机械制图平面的投影及相对位置

1.4平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直线上的三个点●●●●●●abca

b

c

abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线*●●●●●●abca

b

c

平面图形1、用几何元素表示平面直线及线外一点.2.迹线表示法(见书本P33)

空间平面与投影面的交线叫平面的迹线。平面P与H面的交线为水平迹线PH，与V面的交线为正面迹线PV，与W面的交线为侧面迹线PW。.平行垂直倾斜实形性类似性积聚性⒈平面对一个投影面的投影特性二、平面的投影平面//投影面投影反映实形面平面⊥投影面投影积聚成直线平面∠投影面投影类似原平面.⒉各种位置平面的投影(三类七种情况)投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜铅垂面(⊥H)正垂面(⊥V)侧垂面(⊥W)水平面(//H)正平面(//V)侧平面(//W).VWHPPH

铅垂面投影特性：1.abc积聚为一条线，与OX、OYH的夹角反映

、

角；

2.a

b

c

、a

b

c

为

ABC的类似形；ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

1）投影面垂直面的投影.VWHQQV

正垂面投影特性：1.a

b

c

积聚为一条线，与OX、OZ的夹角反映α、

角；

2.abc、a

b

c

为ABC的类似形。

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

B.VWHSWS

侧垂面投影特性：1、a

b

c

积聚为一条线，与OYW、OZ的夹角反映α、β角；2、abc、a

b

c

为

ABC的类似形。Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

.abca

c

b

c

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面投影特性：1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。2.另两个投影面上的投影有类似性。γβ是什么位置的平面？投影特征：一斜两类似.VWH水平面投影特性：1.a

b

c//OX、a

b

c//OYW，分别积聚为直线;2.水平投影abc反映

ABC实形。CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

2）投影面平行面的投影.正平面VWH投影特性：1.abc//OX、a

b

c//OZ，分别积聚为直线；2.正面投影a

b

c

反映

ABC实形。

c

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA.投影特性：1.abc//OYY、a

b

c//OZ，分别积聚为直线；2.侧平面投影a

b

c

反映

ABC实形。

侧平面VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

.a

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性水平面投影特性：1.在它所平行的投影面上的投影反映实形。2.另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。投影特征：两线一实形.一般位置平面投影特性

1.abc、a

b

c

、a

b

c

均为

ABC的类似形；2.不反映

、

、

的真实角度。

a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB3）一般位置平面的投影（三类似）.QHRV例：用有积聚性的迹线表示下列平面：过直线AB的正垂面P；过点C的正平面Q；过直线DE的水平面R。a’b’abPVPH.bac水平正垂侧垂投影面平行面:两线一实形投影面垂直面:一斜两类似.在平面内取直线的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。⒈平面上取任意直线三、平面上的直线和点.abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有无数解。.例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab唯一解！.⒉平面上取点若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。即：点在线上，则点在面上。.

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取点的方法：首先面上取线②●abca’b

k

c

d

k●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线(细实线)求解.例2已知

ABC给定一平面,试判断点D是否属于该平面。d

da

b

c

abcee

点D不属于平面ABCd

da

b

c

abcee

点D属于平面ABC.例3：作出三角形ABC平面内三角形DEF的水平投影。de求线先找两已知点，求点先找已知线。a’ab’c’cbfe’f’d’1’2’12.四、相互垂直的两直线的投影特性⒈两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。⒉两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。⒊两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影不一定反映直角。直角投影定理a

c

b

abc.即要在投影图中画垂直或判断垂直，必须有投影面平行线。小结.一、各种位置平面的投影特性⒈一般位置平面（三类似）⒉投影面垂直面（一斜两类似）⒊投影面平行面（两线一实形）三个投影为边数相等的类似多边形。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线。另外两个投影为类似多边形。

在其平行的投影面上的投影反映实形。另外两个投影积聚为直线。

a

b

a

b

bacc

c

a

b

b

baa

c

c

cb

b

a

a

c

c

bac.二、平面上的点与直线(P27-30)⒈平面上的点一定位于平面内的某条直线上.⒉平面上的直线（求线先找已知点）

⑴过平面上的两个点。

⑵过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。d

da

b

c

abcee

.1.5直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交（垂直）。一、平行问题直线与平面平行

平面与平面平行⒈直线与平面平行定理:

若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必平行。即：将线面//，转化为线线//.⒈直线与平面平行

1.

当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影平行于平面的具有积聚性的同面投影，如图。g’g//2.当直线与平面都为特殊情况且平行时，直线与平面的积聚性投影在同面投影上。特殊情况：.例1：过A点作平面平行于线段BC。b’bc’ca’aXOdd’作图：ad//bc，a′d′//b′c′故，BC//平面DAF分析：线线//，则线面//；过A点做直线AD//BC。f’f可过A点任意作直线AF.n

●●a

c

b

m

abcmn有无数解分析:过M点作一条//平面内的任意直线的直线,即得.例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。

.正平线c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

分析:在平面ABC内作一条正平线,MN//此正平线,即得.例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。

.①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef2.两平面平行//.平行举例例判断下列两平面是否平行不平行.直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交(实物)

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点，且交点是直线与平面可见与不可见的分界点。要讨论的问题：●求直线与平面的交点。

●判别两者之间的相互遮挡的可见性。

我们只讨论直线与平面中至少有一个元素处于特殊位置的情况（直线特殊或者平面特殊）。二、相交问题.（1）.直线与平面相交（平面为特殊位置）

VHPHPABCacbkNKM.abcmnc

n

b

a

m

1.空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。

①求交点

②判别可见性（V面）

由水平投影可知，KN段在平面ABC前，故正面投影上k

n

为可见。再根据:交点是可见与不可见的分界点，求得k

m

上一段不可见。还可通过重影点判别可见性。k

●1

(2

)2.作图k●●2●1●抓住交点是共有点的特点例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性.（2）直线为特殊位置

.km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直线为特殊位置1.空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性（V面）用重影点判断

点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

为不可见。1

(2

)k

●2●1●●2.作图用面上取点法.⒉两平面相交(实物)

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点，交线是两平面可见与不可见的分界线。要讨论的问题：①

求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。

只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况（即两种情况：一个平面处于特殊，两个平面都处于特殊）。②判别两平面之间的相互遮挡的可见性。.（1）两平面都为特殊平面.可通过正面投影直观地进行判别。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)1.空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线。①求交线②判别可见性（H面）2.作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●例1：求两平面的交线MN，并判别可见性。⑴.VH（2）.其中一平面为特殊平面

FBACEHabcMNmnP.b

c

f

h

a

e

abcefh1.空间及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。a

b

与e

fh’的交点m

、b

c

与e