线性离散系统与z变换

第六章线性离散系统与z变换二、采样过程与采样定理三、Z变换与Z反变换四、脉冲传递函数五、离散系统的稳定性分析六、数字控制器与离散PID控制一、概述七、小结第六章线性离散系统与z变换一、概述

连续系统与离散系统连续控制系统系统中各局部传递的信号为随时间连续变化的信号。连续控制系统通常采用微分方程描述。

离散控制系统系统中某一处或多处的信号为脉冲序列或数字量传递的系统。离散控制系统通常采用差分方程描述。第六章线性离散系统与z变换

离散控制系统的分类

采样控制系统间断地对系统中某些变量进行测量和控制。sa受某一信号控制，使其短暂接通后立即断开。采样开关接通的时间间隔可以相等，亦可不等，相等时称为均匀采样。图中，sa为采样开关或采样器。G(s)H(s)xi(t)xo(t)sa

(t)

*p(t)第六章线性离散系统与z变换连续信号

(t)经采样开关后成为离散信号

*p(t)。该过程称为采样，相应离散控制系统称为采样控制系统。t

(t)0t0

*p(t)采样控制系统的特点：采样开关闭合时，系统处于闭环工作状态，断开时处于开环状态。第六章线性离散系统与z变换采样控制最早出现于某些大惯性或具有较大滞后特性的对象控制中。例如，工业炉温度控制系统。工业炉可以视为具有延迟时间

的惯性环节，其延迟时间可长达数秒甚至数十秒，惯性时间常数也相当大，采用常规控制无法解决控制精度与动态性能之间的矛盾，而采用采样控制将取得良好的控制效果：可以取较大的开环增益保证稳态精度，又可抑制系统调节过头产生大幅振荡。第六章线性离散系统与z变换数字控制系统系统中含有数字计算机或数字编码元件。图中，A/D：模拟信号至数字信号转换器；

D/A：数字信号至模拟信号转换器。被控对象H(s)xi(t)xo(t)

(t)

*(t)A/D计算机D/A第六章线性离散系统与z变换

A/D转换采样x(t)模拟信号取样信号s(t)0ts(t)xs(t)量化编码数字信号x(n)0tx(t)0tx(n

t)

t

t0qx(n)000001010011nx(n

t)第六章线性离散系统与z变换

D/A转换D/A转换器低通滤波器nx(n)tx'(t)tx(t)x(n)x'(t)x(t)第六章线性离散系统与z变换被控对象H(s)xi(t)xo(t)

(t)

*(t)计算机保持器sam*(t)sbm(t)图中，sa与sb同步开关。保持器：实现信号复现。将离散信号恢复为模拟信号。第六章线性离散系统与z变换t

(t)0t0

*(t)t0m*(t)t0m(t)第六章线性离散系统与z变换

离散控制系统的特点采样信号特别是数字信号可以有效抑制噪声，从而提高系统抗干扰能力；

由计算机构成的数字控制器，控制规律由软件实现，易于改变，控制灵活，且效果优于连续式控制。

允许采用高灵敏度控制元件，提高控制精度。可实现分时控制假设干系统，提高设备利用率。

对大延迟系统可以引入采样方式稳定。

可以实现各种先进控制方式。第六章线性离散系统与z变换

离散控制系统的研究方法

差分方程

z变换经过

z

变换处理后的离散系统，可以将连续系统的分析方法经过适当改变应用于离散系统的分析和设计。

状态空间虽然采样控制系统和数字控制系统的构成及部件存在根本区别，但其分析和设计方法相同。第六章线性离散系统与z变换二、采样过程与采样定理

采样过程sax(t)x*p(t)t0x(t)t0t0

T2T3T4Tx*p(t)x*(t)设sa每隔时间T接通一次，接通时间为

，并满足T>>

。T称为采样周期。其倒数称为采样频率。由于T>>

，故可近似认为在

时间间隔内，输出维持不变。第六章线性离散系统与z变换从而：当<<T，且远远小于离散系统连续局部的时间常数时，可近似认为0。从而有：第六章线性离散系统与z变换注意到：从而：第六章线性离散系统与z变换令：sax(t)x*p(t)x*(t)

可见，采样过程可理解为脉冲调制过程，即连续输入信号

x(t)对周期的理想脉冲载波信号进行调制，调制后在nT时刻的脉冲强度为x(nT)。注意到：因此，采样开关结构图可表示为：第六章线性离散系统与z变换显然由

X*(s)可以直接看出x*(t)的时间响应。但须注意，由于x*(t)只描述了x(t)在采样瞬时的数值，故X*(s)不能给出x(t)在采样间隔之间的信息。此外也不能认为x*(t)在采样间隔内数值为0。上述分析过程中，假设了：x(t)=0，

t<0，该条件对实际控制系统通常都是满足的。对x*(t)=x(t)

T(t)进行拉氏变换：第六章线性离散系统与z变换

采样定理x*(t)只给出了x(t)在时域的局部信息，为了能从x*(t)不失真地恢复出原始的连续信号x(t)，采样间隔〔采样频率〕需要满足一定的条件。时域采样原始信号f=f0fs=8f0fs=4f0fs=2f0第六章线性离散系统与z变换由上述时域采样图形分析可见：对单个连续正弦信号进行采样，采样频率不能低于信号频率的两倍；对多个正弦信号叠加组成的信号进行采样，采样频率不能低于信号中最高频率的两倍。sin2

f0tsin14

f0tsin2

f0t+sin14

f0t时域采样：混叠fs=8f0第六章线性离散系统与z变换工程中的连续信号x(t)都可以通过傅立叶级数或傅立叶变换展开为多个或无穷个正弦信号分量的叠加，即信号的频域描述(频谱)。如对周期为T0的信号x(t)，其傅立叶级数展开为信号角频率。n为正整数。

其中：第六章线性离散系统与z变换如非周期信号x(t)，其傅立叶变换对为第六章线性离散系统与z变换根据前述时域采样的分析，假设连续信号x(t)不包含任何大于max的频率分量(带限信号)，那么为了能从采样信号x*(t)无失真地恢复出原始的连续信号x(t)，采样频率s必须满足：s2max〔或：fs2fmax〕此即为香农采样定理。实际采样时，fs常取为信号最高频率的3~4倍。

第六章线性离散系统与z变换

信号恢复x(t)t0X(

)0

max-

maxA

T(t)t0T2T3T4T5T6T|

T(

)|0

s-

s……x*(t)t0T2T3T4T5T6T|X*(

)|0

s-

sA/T……第六章线性离散系统与z变换由图可见，采样信号x*(t)的频谱X*(

)是以采样角频率

s为周期的无穷多个原连续信号x(t)的频谱X(

)幅值变化了1/T倍，并沿频率轴平移了

n

s后的和。n=0处的频谱称为采样信号频谱的主分量，

n

s(n

0)处的频谱为采样引起的高频辅助分量。易见，假设采样信号x*(t)满足采样定理，那么通过截止频率为s/2的理想低通滤波器可准确地恢复出原始信号x(t)的频谱X()，即恢复出x(t)。第六章线性离散系统与z变换实际滤波器不可能具有理想的频率截止特性，即理想滤波器是不存在的。工程中通常通过保持器〔低通滤波器〕来恢复连续信号x(t)。保持器数学描述从采样过程可知，在采样时刻上，脉冲序列的脉冲强度等于连续信号的幅值，但在两个相邻的采样时刻之间，连续信号的幅值未知，只能根据采样时刻的脉冲强度进行插值或外推。第六章线性离散系统与z变换保持器就是实现外推功能的一种装置。能够物理实现的保持器只能根据现在时刻和过去时刻的采样值完成外推，而不能根据将来时刻的采样值完成外推。保持器的外推规律通常用多项式关系描述：其中，0

t<T。系数a0~am由过去m+1个采样值x*[(n-m)T]~x*(nT)确定。m称为保持器的阶次。第六章线性离散系统与z变换零阶保持器零阶保持器的外推公式为：即零阶保持器按常值外推，将前一采样时刻nT的采样值x*(nT)一直保持到下一采样时刻(n+1)T到来之前，从而使离散采样信号x*(t)变成阶梯连续信号xh(t)。第六章线性离散系统与z变换txh(t)x(t)0T2T3T4T5T6T7Tx(t)xh(t)假设将上述阶梯信号xh(t)的中点连接起来，即可得到与连续信号x(t)形状一致但滞后半个采样周期的响应x(t-T/2)。注意到：第六章线性离散系统与z变换假设考虑保持器串接于采样器之后，并考虑保持器的输入为x*(t)，即将采样器中的考虑到保持器中去：sax(t)x*p(t)x*(t)

零阶保持器xh(t)第六章线性离散系统与z变换从而由：可得结合

后零阶保持器的传递函数：因此，分析采样控制系统时，假设保持器的传递函数表示为上述形式，那么采样信号将直接表示为x*(t)，而不必考虑的影响。第六章线性离散系统与z变换T0-

-2

2

/T4

/T6

/T

|Gh(j

)|

Gh(j

)零阶保持器的频率特性：第六章线性离散系统与z变换零阶保持器的特点：非理想的低通滤波器。允许局部高频分量通过，导致恢复出的连续信号存在纹波。时间延迟特性。延迟时间为T/2，使系统相角滞后加大，对稳定性不利。相位滞后是各阶保持器的共性，与一阶及高阶保持器相比，零阶保持器具有最小的相位滞后，且结构简单，易于实现，因此，实际系统普遍采用零阶保持器。第六章线性离散系统与z变换

Z变换三、Z变换与Z反变换考虑连续信号x(t)(x(t)=0，

t<0)，其采样后的离散信号：显然，离散信号x*(t)的拉氏变换为s的超越函数。令：或第六章线性离散系统与z变换显然，z是复变量，通常称为z变换算子。采样信号x*(t)的z变换定义为：记作：注意：上式中，Z[x(t)]只是为了书写方便，并不是指连续信号x(t)的z变换。z变换又称为采样拉氏变换。第六章线性离散系统与z变换

z变换的方法根据定义求解—级数求和法例1求单位阶跃函数1(t)的z变换。解：注意到：显然：这也是单位阶跃函数可拉氏变换的条件。第六章线性离散系统与z变换例2求理想脉冲序列

T(t)的z变换。解：由例1、例2可见相同的z变换对应于相同的采样信号x*(t)，但不一定对应于相同的原始连续信号x(t)。第六章线性离散系统与z变换例3求指数函数x(t)=e-at(a>0)的z变换。解：根据定义求得的z变换为无穷级数形式，对于常用函数z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。第六章线性离散系统与z变换z变换的无穷级数形式具有明显的物理意义：z-n(n=0,1,2,…)的系数直接表示连续时间函数在各采样时刻上的采样值，而指数n表示从t=0开始，以采样周期T为间隔的各个采样时刻nT。因此，z变换含有时间的概念，可由连续函数z变换的无穷级数形式清楚地看出其在各采样时刻上的采样序列的分布情况。第六章线性离散系统与z变换局部分式法步骤：求连续时间函数x(t)的拉氏变换X(s)；将X(s)展开为局部分式形式，使每一局部分式对应简单的时间函数，求得其相应的z变换；将各局部的z变换相加获得x(t)的z变换。第六章线性离散系统与z变换例4连续函数的拉氏变换：求相应的z变换。解：第六章线性离散系统与z变换例5求x(t)=sin

t的z变换。解：第六章线性离散系统与z变换留数计算法若已知：则：第六章线性离散系统与z变换例6求单位速度函数x(t)=t(t

0)的z变换。解：p1=0，r1=2第六章线性离散系统与z变换其它方法例7求x(t)=cos

t的z变换。解：第六章线性离散系统与z变换例8求单位阶跃函数的z变换。解：由于第六章线性离散系统与z变换

z变换的性质线性性

Z[ax1(t)+bx2(t)]=aZ[x1(t)]+bZ[x2(t)]

其中a、b为常数。时域位移定理其中k为正整数。滞后定理超前定理第六章线性离散系统与z变换证明：当m<0时，x(mT)=0第六章线性离散系统与z变换第六章线性离散系统与z变换复域位移定理初值定理终值定理假设x(nT)(n=0,1,2,…)均为有限值，那么：x(nT)(n=0,1,2,…)均为有限值也可表述为：(z-1)X(z)的全部极点位于z平面的单位圆内。第六章线性离散系统与z变换证明：又由时域位移定理：即：因此：第六章线性离散系统与z变换注意到：所以：第六章线性离散系统与z变换卷积定理x(nT)与y(nT)离散卷积定义为：则：第六章线性离散系统与z变换证明：时域位移定理第六章线性离散系统与z变换

Z反变换x(nT)=Z-1[X(z)]Z反变换的信号序列仍是单边的，即当n<0时，x(nT)=0。

Z反变换的方法幂级数展开法—长除法将X(z)展开为z-1的幂级数。通常X(z)可表示为按z-1升幂排列的有理分式：第六章线性离散系统与z变换通过长除法可得到按z-1升幂排列的展开式：假设上式幂级数收敛，那么按Z变换的定义，式中的系数cn(n=0,1,2,…)即为采样序列x*(t)在各采样时刻的脉冲强度，即：实际应用中，一般只需计算有限几项cn。第六章线性离散系统与z变换解：将X(z)表示为：例1已知：试用幂级数展开法求X(z)的Z反变换。第六章线性离散系统与z变换第六章线性离散系统与z变换即：由此可得：幂级数展开法简单易行，但一般很难得到x(nT)的通式表达。第六章线性离散系统与z变换局部分式法—查表法将X(z)表示为局部分式，再查表获得x*(t)。由于X(z)的分子中通常含有因子z，因此实际运算时，将X(z)/z展开为局部分式，即：从而：无重极点第六章线性离散系统与z变换例2：求X(z)的Z反变换。解：第六章线性离散系统与z变换留数计算法两端同时乘以zn-1，得：上式为罗朗级数，x(nT)为z

-1项系数。根据复变函数中求罗朗级数系数的公式，得：其中，

为z平面上包围X(z)zn-1全部极点的封闭曲线。第六章线性离散系统与z变换根据柯西留数定理，有：即x(nT)等于X(z)zn-1在其所有极点zi上的留数之和。假设zi为X(z)zn-1的ri阶重极点，那么：第六章线性离散系统与z变换解：例3：求X(z)的反变换。第六章线性离散系统与z变换所以：第六章线性离散系统与z变换解：例4：求X(z)的反变换。注意到上式当n=0时，存在z＝0的极点，而当n>0后，该极点消失。当n=0时：第六章线性离散系统与z变换第六章线性离散系统与z变换所以：第六章线性离散系统与z变换

Z变换及反变换只反映X(z)与x*(t)间的关系；关于Z变换与反变换的说明对于连续时间函数而言，Z变换及Z反变换都不是唯一的。

为了全面描述Z反变换后x*(t)的函数特性，可以令采样周期T

0。第六章线性离散系统与z变换采样系统的数学模型—差分方程微分与差分tx(t)0tt+dtdx(t)nx(n)0n-1nn+1…∇x(n)∆x(n)微分：dx(t)=x

(t)dt一阶前向差分：∆x(n)=x(n+1)-

x(n)一阶后向差分：∇x(n)=x(n)-

x(n-1)省略采样周期T第六章线性离散系统与z变换高阶差分二阶前向差分：∆2x(n)=∆[∆x(n)]=∆x(n+1)-∆x(n)

=x(n+2)-2x(n+1)+x(n)二阶后向差分：∇2x(n)=∇[∇x(n)]=∇x(n)-∇x(n-1)=x(n)-2x(n-1)+x(n-2)k阶前向差分：∆kx(n)=∆k-1x(n+1)-∆k-1x(n)k阶后向差分：∇kx(n)=∇k-1x(n)-∇k-1x(n-1)第六章线性离散系统与z变换前向差分差分的Z变换Z[∆x(n)]=Z[x(n+1)-

x(n)]=(z-1)X(z)-

zx(0)Z[∆2x(n)]=(z-1)2X(z)-

z(z-1)x(0)-

z∆x(0)其中：Z变换中因子(z-1)与拉氏变换中s的作用相同。第六章线性离散系统与z变换后向差分第六章线性离散系统与z变换采样系统的数学模型—差分方程微分与差分tx(t)0tt+dtdx(t)nx(n)0n-1nn+1…∇x(n)∆x(n)微分：dx(t)=x

(t)dt一阶前向差分：∆x(n)=x(n+1)-

x(n)一阶后向差分：∇x(n)=x(n)-

x(n-1)省略采样周期T第六章线性离散系统与z变换高阶差分二阶前向差分：∆2x(n)=∆[∆x(n)]=∆x(n+1)-∆x(n)

=x(n+2)-2x(n+1)+x(n)二阶后向差分：∇2x(n)=∇[∇x(n)]=∇x(n)-∇x(n-1)=x(n)-2x(n-1)+x(n-2)k阶前向差分：∆kx(n)=∆k-1x(n+1)-∆k-1x(n)k阶后向差分：∇kx(n)=∇k-1x(n)-∇k-1x(n-1)第六章线性离散系统与z变换前向差分差分的Z变换Z[∆x(n)]=Z[x(n+1)-

x(n)]=(z-1)X(z)-

zx(0)Z[∆2x(n)]=(z-1)2X(z)-

z(z-1)x(0)-

z∆x(0)其中：Z变换中因子(z-1)与拉氏变换中s的作用相同。第六章线性离散系统与z变换后向差分第六章线性离散系统与z变换差分方程例：微分方程的离散化差分方程第六章线性离散系统与z变换一般，n阶离散系统的前向差分方程为：初始条件为：y(i)=yi(i=0~n-1)

x(i)=xi(i=0~m-1)n阶离散系统的后向差分方程为：初始条件为：y(k)=x(k)=0(k<0)。第六章线性离散系统与z变换差分方程的求解迭代法根据给定的初值，利用差分方程的递推关系，迭代求出输出序列。例1差分方程y(k)–5y(k-1)+6y(k-2)=x(k)输入序列x(k)＝1，初始条件为y(k)=0(k<0)，求输出y(k)(k＝0～5)。第六章线性离散系统与z变换解：y(k)＝x(k)+5y(k-1)-6y(k-2)y(0)＝x(0)+5y(-1)-6y(-2)=1y(1)＝x(1)+5y(0)-6y(-1)=6y(2)＝x(2)+5y(1)-6y(0)=25y(3)＝x(3)+5y(2)-6y(1)=90y(4)＝x(4)+5y(3)-6y(2)=301y(5)＝x(5)+5y(4)-6y(3)=966第六章线性离散系统与z变换

Z变换法对差分方程两端取Z变换，利用时域位移定理，得到关于z的代数方程，求得Y(z)后，通过Z反变换得到输出序列y(k)。例2差分方程y(k)–5y(k-1)+6y(k-2)=x(k)输入序列x(k)＝1，初始条件为y(k)=0(k<0)，求输出y(k)。第六章线性离散系统与z变换解：对方程两端进行Z变换：Z[y(k)–5y(k-1)+6y(k-2)]=Z[x(k)]Y(z)–5z-1Y(z)+6z-2Y(z)=X(z)第六章线性离散系统与z变换例3差分方程y(k+2)–5y(k+1)+6y(k)=0初始条件为y(0)=0，y(1)=1，求输出y(k)。解：对方程两端进行Z变换：Z[y(k+2)–5y(k+1)+6y(k)]=0第六章线性离散系统与z变换四、脉冲传递函数脉冲传递函数的定义G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)s1和s2为同步采样器。脉冲传递函数：零初始条件下，输出采样信号xo*(t)的z变换与输入采样信号xi*(t)的z变换之比。记为：第六章线性离散系统与z变换零初始条件：xo(t)=xi(t)=0(t<0)或：xo(kT)=xi(kT)=0(k<0)实际系统的输出往往是连续信号，即采样开关s2不存在，此时，可以在输出端虚设一采样开关，并使其与输入采样开关s1同步，以考察连续输出在各采样时刻的状态。G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)第六章线性离散系统与z变换脉冲传递函数的意义前述，对线性连续系统，输出y(t)与输入x(t)之间满足：式中，当t<0时，g(t)=x(t)=0。g(t)＝L-1[G(s)]为系统的脉冲响应函数。第六章线性离散系统与z变换对图示采样系统，直接作用于系统连续局部的信号为：G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)从而：第六章线性离散系统与z变换因此，输出量在采样时刻的值为：即：g(t)=0,if

t<0第六章线性离散系统与z变换即脉冲传递函数为系统单位脉冲响应序列g(kT)的z变换。通常简记为：从而：G(z)=Z[g(t)]=Z{L-1[G(s)]}=Z[G(s)]需注意：第六章线性离散系统与z变换假设系统差分方程为：那么当y(k)=x(k)=0(k<0)时，两端进行z变换可得：由于：即xo(kT)为不同时刻的输入脉冲通过g[(k-n)T]加权后的和，因此，g(kT)通常称为加权序列。第六章线性离散系统与z变换假设系统差分方程为：当y(0)=y(1)=…=y(n-1)=0，x(0)=x(1)=…=x(m-1)=0时，两端进行z变换可得：第六章线性离散系统与z变换环节串联时的脉冲传递函数离散系统中环节相互串联时，由于采样开关的位置和数目不同，求得的等效脉冲传递函数也不相同。

串联环节之间有采样器G1(s)x1(t)x1*(t)xo(t)xo*(t)s1s3G(z)G2(s)s2x2(t)x2*(t)s1、s2、s3为同步采样器。第六章线性离散系统与z变换因此：即当两环节之间存在采样开关时，等效脉冲传递函数等于两环节脉冲传递函数的乘积。同理：n个环节相串联时，假设相邻环节间均存在同步采样器，那么等效脉冲传递函数等于n个环节脉冲传递函数的乘积。第六章线性离散系统与z变换

串联环节之间无采样器G1(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)G2(s)s1、s2为同步采样器。与G1(z)G2(z)相区别即当两环节之间无采样开关时，等效脉冲传递函数等于两环节传递函数相乘后相应的脉冲响应函数的z变换。第六章线性离散系统与z变换G1(s)x1(t)x1*(t)xo(t)xo*(t)s1s3G(z)G2(s)s2x2(t)x2*(t)s1、s2、s3为同步采样器。例1采样系统方框图如下：其中：比较有s2与无s2时，系统的脉冲传递函数。第六章线性离散系统与z变换解：1〕有s2时第六章线性离散系统与z变换2〕无s2时显然，G1(z)G2(z)

G1G2(z)。尽管如此，易见采样开关只影响脉冲传递函数的零点。第六章线性离散系统与z变换例2采样系统方框图如下：其中：求系统的脉冲传递函数。Gh(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)G1(s)s1、s2为同步采样器。第六章线性离散系统与z变换解：此系统为有零阶保持器的系统。由于e-sT为延迟一个采样周期的延迟环节，因此，e-sTG1(s)/s对应的时域输出比G1(s)/s对应的时域输出延迟了一个采样周期。第六章线性离散系统与z变换根据z变换的时域滞后定理，有：第六章线性离散系统与z变换闭环系统的脉冲传递函数由于采样器位置可变，因此闭环离散系统没有唯一的结构图形式。考虑常见的偏差采样闭环离散系统：

(t)

*(t)xo(t)xo*(t)s1s3

(z)G(s)s1~s4为同步采样器H(s)b(t)xi*(t)b*(t)s2s4xi(t)第六章线性离散系统与z变换由图可知：Xo(s)＝G(s)

*(s)B(s)＝H(s)Xo(s)

(s)＝Xi(s)-B(s)=Xi(s)-

H(s)G(s)

*(s)两边取z变换：

(z)＝Xi(z)-

HG(z)

(z)[G(s)

*(s)]*=G*(s)

*(s)因此：第六章线性离散系统与z变换输入作用下的偏差脉冲传递函数为：与连续系统类似，闭环离散系统的特征方程定义为：D(z)＝1+GH(z)=0其中，GH(z)为该闭环离散系统的开环脉冲传递函数。所以，闭环脉冲传递函数为：第六章线性离散系统与z变换需注意：采用上述类似分析方法，可求得采样器位于其它位置时系统的闭环脉冲传递函数。但只要偏差信号(t)处无采样开关，那么输入信号xi*(t)(包括虚构的xi*(t))便无法获得，从而不可能获得闭环离散系统对输入量的脉冲传递函数，尽管如此，仍有可能求出输出采样信号的z变换Xo(z)。第六章线性离散系统与z变换例如考虑如下闭环离散系统：Xo(s)＝G(s)

(s)，

(s)＝Xi(s)-H(s)Xo*(s)

(t)xo(t)xo*(t)s3G(s)H(s)xi(t)s1xo*(t)Xo(s)＝G(s)Xi(s)-G(s)H(s)Xo*(s)Xo(z)＝XiG(z)-

GH(z)Xo(z)第六章线性离散系统与z变换离散系统的过渡过程分析根本方法：z反变换法求输出序列xo*(t)。单位阶跃响应例1：求图示系统的单位阶跃响应，其中采样周期T=1s。Xi(s)

*(s)Xo(s)s1

(s)第六章线性离散系统与z变换解：第六章线性离散系统与z变换按照采样点估算的近似性能指标：tr＝2stp＝4sts＝12sMp＝40%t(sec)xo*(t)01234567891011121314151600.20.40.60.811.21.41.6第六章线性离散系统与z变换采样器与保持器对动态性能的影响考虑上例，假设无采样器与保持器，那么系统为连续二阶系统，闭环传递函数为：假设无采样器，只有保持器，闭环传递函数为：第六章线性离散系统与z变换假设只有采样器，无保持器，闭环脉冲传递函数为：第六章线性离散系统与z变换StepResponset(sec)01234567891000.20.40.60.811.21.41.6xo(t),xo*(t)连续系统无采样器无保持器采样＋保持采样器使系统快速性提高，稳定性降低；但对大延迟系统，适中选择采样周期可提高稳定性。保持器使系统快速性和稳定性均降低。第六章线性离散系统与z变换采样周期对动态性能的影响StepResponset(sec)01234567891000.20.40.60.811.21.41.6xo*(t)T=1sT=0.5sT=0.1s连续系统采样周期越大，快速性改善越好，但超调越大。第六章线性离散系统与z变换离散系统的稳态误差离散系统没有唯一的典型结构，给不出统一的误差脉冲传递函数形式，因而，其稳态误差需要针对不同形式的离散系统进行求取。离散系统的稳态误差通常利用z变换的终值定理进行求解，所获得的误差是离散系统在采样瞬时的误差。离散系统稳态误差除与系统本身的结构、参数及输入形式有关外，还与采样周期T有关。第六章线性离散系统与z变换例1：求图示系统在单位阶跃、单位速度以及单位加速度输入下的稳态误差，其中采样周期T=1s。Xi(s)

*(s)Xo(s)s1

(s)第六章线性离散系统与z变换解：图示系统为单位反响系统，误差信号等于偏差信号，从而，可求得输入作用下的误差脉冲传递函数为：第六章线性离散系统与z变换1〕单位阶跃输入时第六章线性离散系统与z变换2〕单位速度输入时第六章线性离散系统与z变换3〕单位加速度输入时第六章线性离散系统与z变换离散系统的型别与静态误差系数离散系统的型别按照开环脉冲传递函数所具有的z＝1的极点数v进行划分。与连续系统类似，v＝0，1，2，…的系统分别称为0型、I型、II型系统等。考虑常见的偏差采样闭环离散系统：

(t)

*(t)xo(t)s1G(s)H(s)xi(t)第六章线性离散系统与z变换稳态位置误差系数第六章线性离散系统与z变换稳态速度误差系数第六章线性离散系统与z变换稳态加速度误差系数第六章线性离散系统与z变换五、离散系统的稳定性分析

s平面到z平面的映射显然：即z平面上的单位圆对应s平面的虚轴，单位圆内部对应左半s平面，外部对应右半s平面。第六章线性离散系统与z变换ReIm[s]ReIm[z]00z＝1-

/T

/T3

/T-3

/T1第六章线性离散系统与z变换注意到arg[z]=T，假设=0，当由-/T至/T变化时，z平面上的相应点从-逆时针变换到(逆时针转一圈)。通常将

＝-

/T～

/T称为主频带。当

由

/T至3

/T变化时，z平面上相应点再次逆时针转过一圈。因此，

由-

至

变化时，z平面上的相应点沿单位圆转过无穷圈。第六章线性离散系统与z变换离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件：离散系统闭环特征方程的所有特征根zi<1(i=1,2,3,…,n)均位于z平面的单位圆内，即|zi|<1。应用劳斯判据判别离散系统的稳定性劳斯判据只能用来判别复变量s的代数方程的根是否在虚轴的左面，不能判别特征根的模是否小于1。第六章线性离散系统与z变换考虑如下的双线性变换〔w变换〕为此，需要对离散系统的特征方程进行坐标变换，将z平面的单位圆映射为另一复平面的虚轴，单位圆内部映射到该平面虚轴的左面。令z=x+jy，w=u+jv，那么：第六章线性离散系统与z变换显然：注意到：第六章线性离散系统与z变换ReIm[w]ReIm[z]00z＝1即双线性变换将z平面的单位圆映射到w平面的虚轴，单位圆内部映射到w平面虚轴的左面。第六章线性离散系统与z变换双线性变换〔w变换〕也可采用：例1：分析图示系统稳定时K的取值范围，其中采样周期T=1s。Xi(s)

*(s)Xo(s)s1

(s)第六章线性离散系统与z变换解：由系统结构图有：第六章线性离散系统与z变换系统特征方程为：1＋G(z)=0即：T=

1s时，令：得：第六章线性离散系统与z变换根据劳斯判据，易知系统稳定时，要求：即当0<K<5.82时，系统稳定。此例对应的连续系统为二阶系统，对任意K值，连续系统均稳定，但离散化后，系统可能会成为不稳定系统。第六章线性离散系统与z变换例2：分析采样周期T对图示系统稳定性的影响。Xi(s)

*(s)Xo(s)s1

(s)解：由系统结构图有：第六章线性离散系统与z变换系统特征方程为：1＋G(z)=0即：令：得：第六章线性离散系统与z变换假设T＝2s，得：0<K<1.45系统稳定时，要求：假设T＝0s，系统变为连续系统，对任意K系统均稳定。假设T＝1s，得：0<K<2.39假设T＝0.5s，得：0<K<4.36结论：增大采样周期将降低系统的稳定性。第六章线性离散系统与z变换六、数字控制器与离散PID控制离散控制系统的设计方法采用连续系统的设计方法根据数字局部的等效连续环节，应用连续系统理论设计校正装置，再将校正装置离散化。如在s域或w域应用对数频率特性法设计、在z域应用根轨迹法设计等。

直接数字设计法如最少拍系统的设计。第六章线性离散系统与z变换采样周期T确实定采样周期T对离散控制系统的稳定性和稳态精度均有影响。由采样定理，T越小越利于采样信号的恢复，此时，系统的稳定性和稳态精度也越好，但数字控制器的计算量和存储量也相应加大。采样周期T的选择还应考虑下述因素：

T应远小于受控对象的时间常数以保证采样信号较好地反映系统地瞬态过程；第六章线性离散系统与z变换具有纯时间延迟环节的系统，当延迟时间

较大时，一般应取：T=(1/4~1/8)

；假设系统执行器的响应速度较慢，那么无必要选择较短的采样周期；性能价格比的因素。较短的采样周期要求较高的计算机运算速度和A/D、D/A转换速度；数据采集通道或控制回路较多时，采样周期应稍长。第六章线性离散系统与z变换受控对象采样周期T(秒)流量控制1～2压力控制3～5液位控制5～8温度控制10～15成分控制15～20对工业过程控制系统，采样周期常按下表的经验值选取：第六章线性离散系统与z变换对随动〔伺服〕系统，采样周期除要满足采样定理外，