，可以持续发生大的刚体运动的体系，称为几何常变体系。2.5.1当两个刚片互相联结时1.三根链杆，常交一点——几何常变体系

O虚铰a)几何常变体系b)几何常变体系c)几何瞬变体系d)几何瞬变体系

(三根链杆平行且等长)

(三根连杆平行但不等长)IIIIIIIIIIIIq1q2q3DDD只能瞬时绕虚铰产生微小运动的体系，称为几何瞬变体系。AllRightsReserved精选ppt2.三根链杆，瞬交一点——几何瞬变体系

2.5.1当两个刚片互相联结时2.5几何可变体系O虚铰a)几何常变体系b)几何常变体系c)几何瞬变体系d)几何瞬变体系

(三根链杆平行且等长)

(三根连杆平行但不等长)IIIIIIIIIIIIq1q2q3DDDAllRightsReserved精选ppt2.5.2当三个刚片互相联结时假设三个铰链共在一线，那么该体系即为几何可变体系〔视约束布置具体情况，可判定其为几何瞬变体系或几何常变体系〕。(1)假设三铰共线，且全是有限远铰，那么体系必为几何瞬变。2.5几何可变体系AllRightsReserved精选ppt(2)假设三铰共线，且局部或全部是无穷远虚铰，那么体系可能为几何瞬变或几何常变。2.5几何可变体系AllRightsReserved精选ppt当三个虚铰均在无穷远处时，它们是否共线呢？根据射影几何学原理，平面上不同方向的所有无穷远点的集，是一条直线，称为无穷远直线〔而一切有限远点均不在此直线上〕。因此，三个无穷远虚铰均在此直线上，它们共线。2.5几何可变体系【讨论】瞬变体系的静力特征

IIIIII(地基)AA1BCqqqql

lA1FP

FPFNFN

图示体系为瞬变体系。杆件AB与AC在A点有一段公切线，在FP作用下，可以产生微小线位移AA1及相应的微小转角q。

AllRightsReserved精选ppt取结点A为隔离体，如下图。由∑Fy=0，得FP＝2FNsinqFN＝FP/2sinq

当q→0时，FN→∞。这说明，该几何瞬变体系在有限力的作用下，杆件会产生无穷大的内力。几何常变体系和几何瞬变体系在工程结构中一般不采用。2.5几何可变体系IIIIII(地基)AA1BCqqqql

lA1FP

FPFNFNAllRightsReserved精选ppt2.6几何组成分析的方法及例如2.6.1解题步骤1.用公式法计算W求体系的计算自由度W，假设W＞0〔缺少约束〕，那么为几何常变体系；假设W≤0，那么体系满足几何不变的必要条件，尚须继续进行如下几何组成分析。2.直接进行几何组成分析(1)简化：有二元体，可依次取消〔仅分析余下的局部〕；凡本身几何不变且无多余约束的局部，可看为一个刚片〔有时也将地基看作一个刚片〕。AllRightsReserved精选ppt(2)根据三条根本规那么，判定体系的几何可变性：假设体系是由并列之二、三刚片组成，那么可对照根本规那么Ⅱ、Ⅲ分析判断；假设体系为多层多跨结构，那么应先分析根本结构，再分析附属结构。(3)注意：一是约束的等效代换，可将二链杆看作一个铰〔虚铰〕，一个形状复杂的刚片如果仅有两个单铰与其它局部连接也可化作一直线链杆；二是找出“根本——附属〞体系中的第一个构造单元。2.6.1解题步骤2.6几何组成分析的方法及例如AllRightsReserved精选ppt3.答案要肯定：应为以下四种情况之一。2.6.1解题步骤2.6几何组成分析的方法及例如(1)几何不变且无多余约束的体系；(2)几何不变但有(几个?)多余约束的体系;(3)几何常变体系；(4)几何瞬变体系。AllRightsReserved精选ppt【例2-4】试对图示体系进行几何组成分析。解：根据二元体规那么，如下图，依次取消二元体1，2，…，8，只剩下地基，故原体系几何不变，且无多余约束。当然，也可以通过在地基上依次添加二元体8,7，…，1而形成图a原体系，答案完全相同。A

BCDEFGHIJK123456782.6几何组成分析的方法及例如AllRightsReserved精选ppt【例2-5】试对图示体系进行几何组成分析。解：首先，依次取消二元体1，2，3；其次，将几何局部ACD和BCE分别看作刚片I和刚片II，该二刚片用一铰〔铰C〕和一杆〔杆DE〕相连，组成几何不变的一个新的大刚片ABC。当然，也可将DE看作刚片III，那么刚片I、II、III用三个铰〔铰C、D、E〕两两相连，同样组成新的大刚片ABC；第三，该大刚片ABC与地基刚片IV之间用一铰〔铰A〕和一杆〔B处支杆〕相连，组成几何不变且无多余约束的体系。2.6几何组成分析的方法及例如(b)(a)221133ABCDEIⅡ(Ⅲ)Ⅳ(地基)AllRightsReserved精选ppt【例2-6】试对图示体系进行几何组成分析。解：首先找出第一个构造单元，它是由刚片I、II、III〔地基〕用三铰A、B、C两两相连所组成的几何不变的新的大刚片ABC；其次，该大刚片与刚片IV用一铰一链杆相连，组成更大刚片ABCDE；第三，该更大刚片与刚片V用两个铰〔铰F、G〕相连，组成几何不变，但有一个多余约束的体系。(b)(a)AABBCCDDEEFFGGIIIIII(地基)IVV2.6几何组成分析的方法及例如AllRightsReserved精选ppt解：首先，取消二元体FEG；其次，地基扩大刚片I与刚片II用一铰〔铰B〕一链杆〔杆①〕相连，组成地基扩大新刚片ABC；第三，该新刚片与刚片III用三杆②、③、④相连，组成几何不变且无多余约束的体系。【例2-7】试对图示体系进行几何组成分析。(a)(b)AABBCCDDEEGGFFI(地基扩大刚片)IIIII①②③④2.6几何组成分析的方法及例如AllRightsReserved精选ppt【例2-8】试对图a所示体系进行几何组成分析。解：首先，依次取消二元体1、2；其次，分析所余局部，除刚片I、II之外，还有7根链杆，假设选择其中一杆视为刚片III，那么三刚片之间共有6根杆，形成不共线的三个虚铰即[I，II]、[I，III]和[II，III]，组成内部几何不变且无多余约束的体系。(a)(b)1234567891012IIIIII[I，II][I，III][II，III]2.6几何组成分析的方法及例如AllRightsReserved精选ppt【例2-9】试对图示体系进行几何组成分析。解：首先，进行简化，将“不变局部，并为一杆〔刚片〕〞，其中刚片I、III分别按三刚片规那么和二元体规那么组成；其次，对刚片I、II、III进行几何组成分析，该三刚片用不共线的三铰〔铰A、B、C〕两两相连，组成几何不变体系，但有一个多余约束〔杆AD〕。IABCDEFGHJKABCDIIIIII2.6几何组成分析的方法及例如AllRightsReserved精选ppt解：当一个体系的支杆多于三根时，常运用三刚片规那么进行分析。本例假设按常规以铰结三角形124、235和地基为刚片，那么分析将无