人教版数学七年级下册第八章二元一次方程组教学课件

8.1二元一次方程组第八章二元一次方程组导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学习目标1.了解二元一次方程（组）及其解的定义．（重点）2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解．（难点）讲授新课二元一次方程组的定义一思考1：设老牛驮了x个包裹,小马驮了y个包裹.你能根据它们的对话列出方程吗？①老牛的包裹数比小马的多2个;②老牛从小马的背上拿来1个包裹,就是小马的2倍.x－y＝2x＋1＝2(y－1)昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元每张成人票5

元，每张儿童票3

元，设他们中有x个成人,y个儿童.你能得到怎样的方程?思考2：他们到底去了几个成人，几个儿童呢?x＋y＝85x＋3y＝34交流：上面所列方程各含有几个未知数?

含有未知数的项的次数是多少?答：2个未知数答：次数是1

含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程.x－y＝2x＋y＝8x＋1＝2(y－1)5x＋3y＝34

定义：一、二元一次方程的概念方程x＋y＝8和5x＋3y＝34中，x的含义相同吗？y呢？

x,y所代表的对象分别相同,因而x,y必须同时满足方程x＋y＝8和5x＋3y＝34,把它们用大括号联立起来,得:

这个方程组有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.x＋y＝8，5x＋3y＝34二、二元一次方程组的概念例1

已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________．典例精析解析：根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.故填00紧扣相关概念

例2下列方程组是二元一次方程组的是（）A.B.C.D.B二元一次方程组的解二合作与交流：(1)x＝6,y＝2适合方程x＋y＝8吗?

x＝5,y＝3呢?

x＝4,y＝4呢?

你还能找到其他x,y的值适合方程x＋y＝8吗?(2)x＝5,y＝3适合方程5x＋3y＝34吗?x＝2,y＝8呢?

适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.例如:

x＝6,y＝2是方程x＋y＝8的一个解,记作x＝6，y＝2三、二元一次方程解的概念x＝5,y

＝3是否为方程x＋y＝8的一个解?x＝5,y＝3是否为方程5x

＋3y＝34的一个解?

二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.x＋y＝8，5x＋3y＝34

的解.｛就是二元一次方程组x＝5，y＝3例如，｛四、二元一次方程组解的概念例3

根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（

）哦……我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了5支笔和10本笔记本花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本花了30元钱．小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？DA.0.8元/支，2.6元/本B.0.8元/支，3.6元/本C.1.2元/支，2.6元/本D.1.2元/支，3.6元/本设小红所买的笔和笔记本的价格分别为x元和y元,可列将选项代入判断是否是方程组的解.典例精析当堂练习D.x=4，y=3x=3，y=6x=2，y=4x=4，y=2A.B.C.1.二元一次方程组

的解是()x+2y=10，y=2xC2.下列各式是二元一次方程的是()A.x=3y B.2x+y=3z

C.x²+x-y=0 D.3x+2=5Ax+=1，y+x=23.下列不是二元一次方程组的是(

)A.x+y=3，x-y=1B.C.x=1，y=1D.6x+4y=9，y=3x+4B4.小刘同学用10元钱购买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设他购买了1元的贺卡x张，

2元的贺卡y张，那么可列方程组(

)A.B.

C.D.D认识二元一次方程组二元一次方程及二元一次方程组的定义课堂小结二元一次方程及二元一次方程组的解第八章二元一次方程组导入新课讲授新课当堂练习课堂小结8.2消元—二元一次方程组第1课时代入法学习目标1.掌握代入消元法的意义；2.会用代入法解二元一次方程组；（重点、难点）导入新课观察与思考怎么求x、y的值呢？

昨天,我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元.

每张成人票5元,每张儿童票3元.他们到底去了几个成人、几个儿童呢?还记得下面这一问题吗?设他们中有x个成人，y个儿童.5x+3(8-x)=34x+y=8，5x+3y=34讲授新课用代入法解二元一次方程组一解：设去了x个成人，则去了(8－x)个儿童，根据题意，得：解得：x=5.将x=5代入8－x=8－5=3.答：去了5个成人，3个儿童.用一元一次方程求解解：设去了x个成人，去了y个儿童，根据题意，得：用二元一次方程组求解观察:二元一次方程组和一元一次方程有何联系？这对你解二元一次方程组有何启示？

y=8-x由①得：y=8－x.③将③代入②得：5x+3(8－x)=34.解得：x

=5.把x=5代入③得：y=3.所以原方程组的解为：x+y=8①5x+3y=34②用二元一次方程组求解上面的解法是①将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，②再代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.代入消元法的概念解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.典例精析将y=2代入③，得x=5.所以原方程组的解是x=5，y=2.解：由②，得x=13-4y

③将③代入①，得2(13-4y)+3y=16

26–8y+3y=16

-5y=-10

y=2例1解方程组

2x+3y=16，①x+4y=13.②例2篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到35分，那么这个队胜负场数分别是多少？解设胜的场数是x，负的场数是y,可列方程组：

由①得y=20-x.③将③代入②,得2x+20-x=35.解得x=15.将

x=15代入③得y=5.则这个方程组的解是答：这个队胜15场，负5场.①②总结归纳解二元一次方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：回代求出另一个未知数的值.第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.

用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.当堂练习y=2x，x+y=12；(1)(2)2x=y-5，4x+3y=65.解：(1)x=4y=8(2)1.解下列方程组.x=5y=152.二元一次方程组的解是（）A．B．C．D.D3.李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解:设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：

x+y=10①2000x+1500y=18000②将由①得y=10-x.③将③代入②,得2000x+1500(10-x)=18000.解得x=6.将x=6代入③，得y=4.

答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩.解二元一次方程组基本思路“消元”课堂小结代入法解二元一次方程组的一般步骤第八章二元一次方程组导入新课讲授新课当堂练习课堂小结8.2消元—二元一次方程组第2课时加减法七年级数学下（RJ）教学课件学习目标1.掌握加减消元法的意义；2.会用加减法解二元一次方程组．（重点）导入新课观察与思考信息一：已知买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需23元；信息二：又知买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元.解：设苹果汁的单价为x元，橙汁的单价为y元，根据题意得，你会解这个方程组吗？3x+2y=235x+2y=33你是怎样解这个方程组的？解：由①得将③代入②得③

解得：y=4.把y=4代入③，得x=5.所以原方程组的解为：除代入消元，还有其他方法吗？①②3x+2y=235x+2y=33x=5y=4讲授新课用加减法解二元一次方程组一仔细观察这组方程，你有什么发现吗？解：②-①得5x-3x=33-23，

解得x=5.将x=5代入①得15+2y=23,解这个方程得y=4.所以原方程组的解是①②3x+2y=23,5x+2y=33②-①的话就只剩下一个未知数了x=5,y=4.这样是不是更简单呢？

像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法,简称加减法.

当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时,可以把方程的两边分别相加(系数互为相反数)或相减(系数相等)来消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解.加减法的概念练一练解方程组：解：典例精析例1：用加减法解方程组:①②

对于当方程组中两方程不具备上述特点时，必须用等式性质来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件．分析：①×3得：所以原方程组的解是解：

③-④得:y=2

把y＝2代入①，解得:x＝3

②×2得：6x+9y=36③6x+8y=34④①②总结归纳主要步骤：

特点:基本思路:写解求解加减二元一元加减消元:消去一个元分别求出两个未知数的值写出原方程组的解同一个未知数的系数相同或互为相反数用加减法解二元一次方程组：注：若同一未知数的系数不是相同或互为相反数时，可以对方程变形，使得这两个方程中的某个未知数的系数相反或相等.典例精析例2

2辆大卡车和5辆小卡车工作2小时可运送垃圾36吨，3辆大卡车和2辆小卡车工作5小时可运输垃圾80吨,

那么1辆大卡车和1辆小卡车各运多少吨垃圾？解：设1辆大卡车和1辆小卡车各运x吨和y吨.根据题意可得方程组：化简可得：①②②-①得

11x=44，解得x=4.将x=4代入①可得y=2.因此这个方程组的解为.答：1辆大卡车和1辆小卡车各运4吨和2吨.当堂练习1.方程组

的解是

．①②2.用加减法解方程组

6x+7y=－19①6x-5y=17②应用（）A.①-②消去yB.①-②消去xC.②-①消去常数项D.以上都不对B

解：②×4得：所以原方程组的解为①3.（青岛·中考）解方程组：②③①＋③得：7x=35，解得：x=5.把x=5代入②得，y=1.4x-4y=164.已知x、y满足方程组求代数式x－y的值．解：，②-①得2x－2y＝－1－5，得x－y＝－3.①②解二元一次方程组基本思路“消元”课堂小结加减法解二元一次方程组的一般步骤第八章二元一次方程组导入新课讲授新课当堂练习课堂小结8.3实际问题与二元一次方程组第1课时利用二元一次方程组解决实际问题学习目标1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决的简单的实际问题.（重点）2.学会利用二元一次方程组解决行程问题.（重点、难点）讲授新课

列方程组解决简单实际问题一合作与交流问题1

题中有哪些未知量，你如何设未知数？未知量:每头母牛1天需用的饲料;每头小牛1天需用的饲料.问题2

题中有哪些等量关系？(1)30只母牛和15只小牛一天需用饲料为675kg;(2)(30+12)只母牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg.设未知数：设每头母牛和每头小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，解:设每头母牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，根据等量关系，列方程组：答:每头母牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲料员李大叔估计每天母牛需用饲料18—20千克，每头小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入.

+

=675,

+

=940.30x15y42x20y解方程组：x=

,

y=

.205典例精析例1

某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，等量关系有：胜的场数+平的场数=11；胜场得分+平场得分=27.胜场平场合计场数得分x3xyy1127解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得8y3xy3答：该市第二中学足球队胜8场，平3场.x通过上述两题，总结用二元一次方程组解决实际问题的步骤解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意和题目中的_________；(2)设元：用___________表示题目中的未知数；(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.总结归纳数量关系字母2代入消元加减消元法练一练

某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费.甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.”乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.”请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？分析本问题涉及的等量关系有：

总车费=0～3km的车费(起步价)+超过3km的车费.解设出租车的起步价是x元,超过3km后每千米收费y元.

根据等量关系,得解这个方程组，得答：这种出租车的起步价是5元，超过3km后每千米收费1.5元.起步价超过3km后的费用合计费用甲乙xx（11-3）y（23-3）y1735列方程解决行程问题二

小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.平路：60m/min下坡路：80m/min上坡路：40m/min走平路的时间+走下坡的时间=________，走上坡的时间+走平路的时间=_______．路程=平均速度×时间1015方法一（直接设元法）平路时间坡路时间总时间上学放学解：设小华家到学校平路长xm，下坡长ym.根据题意，可列方程组：解方程组，得所以，小明家到学校的距离为700米.方法二（间接设元法）平路距离坡路距离上学放学解：设小华下坡路所花时间为xmin,上坡路所花时间为ymin.根据题意，可列方程组：解方程组，得所以，小明家到学校的距离为700米.故平路距离：60×（10-5）=300（米）

坡路距离：80×5=400（米）

例2

甲、乙两地相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？典例精析分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.（1）同时出发，同向而行甲出发点乙出发点4km甲追上乙乙2h行程甲2h行程甲2h行程=4km+乙2h行程（2）同时出发，相向而行甲出发点乙出发点4km相遇地甲0.5h

行程乙0.5h

行程甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.根据题意与分析中图示的两个相等关系，得解方程组，得答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.当堂练习1.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨.3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？

解：设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨，根据题意列出方程组得2x+3y=15.5，5x+6y=35.（以下部分由同学们完成）2.计划若干节车皮装运一批货物.如果每节装15.5吨，则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨.问多少节车皮？多少吨货物？

解：设x节车皮，y吨货物，根据题意列出方程组得y=15.5x+4，y=16.5x-8（以下部分由同学们完成）课堂小结二元一次方程组的应用应用步骤简单实际问题行程问题路程=平均速度×时间审题：弄清题意和题目中的

设元：用_____表示题目中的未知数列方程组:根据__个等量关系列出方程组解方程组检验作答数量关系字母2代入法；加减法.第八章二元一次方程组导入新课讲授新课当堂练习课堂小结8.3实际问题与二元一次方程组第2课时利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题学习目标1.学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题；（重点、难点）2.进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程.

导入新课

生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？情景引入

例1如图,化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？·化工厂AB铁路120千米铁路110千米公路10千米公路20千米讲授新课

列方程组解决较复杂的实际问题分析：销售款与产品数量有关，原料费与原材料有关.设制成x吨产品，购买y吨原料.根据题意填写下表：1.5×

20x1.2×

110x8000x1.5×

10y1.2×

120y1000y1500097200价值（元）铁路运费（元）公路运费（元）合计原料y吨产品x吨解:根据图表，列出方程组解方程组得

x=300，

y=400.8000x-1000y-15000-97200=8000×300-1000×400-15000-97200=1887800（元）答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.1.5×20x+1.5×10y=15000，1.2×110x+1.2×120y=97200.实际问题

设未知数、找等量关系、列方程（组）

数学问题[方程(组)]解方程（组）数学问题的解双检验实际问题的答案

总结归纳例2.某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，该种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：作物品种每公顷所需人数每公顷投入资金/万元蔬菜51.5荞麦41在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安排终止才能使所有人都有工资,且资金正好够用？作物品种种植面积/hm2需要人数投入资金/万元蔬菜x5x1.5x荞麦y4yy合计-----185将题中出现的量在表格中呈现解：设蔬菜种植xhm2,荞麦种植yhm2根据题意可列出方程组：解方程组，得：故，承包田地的面积为：

x+y=4hm2人员安排为为：

5x=5×2=10(人)；4y=4×2=8(人)答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8人种植荞麦，这样能使所有人都有工作且资金正好够用.例3某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？分析：将题中出现的量在表格中呈现产品类型所需人数生产总量螺钉x螺母y螺母总产量是螺钉的2倍人数和为22人1200x2000y解：设生产螺钉的x人，生产螺母的y人.依题意，可列方程组：解方程组，得

答：设生产螺钉的10人，生产螺母的12人.解决配套问题要弄清：（1）每套产品中各部分的比例；（2）生产各部分的工人数之和=工人总数.当堂练习

1.某食品厂要配制含蛋白质15％的100kg食品，现在有含蛋白质分别为20％，12％的两种配料.用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？

解：设需含蛋白质为20%、12%的配料分别为xkg、ykg,根据题意列出方程组得（以下部分由同学们完成）2.一个工厂共42名工人,每个工人平均每小时生产圆形铁片120片或长方形铁片80片.已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶.你认为如何安排工人的生产,才能使每天生产的铁片正好配套?

解：设生产圆形铁片的工人x人，生产长方形铁片的工人y人，根据题意列出方程组得（以下部分由同学们完成）3.某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为21，如果每台挖掘机每天平均挖土750m3，每台装卸机每天平均运土300m3，正好能使挖出的土及时运走，问挖掘机有多少台？装卸机有多少台？

解：设挖掘机x台，装卸机y台，

根据题意列出方程组得（以下部分由同学们完成）

1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.

3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.通过本课时的学习，需要我们掌握：课堂小结2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：第八章二元一次方程组导入新课讲授新课当堂练习课堂小结8.4三元一次方程组的解法1.理解三元一次方程组的概念．2.能解简单的三元一次方程组．学习目标导入新课复习引入1.解二元一次方程组有哪几种方法？2.解二元一次方程组的基本思路是什么？二元一次方程组代入加减消元一元一次方程化二元为一元化归转化思想代入消元法和加减消元法消元法思考：若含有3个未知数的方程组如何求解？讲授新课三元一次方程组的概念一

已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的两倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.上述问题中，很自然的想法是，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组：这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？交流：

在这个方程组中，x+y+z=23和2x+y-z=20都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.（linearequationwiththreeunknowns）

像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.三元一次方程及三元一次方程组的概念例如：

是三元一次方程组.三元一次方程组的解二

类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.怎样解三元一次方程组呢？

能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？典例精析例1：解方程组解：由方程②得x=y+1④

把④分别代入①③得

2y+z=22⑤3y-z=18⑥

解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得