高等数学-中国铁道出版社

普通高等学校十二五规划教材

“”

高等数学

主编申玉发陈佐利

副主编吕金凤毛学志王国胜

参编刘建平郭雅彩王莹

马会泉崔瑜

主审刘继发李丽华

内容简介

本书内容包括函数的极限与连续导数与微分导数的应用不定积分定积分及其应用多元函数微分学

、、、、、

及其应用二重积分及其应用微分方程与差分方程简介无穷级数数学建模初步对其中部分内容添加

、、、、。

号以适应不同专业选用和分层教学的需要为便于学生查阅和课后练习书后附有部分初等数学公式

“※”,。,、

极坐标系及几种常用曲线积分表习题参考答案与提示

、、。

本书以教学时数为宜适合作为普通高等学校理工农林经济管理等专业的教材也可作为专

80~90,、、、,

科层次或自考成人继续教育教材

、。

图书在版编目(CIP)数据

高等数学申玉发陈佐利主编北京中国

/,.—:

铁道出版社

,2014.8

普通高等学校十二五规划教材

“”

ISBN9787113190927

高申陈高等数学高

Ⅰ.①…Ⅱ.①…②…Ⅲ.①—

等学校教材

—Ⅳ.①O13

中国版本图书馆数据核字第号

CIP(2014)187089

书名:高等数学

作者:申玉发陈佐利主编

策划:马洪霞读者热线:

4006680820

责任编辑:马洪霞何佳

封面设计:付巍

封面制作:白雪

责任校对:汤淑梅

责任印制:李佳

出版发行:中国铁道出版社北京市西城区右安门西街号

(100054,8)

网址:

印刷:三河市宏盛印务有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

201481201481

开本:印张:字数:千

787mm×1092mm1/1619456

书号:

ISBN9787113190927

定价:元

33.00

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,,。:(010)63550836

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:(010)51873659

前言

高等数学是普通高等院校理工、农林、经济、管理等专业的重要基础课程。作为其核

心内容的微积分学,对于培养学生用运动和变化的观点思考问题、分析问题的意识和能力

起着至关重要的作用,理解和掌握高等数学的知识也是学生未来发展和从事实际工作的

必备基础。

本教材根据高等院校理工、农林、经济、管理等专业的教学基本要求,参考硕士研究生

统一入学考试对高等数学和高等数学的要求,集编者多年从事高等数学教学实践经

ⅡⅢ

验和体会编写,其特点是:

在保证逻辑严谨的前提下,淡化理论上的严密论证和比较繁杂的数学公式,尽可能地在

1.

介绍定义、定理证明和运算性质时,使内容简化、叙述简洁(某些定理的证明用不同字体编排,

可作为选修内容),着重介绍高等数学中的基本概念、基本思想和基本方法。

尽可能通过实例分析引入概念和定义,通过实例总结规律,并具体领会运用这些规

2.

律解决实际问题的方式和方法,适当引入高等数学知识在具体学科方面的应用实例,力求

体现高等数学是解决一些实际问题时不可或缺的辅助工具,而不是纯理论的课程,这样才

更加贴近学生学习数学的本意。

注重知识的前后联系和系统性,适当处理知识片段的衔接与融合。如,我们优化了传统

3.

教材关于函数的极限与连续及相关内容的讲授次序,使之更适合“函数连续的概念依极限的概

念建立,而初等函数的连续性又是最常用的求极限方法”的特点,等等。

在每节后配置适量难易适度的习题,以巩固本节所学知识的同时为后续内容的学

4.

习打下基础。在每章后设置本章的总习题,分为、两个组别,组是本章及前期知识

ABA

的适度综合习题;组是知识拓展习题(包括近几年的考研真题),供学有余力的学生进一

B

步强化提高使用。

本教材适合作为普通高等学校理工、农林、经济、管理等专业的教材和教学参考书,也

可作为高职高专各专业教材。讲授本教材全部基本内容需要学时,教材中带“”

80~90※

的内容可根据教学对象的专业不同和教学实际适当取舍。

本书由申玉发、陈佐利主编,吕金凤、毛学志、王国胜任副主编,其中第三、四章和附录

由申玉发和马会泉编写,第一、二章由陈佐利和王莹编写,第八、十章由吕金凤和郭雅彩编

写,第六、九章由毛学志和刘建平编写,第五、七章由王国胜和崔瑜编写。全书由申玉发和

陈佐利统稿,刘继发和李丽华审阅了本教材的全部书稿。在编写过程中,得到了中国铁道

出版社的热情帮助,编者表示衷心感谢!

限于编者的水平,书中难免存在不妥之处,敬请读者批评指正。

编者

年月

20144

目录

第一章函数的极限与连续

第一节函数………………

(1)

一、函数的概念二、函数的表示法与分段函数

(1)(2)

三、函数的几种特性四、反函数、复合函数

(3)(3)

五、基本初等函数、初等函数习题

(5)1-1(7)

第二节函数的极限………………………

(8)

一、数列的极限二、函数极限的概念

(8)(10)

三、函数极限的性质习题

(13)1-2(14)

第三节无穷小与无穷大…………………

(14)

一、无穷小的概念二、无穷小的性质

(14)(14)

三、无穷大四、无穷小与无穷大的关系

(15)(15)

五、无穷小的比较习题

(16)1-3(16)

第四节极限的运算法则…………………

(17)

习题

1-4(19)

第五节极限存在准则两个重要极限…………………

、(20)

一、极限存在准则二、两个重要极限

(20)(21)

习题

1-5(24)

第六节函数的连续性……………………

(24)

一、函数连续的概念二、函数的间断点及其分类

(24)(26)

三、连续函数的运算与初等函数的连续性

(27)

四、闭区间上连续函数的性质习题

(29)1-6(30)

第七节求极限的几种方法及其应用……………………

(31)

一、利用初等函数的连续性求极限

(31)

二、利用等价无穷小替换求极限

(32)

三、求极限的其他方法习题

(33)1-7(33)

总习题一……………………

(34)

第二章导数与微分

第一节导数的概念………………………

(37)

一、引例二、导数的概念

(37)(38)

三、函数可导与连续的关系四、导数的几何意义

(40)(41)

习题

2-1(42)

第二节函数的求导法则与高阶导数……………………

(42)

一、函数四则运算的求导法则二、反函数的求导法则

(42)(43)

2高等数学

|

三、基本初等函数的导数公式表四、复合函数的求导法则

(44)(44)

五、分段函数的导数六、高阶导数

(46)(47)

习题

2-2(48)

第三节隐函数与参数函数的导数………

(48)

一、隐函数的导数二、取(自然)对数求导法

(48)(49)

三、参数函数的导数习题

(50)2-3(51)

第四节函数的微分………………………

(52)

一、微分的概念二、微分的几何意义

(52)(53)

三、微分公式与微分运算法则四、微分形式的不变性

(54)(55)

五、微分在近似计算中的应用习题

(55)2-4(57)

总习题二……………………

(57)

第三章导数的应用

第一节微分中值定理……………………

(60)

一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理

(60)(61)

三、柯西中值定理※四、泰勒中值定理

(64)(65)

习题

3-1(67)

第二节洛必达法则………………………

(67)

一、0型或∞型未定式的情形二、其他类型的未定式的情形

(67)(69)

0∞

三、洛必达法则失效的情形习题

(70)3-2(71)

第三节函数的单调性及其判别法………

(71)

习题

3-3(73)

第四节函数的极值及其应用……………

(74)

一、函数的极值及其判别法二、函数的最大值、最小值的求法

(74)(76)

习题

3-4(78)

第五节曲线的凹凸性与拐点……………

(78)

习题

3-5(81)

第六节函数图形的描绘…………………

(81)

一、曲线的渐近线二、描绘函数图形的步骤

(81)(83)

习题

3-6(84)

※第七节弧微分与曲率…………………

(85)

一、弧微分二、曲率

(85)(85)

三、曲率圆与曲率半径习题

(87)3-7(87)

※第八节边际函数与弹性函数简介……………………

(88)

一、边际函数二、弹性函数

(88)(89)

习题

3-8(91)

总习题三……………………

(91)

第四章不定积分

第一节不定积分的概念与性质…………

(95)

目录3

|

一、原函数与不定积分二、不定积分的性质

(95)(96)

三、基本积分表习题

(97)4-1(98)

第二节换元积分法………………………

(98)

一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法

(98)(102)

习题

4-2(105)

第三节分部积分法……………………

(105)

习题

4-3(108)

第四节有理函数的积分………………

(109)

一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例

(109)(110)

习题

4-4(112)

总习题四…………………

(112)

第五章定积分及其应用

第一节定积分的概念与性质…………

(114)

一、引例二、定积分的概念

(114)(116)

三、定积分的基本性质习题

(118)5-1(120)

第二节微积分基本定理………………

(120)

一、积分上限函数及其导数二、微积分基本定理

(121)(122)

习题

5-2(124)

第三节定积分的换元积分法与分部积分法…………

(125)

一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法

(125)(127)

习题

5-3(128)

第四节定积分的应用…………………

(129)

一、微元分析法二、几何应用

(129)(130)

※三、物理应用※四、其他应用举例

(136)(138)

习题

5-4(138)

第五节反常积分………………………

(139)

一、无穷区间上的反常积分二、无界函数的反常积分(瑕积分)

(139)(141)

三、函数习题

Γ(143)5-5(144)

总习题五…………………

(144)

第六章多元函数微分学及其应用

第一节空间解析几何简介……………

(147)

一、空间直角坐标系二、曲面及其方程

(147)(148)

三、空间曲线在坐标面上的投影习题

(154)6-1(155)

第二节多元函数的基本概念…………

(155)

一、区域二、多元函数的概念

(155)(156)

三、二元函数的极限四、二元函数的连续性

(157)(158)

习题

6-2(161)

第三节偏导数与全微分………………

(161)

4高等数学

|

一、偏导数二、全微分

(161)(164)

习题

6-3(167)

第四节多元复合函数与隐函数的求导法则…………

(167)

一、多元复合函数的求导法则二、隐函数的求导法则

(167)(171)

习题

6-4(173)

第五节多元函数的极值及其应用……………………

(174)

一、二元函数的极值二、条件极值

(174)(176)

三、最大值、最小值及其应用习题

(177)6-5(179)

总习题六…………………

(179)

第七章二重积分及其应用

第一节二重积分的概念与性质………

(184)

一、二重积分的概念二、二重积分的性质

(184)(186)

习题

7-1(187)

第二节二重积分的计算………………

(188)

一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分

(188)(192)

习题

7-2(196)

第三节二重积分的应用………………

(197)

一、用二重积分求立体的体积二、用二重积分求曲面的面积

(197)(198)

※三、二重积分的物理应用举例习题

(199)7-3(200)

总习题七…………………

(200)

第八章微分方程与差分方程简介

第一节微分方程的概念………………

(203)

一、引例二、微分方程的基本概念

(203)(204)

习题

8-1(205)

第二节一阶微分方程…………………

(206)

一、可分离变量的微分方程二、一阶线性微分方程

(206)(207)

三、伯努利方程习题

(210)8-2(211)

第三节可降阶的高阶微分方程………

()

()211

一、ynf(x)型的高阶微分方程

=(211)

二、y″f(x,y′)型的微分方程三、y″f(y,y′)型的微分方程

=(212)=(213)

习题

8-3(214)

第四节二阶常系数线性微分方程……………………

(214)

一、通解的结构二、二阶常系数线性齐次微分方程

(215)(216)

三、二阶常系数线性非齐次微分方程习题

(218)8-4(221)

※第五节差分与差分方程的基本概念…………………

(221)

一、差分的概念与性质二、差分方程的基本概念

(221)(222)

习题

8-5(223)

※第六节常系数线性差分方程…………

(223)

目录5

|

一、线性差分方程解的性质二、一阶常系数线性差分方程

(223)(224)

三、二阶常系数线性差分方程习题

(225)8-6(226)

总习题八…………………

(226)

第九章无穷级数

第一节常数项级数及其收敛性的判别法……………

(229)

一、常数项级数的基本概念二、常数项级数的基本性质

(229)(231)

三、正项级数收敛性的判别法四、交错级数收敛性的判别法

(232)(236)

五、绝对收敛与条件收敛习题

(237)9-1(238)

第二节幂级数…………

(239)

一、函数项级数的一般概念二、幂级数及其收敛性

(239)(239)

三、幂级数的运算性质四、函数展开成幂级数

(242)(245)

五、幂级数在近似计算中的应用习题

(248)9-2(249)

总习题九……………………

250

※第十章数学建模初步

第一节数学模型与数学建模简介……………………

(253)

一、数学模型与数学建模二、数学建模的一般方法与步骤

(253)(253)

第二节数学建模实例…………………

(255)

一、横渡江河问题二、生物群体增殖问题

(255)(257)

三、建筑打桩问题四、追踪模型

(257)(258)

习题

10-2(259)

附录A部分初等数学公式………………

(260)

附录B极坐标系及几种常用曲线………

(262)

附录C积分表……………

(267)

习题参考答案与提示………………………

(276)

参考文献……………………

(292)

第一章函数的极限与连续

函数作为变量之间的相互依存关系的数学抽象是微积分学研究的对象.研究函数的基本

方法是极限方法而且极限理论及其思想方法贯穿于微积分学的整个过程.因此理解和掌握

,,

极限的思想方法和运算方法是学好微积分的基础.本章主要介绍函数的概念和性质数列极

:;

限和函数极限的定义与运算法则无穷小与无穷大的定义性质及其阶的比较两个重要极

;、;

限连续函数的定义及性质等内容.

;

第一节函数

一、函数的概念

为了研究方便以下用Z表示整数集合N表示自然数集合N+表示正整数集合R表示

,,,,

实数集合表示空集.有特殊说明的除外.

,⌀

定义1设D是一个非空数集x和y是同一变化过程中的两个变量对于任意的x

,,∈

D按照一定法则f变量yR有唯一确定的值与之对应则称y是x的函数或称f为定

,,(∈),,

义在D上的一个函数关系,记作yfxxD.其中数集D叫做函数的定义域定义域也记

=(),∈,

为Dx叫做自变量,叫做因变量.

(f),y

当自变量x取数值xD时与x相对应的y的值称为函数yfx在点x处的函数

0∈,0=()0

值记作fx或yxx.当x取遍数集D的每个数值时对应的函数值的全体组成的集合称

,(0)|=0,

为函数yfx的值域记作Rf.

=(),()

在数学中通常用小写或大写的拉丁字母hFG和小写或大写的希腊字母

f,g,,…,,,…φ,

ΦΨ作为表示函数的记号.

ϕ,…,,,…

在函数的定义中对于每个xD对应的函数值是唯一的因此也称为单值函数否则

,∈(,,

称为多值函数.今后如无特别说明函数均指单值函数.而对每个yRf相对应的自变量

,)∈(),

x不一定唯一.

例如函数yx2定义域为R值域为Rfyyx2xRyy.对于每个函

,=,,()={|=,∈}={|≥0}

数值yRf当y时对应的自变量x有两个即xy.

∈(),≠0,,=±

在函数的概念中应注意以下几点

:

构成函数的两个要素定义域和对应法则.如果两个函数具有相同的定义域和对应法

(1):

xx

则则它们是相同的函数.例如yx与ysinyx与yx都不是相同函数.前

,,=sin=x;==||

者定义域不同后者对应法则不同而yx与yx2是相同函数.

,,=||=

严格地说f和fx的含义是不同的f表示从自变量x到因变量y的对应法则而

(2),(),,

fx表示与自变量x对应的函数值只是为了叙述方便常常用fxxD来表示函数.

(),,()(∈)

关于函数的定义域的确定在实际问题中函数的定义域由其变量的实际允许变化范

(3):,

2高等数学

|

围确定.例如在自由落体运动中质点从下落到落地的时间为T函数关系为s1gt2其定

,,