巧用补形法解平面几何题

巧用补形法解平面几何题王立文王兴林补形法就是根据题设的条件和图形，经过观察、分析和联想，运用添加辅助线的方法，将其拓展为范围更广的、其特征更明显、更为熟悉的几何图形，从而沟通条件和结论之间的联系．下面就补形法，谈谈它在解平面几何题中的应用．一、补成直角三角形例1如图1，四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，CD=1，AB=2，求BC、AD的长。解：延长BC交AD的延长线于E。∵∠A=60°，∠B=90°，∴∠E=30°在△CED中，∵∠CDE=∠ADC=90°，CD=1，∴CE=2CD=2，DE=。在△AEB中，同理有：AE=2AB=4，。∴BC=BE－EC=2－2，AD=AE－DE=4－。二、补成等腰三角形例2：如图2，△ABC中，，∠ABC的平分线交AC于E，CD⊥BE于D，求证：BE=ED。证明：延长BA交CD的延长线于F。易证△BCF是等腰三角形〔ASA〕。∴。∵，∴。作DG∥CA交BF于点G。∴，∴BE=ED。三、补成等边三角形例3如图3，凸五边形ABCDE，有∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，求这个五边形的面积。简解延长DE、BA相交于K，延长DC、AB相交于M。易知△DKM为等边三角形。S五边形ABCDE=S等边三角形DKM－2S等边三角形AKE=四、补成平行四边形例4如图4，六边形ABCDEF中，假设∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°，且AB+BC=11，AF－CD=3，求BC+DE的长。解：延长FA、CB交于点P，延长CD、FE交于点Q。∵∠A=∠B=120°，∴∠PAB=∠PBA=60°，∴∠P=60°，∴△ABP是等边三角形。同理可得：△DEQ是等边三角形。∴∠P=∠Q=60°。∵∠C=∠F=120°，∴四边形PCQF为平行四边形。∴PF=CQ。于是PA+AF=CD+DQ，∴AF－CD=DQ－PA=DE－AB。∵AF－CD=3，∴DE－AB=3。∵AB+BC=11，∴BC+DE=14。五、补成矩形例5如图5，在四边形ABCD中，∠BCD=∠CDA=120°，BC=5，CD=4，DA=6，求AB的长。解：过D作BC延长线的垂线，垂足为M，过点A作MD延长线的垂线，垂足为N，过B作NA延长线的垂线，垂足为P，那么四边形PBMN为矩形。由及含30°角的直角三角形的性质。又∵CM=2，DM=，AN=3，。∴AP=5+2－3=4。BP=DM=DN=。∴。六、补成正方形例6在△ABC中，AD⊥BC，∠BAC=45°，BD=2cm，CD=3cm，求△ABC的面积。解：如图6，作△ABD，△ACD关于AB、AC对称的△ABE、△ACH，延长FB、HC交于F，那么四边形AHFE是正方形。设AD=x，知正方形的边长等于x，CF=HF－CH=x－3，BF=EF－BE=x－2。在Rt△BCF中，，∴，解得x=6。∴S△ABC=·AD七、补成圆形例7：如图7，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AC=AD=3，BC=2，求对角线BD的长。解：以A为圆心，AB长为半径作⊙A。∵AB=AC=AD=3，∴C、D两点也在⊙A上。延长BA交⊙A于E，那么BE=2AB=6。∵AB∥DC，∴。∴DE=BC=2。又∵BE为⊙A的直径，∴∠BDE=90°。∴BD=。年级初中