人教版七年级数学上册同步备课 《第四章》4.2.2 线段长短的比较与运算（教学设计）

4.2.2线段长短的比较与运算教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第四章“几何图形初步”4.2.2线段长短的比较与运算，内容包括：运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度；理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用.2.内容解析本节知识是本教材第四章的第2节内容，是学习几何知识的开端，对调动学生学习几何的积极性，以及学习以后的几何知识非常重要，必须把握好教学的进度和难度.应充分注重直观认识和操作活动，充分培养学生的几何语言表达能力.立足于学生实际，着眼于中小学的衔接，从他们的生活背景和已有经验出发，鼓励他们的积极参与、动手操作、观察归纳，让他们了解几何学习的基本的操作方法，学习结论获得的策略，对进一步去理解线段本质属性与现实生活的紧密相关都有着较为深刻的意义，也有利于学生图形意识的培养.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：线段比较大小以及线段的性质.二、目标和目标解析1.目标(1)会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短.理解线段等分点的意义.(2)能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.(3)体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.(4)了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用.2.目标解析学生能够熟练运用叠合法和度量法比较线段的大小；会表示线段的大小关系；会画一条线段等于已知线段.学生能够分别用图形和符号来表示线段之间的和差关系；能够由等分点确定数量关系，或由数量关系确定等分点，综合运用几何语言的能力有所提高.学生通过思考、探究、比较得到“两点之间，线段最短”的基本事实，并能举例说明其实际应用；理解两点的距离是指连接两点的线段的长度，而不是线段本身.三、教学问题诊断分析虽然学生在小学阶段已经学习了一些几何知识，但将对图形的认识与对数量的认识结合起来，是学生未曾深入体验过的.尤其用作图来表示线段的和、差等数量关系，是文字语言、图形语言与符号语言的综合运用，对于刚刚进入几何语言学习的学生而言，是比较困难的学习任务.学生在前一学段对两点之间，线段最短已有所体会，但学生容易将两点的距离与连接两点的线段混淆，教学中应加强对这两个概念的辨析.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.四、教学过程设计（一）自学导航问题：老师手里的纸上有一条线段，你能在你的本上作出一条同样大小的线段来吗？尺规作图在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.作一条线段等于已知线段.则：线段AB就是所求的线段.思考：如何比较两个人的身高？怎样比较两条线段的长短呢？你能从比身高上受到一些启发吗？判断线段AB和CD的大小.(1)如图1，线段AB和CD的大小关系是AB___CD；(2)如图2，线段AB和CD的大小关系是AB___CD；(3)如图3，线段AB和CD的大小关系是AB___CD.（二）合作探究如图，线段AB和AC的大小关系是怎样的？线段AC与线段AB的差是哪条线段？你还能从图中观察出其他线段间的和、差关系吗？(1)AB＜AC(2)AC－AB＝BC，AC－BC＝AB，BC＋AB＝AC.如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的和、a与b的差呢？如图，已知线段a、b，作一条线段，使它等于2a－b.解：则：线段AC=2a－b.如图，已知线段a，求作线段AB＝2a.解：则：线段AB＝2a.如上图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM；点M叫做线段AB的中点.因此可得：AM＝BM＝12类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.AM＝MN＝NB＝13AB＝3AM＝3MN＝3NBAM＝MN＝NP＝PB＝14AB＝4AM＝4MN＝4NP＝4PB思考：如图，从A地到B地有四条道路，除它们之外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请联系你以前所学的知识，在图上画出最短路线.估计下列图中线段AB与线段AC的大小关系，再用刻度尺或用圆规来检验你的估计.AB___ACAB___ACAB___AC（二）考点解析例1.如图①，有一张三角形的纸片，你能准确地比较线段AB与线段BC的长短吗？解法1(度量法)：用刻度尺测量AB=2.0cm，BC=1.7cm，所以AB>BC.解法2(叠合法):(1)如图②，折叠纸片，使线段BC与线段AB在一条直线上，这时点C落在A，B之间，所以AB>BC.(2)如图③，利用圆规在射线BA上截取BC＇=BC.因为AB＞BC＇所以AB＞BC.【迁移应用】1.如图，比较线段a和b的长度，结果正确的是()A.a＞bB.a＜bC.a=bD.无法确定2.如图，用圆规比较两条线段AB和A＇B＇的长短，其中正确的是()A.AB＞A＇B＇B.AB=A＇B＇C.AB＜A＇B＇D.没有刻度尺，无法确定3.体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四点处，则表示他最好成绩的点是()A.MB.NC.PD.Q4.如图，比较这两组线段的长短.解：如图①，把图中的线段AB、线段CD放在同一条直线上，使端点A，C重合，点B与点D在点A的同侧，得点B在C，D之间，所以AB<CD.如图②，把图中的线段AB、线段CD放在同一条直线上，使端点A，C重合，得点D和点B重合，所以AB=CD.例2.如图，已知线段a、b、c，其中a＞b＞c.(1)尺规作图：在射线AP上求作线段AB，使AB=a+c-b；(2)若a=4、b=3、c=2，求AB的长.解：(1)如图，在射线AP上作线段AC=a，在AC的延长线上作线段CD=c，在线段AD上作BD=b，则AB=a+c-b.(2)因为a=4，b=3，c=2，所以AB=a+c-b=4+2-3=3.【迁移应用】1.如图，已知线段a，b，求作线段AB，使得AB=a+2b.小明给出了四个步骤：①在射线AM上截取线段AP=a；②则线段AB=a+2b；③在射线PM上截取PQ=b，QB=b；④画射线AM.你认为正确的顺序是()A.①②③④B.④①③②C.④③①②D.④②①③2.如图，下列关系式中与图形不符合的是()A.AD-CD=ACB.AC-BC=ABC.AB+BD=ADD.AC+BD=AD例3.如图，AC=6cm，BC=15cm，M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN=13BC，解：因为M是AC的中点，AC=6cm，所以MC=12AC=1因为BC=15cm所以CN=13BC=1所以MN=MC+CN=3+5=8(cm)【迁移应用】1.下列条件中能确定C是线段AB的中点的是()A.AC=BCB.AB=BCC.AC=BC=122.如图，C，D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点.若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为()A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm3.如图，点C在线段AB的延长线上，且BC=2AB，D是AC的中点，若AB=2cm，求BD的长.解：因为AB=2cm，所以BC=2AB=4cm.所以AC=AB+BC=6cm.因为D是AC的中点，所以AD=12所以BD=AD-AB=lcm.4.如图，C，D是线段AB的三等分点，E是线段DB的中点，AB=12cm，求线段CE的长.解：因为C，D为线段AB的三等分点，所以CD=DB=13因为E是线段DB的中点，所以DE=12所以CE=CD+DE=4+2=6(cm).例4.如图，小明家在B处，现在小明要去位于D处的同学家.(1)最近的路线是__________；(2)B，D两点的距离是线段______的长度.【迁移应用】1.若AB=4cm，BC=3cm，则A，C两点的距离()A.1cmB.7cmC.1cm或7cmD.不确定2.小明捡到一片沿直线折断了的银剩下的杏叶(如图)，他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是____________________.3.如图，A，B是公路l两旁的两个村庄，若要在公路上修建一个汽车站Р，使它到A，B两个村庄的距离和最小，试在l上标出汽车站P的位置.解：如图，连接AB与直线l相交，交点即为汽车站Р的位置.例5.如图①，一只蚂蚁要沿着正方体表面从点A爬到点B，画出它爬行的最短路径(下底面不可通行).解：如图②，有4条最短路径，以A→E→B为例进行说明：如图③，将正方体的正面，右面展开，连接AB，与中间的一条边交于点E，则A→E→B即为其中一条最短路径.(其他三条类似)【迁移应用】如图，A，B，C，D为四个居民小区，现要在附近建一个购物中心.应把购物中心建在何处，才能使四个居民小区到购物中心的距离之和最小？请确定购物中心的位置，并说明理由.解：如图，连接AC，BD相交于点P，点Р就是购物中心的位置.理由：两点之间，线段最短.例6.如图，已知线段AB，延长AB到点C，使BC=12AB，D为AC的中点，DC=3cm，解：因为D为AC的中点，DC=3cm，所以AC=2DC=2×3=6(cm).因为BC=12所以BC=13AC=1所以DB=DC-BC=3-2=1(cm).【迁移应用】1.如图，已知线段AB=3cm，延长线段AB到点C，使BC=2AB，延长线段BA到点D，使AD∶AC=4∶3，M是BD的中点.求线段AM的长.解：因为AB=3cm，BC=2AB，所以BC=6cm，所以AC=AB+BC=9cm.因为AD:AC=4∶3，所以AD=43所以BD=AD+AB=15cm.因为M是BD的中点，所以BM=12BD=15所以AM=BM-AB=152-3=9例7.如图，已知C，D两点将线段AB分为三部分，且AC:CD:DB=2:3:4.若M为AB的中点，N为BD的中点，且MN=5，求AB的长.解：因为AC:CD:DB=2∶3∶4，所以设AC=2x，CD=3x，DB=4x.所以AB=AC+CD+DB=2x+3x+4x=9x.因为M为AB的中点，N为BD的中点，所以BM=12AB=92x，BN=因为MN=BM-BN=5，所以92解得x=2.所以AB=9×2=18.【迁移应用】1.如图，B和C为线段AD上两点，AB∶BC:CD=3∶1∶6，M是AD的中点.若MC=2，则AD的长为________.2.如图，点C，D在线段AB上，且满足CD=14AD=1解：设CD=xcm.因为CD=14AD=16所以AD=4xcm，BC=6xcm.因为E，F分别为线段AC，BD的中点，所以EC=12AC=12DF=12BD=1因为EF=EC+CD+DF=5cm，所以1.5x+x+2.5x=5，所以x=1.所以AB=AD+BC-CD=4x+6x-x=9x=9(cm).例8.在直线l上有四点A，B，C，D，已知AB=24，AC=6，D是BC的中点，求线段AD的长.解：分两种情况讨论：①如图①，当点C在线段AB的反向延长线上时，得BC=AB+AC=24+6=30.由D是BC的中点，得CD=12以AD=CD-AC=9.②如图②，当点C在线段AB上时，得BC=AB-AC=24-6=18.由D是BC的中点，得CD=12所以AD=CD+AC=15.综上所述，线段AD的长为9或15.【迁移应用】1.如图，C为线段AD上的一点，B为CD的中点，且AD=9，CD=4.若点E在直线AD上，且EA=1，则BE的长为()A.4B.6或8C.6D.82.A，B，C是直线l上的点，线段BC的长为4，M，N分别为线段AB，BC的中点，MN的长为3，则线段AB的长为__________.例9.如图，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点.(1)若AC=9cm，CB=6cm，求线段MN的长；(2)若C为线段AB上任意一点，AC+CB=acm，其他条件不变，求线段MN的长