历届高考中的空向与立体几何试题选讲

1.(2008海南、宁夏理)PABCD－A1B1C1D1BD1，∠PDA=60°D（1）DPCC1所成角的大小；（2）DPAA1D1DD P P 2.（2008安徽文）如图，在四棱锥OABCDABCD1ABC4OA

OA2,M为OA的中点 MAABMDMABOCDD 3CDOBA3.（2005湖南文、理）如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为 称轴OO3CDOBAD AOB（Ⅰ）证明D AOB4.（2007安徽文、理)如图,ABCDA1B1C1D1中,ABCD2的正方形,ABB1C的大小5.(2007海南、宁夏理)SABCSABSACSOBAC90°，O为BC中点 （Ⅰ）证明：SO平SOABCASCBC 6.(2007四川理）PCBMPCB＝90°，PMBCPM＝1，BC＝2＝1，∠ACB＝120°，ABPCAMPC（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC （Ⅱ）求二面角MACB的大小PMAC2l2上，AMMBMN。（Ⅰ）证明 2HAMB(Ⅱ)若ACB60ONBHAMBCN8.（2006福建文、理）ABCD中，O、EBD、BCCACBCDBD2,ABAD AOBCD（II）ABCDEACDDO 历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲(参考答案DDADxyzDA0)CCBDBD(，1)(m DHDADDH2m2 2m2

可得2m

．解得m ，所以DH2

2， 2

r

02

20 21 12AADDDC0)20211

r因为cos

2C 2 HDABxPHDABxPDPAADD所成的角为解：APCDP,如图,AB,AP,AOxyz

2,0), 2 2,0),O(0,0,2),M(0,0,1) (1)ABMD所成的角为22r 22

, r r

AB 32ABMD所成角的大小为3222r 22

∵OP ,2),OD , 2y2z即即 2x 2y2z

z

2,n04,2 nBOCDd,d为OBn04,n2∵OB(1,0,2),∴d 32BOCD3解:（I）OA⊥OO1，OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，OA⊥OB.O为原点，OA、OB、OO1x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，3A（3，0，0，33B（0，3，0，C（0，1， 33AC

3),BO1

3)33ACBO13 33（II）BO1OC3

0.33 033由（I）AC⊥BO1BO1OACBO1OAC的一个法向量.n(x,yz0O1AC的一个法向量，由nAC03xy

3z

取z

n

3)

y

n 3|n||BO1 A（2，0，0，B（2，2，0，C（0，2，0AC2A1C1,DB2D1B1D），ADBBDD1AC平面B1BDD1 平面A1ACC1平面B1BDD1nAA1x12z10,nBB1x1y12z1y10取z11,则z12nm(x2y2z2)为平面B1BCC1mBB1x2y22z20,mCC1y22z2mnx20取z21,则y22mncosm,

15二面角A

C的余弦为15证明：（Ⅰ）ABACSBSCSA，连结OA2S2O△ABC为等腰直角三角形，所以OAOBOCOAOBC

SA2又△SBCSOBCSO

SA2 2从而OA2SO2SA2．所以△SOAASOAO AAOBOOSOABC（Ⅱ）解：以O为坐标原点，射线 OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标OxyzB(100)，则C(10

SCM1

1

x

1

1MO202MA212SC(101) 故MO MA <MO,MA等于二面角ASCB的平面角cosMOMA

3MO· 33所以二面角ASCB的余弦值 33（Ⅰ）∵PCABPCBCABBCPC平面ABCPC平面平面PAC平面ABC内，过C作CDCB，建立空间直角坐标系Cxyz（如图A310P00z0z00 则

M0,1,z0,AM2,2,z0,CP0,0,z0 AMPC所成的解为600

0z2πz23zAMCP

AMCPcos

解得z0

310MACnxyz，

1 则则

y1z 2

,ABCm0

m7 7mMACB故二面角MACB的平面角大小为 7解法一：由（Ⅱ）PCMN

11ACCNsin1200MN

33 ∵PC1,PM 3

解:如图,M－xyz.(Ⅰ)∵MNl1、l2的公垂线,l1⊥l2,∴l2ABNl2z轴 =(－1,1,m), |,ABC为正三角形,AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中 ,可得 ,故 zCzCHAMNB连结MC,作NH⊥MC于H,设 λ) =(0,1－λ,－ =1－λ－2λ=0, y∴H(0, ),可 =(0,, ),连结BH, =(－1, =0, ,又MC∩BH=H,∴HN⊥平面 ∠NBH为NB与平面ABC所成的角. ∵BO=DO,AB=AD,∵BO=DO,BC=CD,3在△AOC中，由已知可得 3BDOC∴AOO为原点，如图建立空间直角坐标系，B(1，0，0)，D(-1，0，0)，33133 22BA2

∴cosBA,CD

BABA2∴异面直线AB与CD所成角的大小为 24ACDn=(x,y,z),

xz

∴3,1)

3yz313y=1

3)是平面ACD的一个法向量.又EC 3237|