人教版九年级数学上册 23.6 中心对称（巩固篇）

专题23.6图形的旋转（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（

）A．B．C． D．2．如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（

）A． B． C． D．3．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（

）A．3 B．4 C．7 D．114．如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为（

）A． B． C． D．5．如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，则点A14表示的数是（

）A．21 B．﹣21 C．25 D．﹣256．如图，的顶点O，A，B的坐标分别是，，，为平面上一点，若以，，，为顶点的四边形不是平行四边形，则点的坐标可能为（

）A． B． C． D．7．如图，矩形ABCD的顶点A、B在两坐标轴上，OA=OB=2，BC=．将矩形ABCD绕原点顺时针每次旋转90°，则第2022次旋转后点C的坐标是（

）A．（3，-5） B．（-5，-3） C．（-3，5） D．（5，3）8．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点对应点的坐标为（

）A． B． C． D．9．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（）A．2+2 B．2+ C．3+ D．1+210．如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或二、填空题11．在正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，是旋转对称图形但不是中心对称图形的个数是_____．12．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点，若AE=3cm，四边形AEFB的面积为15cm2，则CF=____，四边形EDCF的面积为____.13．如图，已知矩形OACB的两边OA，OB分别在x轴、y轴上，且A（﹣1，0），B（0，2），先将矩形OACB沿x轴向右平移2个单位长度，得到矩形O1A1C1B1，然后作矩形O1A1C1B1关于坐标原点O的中心对称图形，得到矩形O2A2C2B2，则点C2的坐标是_____．14．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．15．如图，▱ABCD的周长为32cm，点O是▱ABCD的对称中心，AO=5cm，点E，F分别是AB，BC的中点，则△OEF的周长为_____cm．16．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是（－2，－1），（1，－1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位长度，则顶点C的对应点的坐标是___．17．如图，在直角坐标平面内，△ABC的顶点，点B与点A关于原点对称，AB＝BC，∠CAB＝30°，将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B落在点E处，那么BE所在直线的解析式为______．18．已知线段EF两个端点的坐标为E（x1，y1），F（x2，y2），若点M（x0，y0）是线段EF的中点，则有x0＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点记为P1，P1关于点B的对称点记为P2，P2关于点C的对称点记为P3，…，按此规律继续以A、B、C三点为对称中心，重复前面的操作，依次得到点P4，P5，P6，…，则点P2020的坐标是__________．三、解答题19．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点坐标分别为，，．(1)请在图中画出关于原点的中心对称图形；(2)请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．20．已知：是的角平分线，点E，F分别在上，且，．(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；(2)如图2，若为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．21．如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点．求，两点的坐标．22．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小东对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量的取值范围是全体实数；（2）下表是与的几组对应值．…－2－10123456……－24－600062460…①②若为该函数图象上的两点，则（3）在平面直角坐标系中，如图所示，点是该函数在范围的图象上的最低点．①直线与该函数图象的交点个数是

②根据图象，直接写出不等式的解集．23．已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．(1)二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；(2)二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．24．在一次数学探究活动中，小强只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分．（1）在如图所示的三个矩形中，请你大胆尝试，画出符合上述要求的直线（注：①所画直线经过的特殊点必须标注清楚，②一个矩形只画一种）．（2）根据你的分割法：只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分，你认为这样的直线有条？（3）由上述实验操作过程，你发现所画的这条直线的特征是；（4）经验迁移：如图④，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，并将该正方形的面积平分，与正方形的BC边交于点F，求线段EF的长．参考答案1．B【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是中心对称图形，故本选项符不符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不符符合题意．故选：B．【点拨】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．B【分析】根据中心对称图形的性质可得结论．解：∵与关于点D成中心对称，∴，，∴∴选项A、C、D正确，选项B错误；故选B．【点拨】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等．3．C【分析】根据三角形三边关系定理，可知即可求解．解：∵点与点关于点对称，点与点也关于点对称，∴，又∵∠AOD=∠BOC∴△AOD≌△BOC（SAS）∴AD=BC=3∵∴．故选：C．【点拨】本题考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，及对称的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是将求AB的值转化为求三角形第三边的取值范围．4．D【分析】连接AC，BD，过点O作于点，交于点，利用勾股定理求得的长即可解题．解：如图，连接AC，BD，过点O作于点，交于点，四边形ABCD是矩形，同理可得故选：D．【点拨】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键．5．D【分析】求出A1，A2、A3、A4、A5、A6，A7点的坐标，找出其中的规律即可．解：A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，∴A2表示的数是﹣1，∵A2，A3关于点P对称，∴A3表示的数是，∵A3，A4关于点O对称，∴A4表示的数是﹣5，∵A4，A5关于点P对称，∴A5表示的数是，∵A5，A6关于点O对称，∴A6表示的数是﹣9，∵A6，A7关于点P对称，∴A7表示的数是……∴关于P点对称的点表示的数是，关于O点对称的点表示的数是，∴点A14表示当时，，故选：D．【点拨】本题考查数轴，要掌握用数轴上的点表示有理数，本题的关键是找出：，．6．A【分析】分三种情况，①AB为对角线时；②OB为对角线时；③OA为对角线时；分别求出点M的坐标，即可求解．解：当以，A，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①AB为对角线时，∵，点O、A、B的坐标分别是，，，∴M的坐标为（2+6，2），即M（8，2）；②OB为对角线时，∵，点O、A、B的坐标分别是，，，∴的坐标为（2-6，2），即M（-4，2）；③OA为对角线时，点与关于原点O对称，∴的坐标为（4，-2），即M（4，-2）；综上所述，点M的坐标为（8，2）或（-4，2）或（4，-2），所以A符合题意，故选：A．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质以及分类讨论等知识；正确画出图形是解题的关键．7．B【分析】如图所示，过点C作CF⊥x轴于F，先求出点C的坐标为（5，3），然后根据每四次旋转（即旋转360°）点C会回到初始位置，可知当旋转2022次时相当于把点C绕原点顺时针旋转180°，由此求解即可．解：如图所示，过点C作CF⊥x轴于F，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴∠AOB=∠CFB=90°，∠OBA=45°，，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠FBC=45°，∴∠FCB=45°=∠FBC，∴FB=FC，∵，∴，∴FB=FC=3，∴OF=5，∴点C的坐标为（5，3），∵将矩形ABCD绕原点顺时针每次旋转90°，∴每四次旋转（即旋转360°）点C会回到初始位置，∵2022÷4=505余2，∴当旋转2022次时相当于把点C绕原点顺时针旋转180°，∴此时C点的位置与初始位置关于原点对称，∴第2022次旋转后点C的坐标是（-5，-3），故选B．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，关于原点对称的点的坐标特征，正确分析出第2022此旋转后点C的位置是解题的关键．8．A【分析】根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2023次属于循环中的第1次，最后即可得出答案．解：由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可第一次旋转时：过点作轴的垂线，垂足为，如下图所示：由的坐标为可知：，，在中，，由旋转性质可知：，，，，在与中：，，，此时点对应坐标为，当第二次旋转时，如下图所示：此时A点对应点的坐标为．当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为．当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为．当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为．第6次旋转时，与A点重合．故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、．由于，故第2023次旋转时，A点的对应点为．故选：A．【点拨】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，熟练利用条件证明全等三角形，；通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关键．9．C【分析】过点A作AM垂直CD交CD于M点，可得AM=EG=FH，AB=2，∠A=120°在菱形ABCD中，可得，推出四边形EFGH是矩形即可求解．解：如图，过点A作AM垂直CD交CD于M点，∵FG、FH垂直菱形ABCD的边AB,BC∴AM=EG=FH∵AB=2，∠A=120°在菱形ABCD中∴,∵FG、FH过菱形ABCD的对称中心O,∴四边形EFGH是矩形，由∠A=120°，∴∠EOH=60°∠GEF=30°∴,∴四边形EFGH的周长为故选：C【点拨】本题考查中心对称，菱形的性质，矩形判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．10．A【分析】先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配方为顶点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，∠DCD′=90°时利用勾股定理列出方程，解方程即可．解：∵抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，∴∵a＞0解得∴点A（-3，0），点B（1，0），∵点B为中心对称，∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，∴点C（5，0），∴抛物线，∴D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，∴D′（3，4a），DD′=，CD=，CD′=，∵△CDD′是直角三角形，当∠CD′D=90°，根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即，解得，∵a＞0，∴；当∠DCD′=90°，根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即，解得，∴，∴综合得a的值为或．故答案选：A．【点拨】本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键．11．1个【分析】根据中心对称图形的定义以及旋转图形的性质分别判断得出即可．解：正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，正方形、线段、平行四边形、圆都是中心对称图形，只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形，故答案为：1个．【点拨】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握两种图形是解题的关键．12．

3

15解：连接AC，BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO．在△AOE与△COF中，∵∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF=3cm．同理可得△AOB≌△COD，△BOF≌△DOE，∴S四边形EDCF=S四边形AEFB=15cm2．故答案为3cm，15cm2．【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解答此题的关键．13．（﹣1，﹣2）．【分析】先由勾股定理求得C点坐标，再求得移动后C1点坐标，最后根据两个坐标点中心对称的关系求解即可.解：由题意得C(-1，2)，则沿x轴向右平移2个单位长度后得到的C1点坐标为(1,2)，则C1点关于原点的对称点C2的坐标为(-1,-2)，故答案为：(-1,-2).【点拨】本题中理解点的平移以及坐标点关于原点对称是解题关键.14．（2，﹣1）【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），∴点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点拨】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．15．13．【分析】由题意可知O、E、F均为中点，则由OE、OF、EF均为△ABC的中位线，据此进行解答.解：由题意得OE、OF、EF均为△ABC的中位线，∴OE=，OF=，EF=，∴△OEF的周长=，故答案为13cm【点拨】本题考察了三角形中位线的知识.16．【分析】由题意A，C关于原点对称，求出点C的坐标，再利用平移的性质求出点C1的坐标可得结论．解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，∴点A，点C关于原点对称，∵，∴，∴将平行四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是，故答案为：．【点拨】本题考查中心对称，平行四边形的性质，坐标与图形变化-平移等知识，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，属于中考常考题型．17．【分析】如图，过点C作CF⊥x轴于点F，根据关于原点对称的点的坐标特征可得点B坐标，根据等腰三角形的性质可得AB＝BC=2，利用外角性质可得∠CBF=60°，利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得CF、BF的长，利用旋转的性质可得AB＝CE＝2，AC=CD，∠ECD=∠ACB=30°，根据等腰三角形的性质可得∠CDA=∠CAD=30°，可得CE//AD，可得点E坐标，利用待定系数法即可得答案．解：如图，过点C作CF⊥x轴于点F，∵△ABC的顶点，点B与点A关于原点对称，∴，∴AB＝BC=2．∵∠CAB＝30°，∴∠ACB=∠CAB=30°，∴∠CBF=∠CAB+∠ACB=60°，∠BCF=30°，∴BF=BC=1，CF=，∴．∵将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B落在点E处，∴AB＝CE＝2，AC=CD，∠CDA=∠CAD=30°，∠ECD=∠ACB=30°，∴CE//AD，∴．设直线BE的解析式为，∴，解得：，∴BE所在直线的解析式为：．故答案为：【点拨】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，旋转的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半；图形旋转前后的对应边相等、对应角相等；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．18．（-2，-2）【分析】根据题意可得前6个点的坐标，即可发现规律每6个点一组为一个循环，根据2020÷6=336…4，进而可得点P2020的坐标．解：∵A（1，-1），B（-1，-1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P1(x，y)，∴1=，-1=，解得x=2，y=-4，所以点P1（2，-4）；同理：P1关于点B的对称点P2，所以P2（-4，2）P2关于点C的对称点P3，所以P3（4，0），P4（-2，-2），P5（0，0），P6（0，2），…，发现规律：每6个点一组为一个循环，∴2020÷6=336…4，所以P2020与P4重合，所以点P2020的坐标是（-2，-2）．故答案为：（-2，-2）．【点拨】本题考查了坐标与图形的变化-旋转、规律型-点的坐标、关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质．19．(1)答案见分析(2)、、【分析】（1）分别画出、、关于原点的对称点、、，连接即可；（2）分别以、、为平行四边形的对角线即可求出点的坐标．(1)解：如图所示，(2)解：如图所示，当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点；当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点；当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点；故所求的点的坐标为、、．【点拨】本题主要考查中心对称变换的作图和平行四边形，熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定是解题的关键．20．(1)证明见分析(2)等边，等边，等边，等腰，等腰梯形，等腰梯形【分析】（1）由角平分线可知，由平行可知，可得，，进而结论得证；（2）由题意可得四边形是菱形，是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．(1)证明：∵是的角平分线∴∵∴∴∴∵，∴四边形是平行四边形．(2)解：由（1）知四边形是平行四边形∴∵是等边三角形∴∴∴四边形是菱形∴∴是等边三角形的中点∴∴由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边，等边，等边，等腰，等腰梯形，等腰梯形．【点拨】本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．21．C，D【分析】根据菱形的对角线关于原点对称进行求解即可；解：菱形的对角线交于坐标原点．点的坐标为，点的坐标为，点C和点A关于原点O对称，点D和点B关于原点O对称，∴C(2，－2)；D(1，)．【点拨】本题主要考查了关于原点对称的点的特征和菱形的性质，准确分析计算是解题的关键．22．（2）①；②；（3）①；②或【分析】（2）①通过观察表格，（-2，m），（6，60）关于（2，0）成中心对称即可；②由于M与N的函数值互为相反数，关于（2，0）成中心对称，11-2=2-n求出即可；（3）①由点是该函数在范围的图象的最低点，直线与该函数图象的有一个交点,与x1部分还有一个交点即可；②分四段讨论当x<1时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则，当1<x<2时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则当2<x<3时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则当x>3时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则即可求出的范围．解：（2）①通过观察表格，（-2，m），（6，60）关于（2，0）成中心对称，m=；②为该函数图象上的两点，由于M与N的函数值互为相反数，关于（2，0）成中心对称，11-2=2-n，n=-7；（3）①由点是该函数在范围的图象的最低点直线与该函数图象的有一个交点,与x1部分还有一个交点，直线与该函数图象的有一个交点有2个；②，分四段讨论，当x<1时，x-1<0，x-2<0，x-3<0，三负，则，当1<x<2时，x-1>0，x-2<0，x-3<0，两负一正，则，当2<x<3时，x-1>0，x-2>0，x-3<0，两正一负，则，当x>3时，x-1>0，x-2>0，x-3>0，三正，则，的范围是或．【点拨】本题考查多次函数的图像与性质，根据给定的表格找出函数图像关于