大学高等数学15方向导数与梯度极值与最值二元泰勒公式最小二乘法和习题讲解

第八章第七节一、方向导数

机动目录上页下页返回结束二、梯度三、物理意义方向导数与梯度一、方向导数定义:假设函数那么称为函数在点

P处沿方向l

的方向导数.在点处沿方向l

(方向角为)存在以下极限:机动目录上页下页返回结束记作定理:那么函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数且有在点P

可微,得机动目录上页下页返回结束故机动目录上页下页返回结束对于二元函数为

,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角例1.求函数

在点

P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动目录上页下页返回结束解:

向量

l

的方向余弦为例2.

求函数在点P(2,3)沿曲线朝x

增大方向的方向导数.解:将曲线用参数方程表示为它在点P

的切向量为机动目录上页下页返回结束例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数机动目录上页下页返回结束二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值方向导数取最大值：机动目录上页下页返回结束1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P

处的梯度记作(gradient),在点处的梯度机动目录上页下页返回结束说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),机动目录上页下页返回结束称为函数f

的等值线

.那么L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.3.梯度的根本运算公式机动目录上页下页返回结束例4.证:试证机动目录上页下页返回结束处矢径r的模,三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意:

任意一个向量场不一定是梯度场.机动目录上页下页返回结束例5.位于坐标原点的点电荷q在任意点试证证:利用例4的结果这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动目录上页下页返回结束内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为机动目录上页下页返回结束2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微机动目录上页下页返回结束梯度在方向l

上的投影.思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向

的夹角

.2.P73题16机动目录上页下页返回结束曲线1.(1)在点解答提示:机动目录上页下页返回结束函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量机动目录上页下页返回结束2.P73题

16P512，3，6，7，8，9，10

作业第八节目录上页下页返回结束备用题

1.函数在点处的梯度解:那么注意x,y,z

具有轮换对称性(92考研)机动目录上页下页返回结束指向B(3,－2,2)方向的方向导数是

.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:那么(96考研)机动目录上页下页返回结束

第八章第八节一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值机动目录上页下页返回结束多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值

定义:假设函数那么称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有机动目录上页下页返回结束说明:

使偏导数都为0的点称为驻点

.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值

但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,那么有存在故机动目录上页下页返回结束时,具有极值定理2

(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令那么:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当证明见第九节(P65).

时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.假设函数机动目录上页下页返回结束例1.求函数解:

第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动目录上页下页返回结束在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动目录上页下页返回结束例2.讨论函数及是否取得极值.解:

显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为机动目录上页下页返回结束二、最值应用问题函数f

在闭域上连续函数f在闭域上可到达最值

最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据机动目录上页下页返回结束例3.解:设水箱长,宽分别为x,ym,那么高为那么水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.机动目录上页下页返回结束例4.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:

设折起来的边长为xcm,那么断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为

,积最大.为问怎样折法才能使断面面机动目录上页下页返回结束令解得:由题意知,最大值在定义域D内到达,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.机动目录上页下页返回结束三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化机动目录上页下页返回结束方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,那么问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有机动目录上页下页返回结束引入辅助函数辅助函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足那么极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.机动目录上页下页返回结束推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,

求函数下的极值.在条件机动目录上页下页返回结束例5.要设计一个容量为那么问题为求x,y,令解方程组解:

设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱外表积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问机动目录上页下页返回结束得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为机动目录上页下页返回结束思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:

利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法机动目录上页下页返回结束设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.机动目录上页下页返回结束平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC

面积S△最大.解答提示:设C

点坐标为(x,y),思考与练习那么机动目录上页下页返回结束设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停机动目录上页下页返回结束

作业

P61

3,4,8,9,10习题课目录上页下页返回结束备用题

1.求半径为R

的圆的内接三角形中面积最大者.解:设内接三角形各边所对的圆心角为x,y,z,那么它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为机动目录上页下页返回结束为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示:目标函数:约束条件:答案:即四边形内接于圆时面积最大.2.

求平面上以机动目录上页下页返回结束*第九节一、二元函数泰勒公式二、极值充分条件的证明机动目录上页下页返回结束二元函数的泰勒公式

第八章一、二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式机动目录上页下页返回结束记号(设下面涉及的偏导数连续):

一般地,机动目录上页下页返回结束

表示表示定理1.的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任一点,那么有其中①②①称为f

在点(x0,y0)的n

阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项

.机动目录上页下页返回结束证:令那么利用多元复合函数求导法那么可得:机动目录上页下页返回结束一般地,由的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.机动目录上页下页返回结束说明:(1)余项估计式.因f

的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界

M,那么有机动目录上页下页返回结束(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)假设函数在区域D

上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上机动目录上页下页返回结束例1.

求函数解:的三阶泰勒公式.因此,机动目录上页下页返回结束其中机动目录上页下页返回结束时,具有极值二、极值充分条件的证明的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令那么:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.假设函数定理2

(充分条件)机动目录上页下页返回结束证:由二元函数的泰勒公式,并注意那么有所以机动目录上页下页返回结束其中

,

,

是当h→0,k→0时的无穷小量,于是(1)当AC－B2＞0

时,必有A≠0,且A

与C

同号,可见,从而△z＞0,因此机动目录上页下页返回结束从而△z＜0,(2)当AC－B2＜0

时,假设A,C不全为零,无妨设A≠0,那么时,有异号;同号.可见△z

在(x0,y0)邻近有正有负,机动目录上页下页返回结束++－假设A＝C＝0,那么必有B≠0,不妨设B＞0,此时可见△z

在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当AC－B2＝0

时,假设A≠0,那么假设A＝0,那么B＝0,为零或非零机动目录上页下页返回结束此时因此作业P671,3,4,5第十节目录上页下页返回结束不能断定(x0,y0)是否为极值点.

第八章*第十节问题的提出:一组实验数据求它们的近似函数关系y＝f(x).需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型

根据数据点的分布规律

根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准实验数据有误差,不能要求机动目录上页下页返回结束最小二乘法

偏差有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小为使所有偏差的绝对来确定近似函数f(x).最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式.,它们大体机动目录上页下页返回结束特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定a,b

令满足:使得解此线性方程组即得a,b称为法方程组机动目录上页下页返回结束例1.为了测定刀具的磨损速度,每隔1小时测一次刀具的厚度,得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.解:

通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为(P67例1)27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567机动目录上页下页返回结束得法方程组解得故所求经验公式为0027.0074924.8137.628140208.5717.0机动目录上页下页返回结束为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:称为均方误差,对此题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏.机动目录上页下页返回结束偏差平方和为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200称为均方误差,对此题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏.机动目录上页下页返回结束偏差平方和为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200例2.在研究某单分子化学反响速度时,得到以下数据:57.641.931.022.716.612.28.96.5369121518212412345678其中

表示从实验开始算起的时间,y表示时刻反响物的量.试根据上述数据定出经验公式(P70例2)解:由化学反响速度的理论知,经验公式应取其中k,m为待定常数.对其取对数得(线性函数)(书中取的是常用对数)机动目录上页下页返回结束因此a,b

应满足法方程组:经计算得解得:所求经验公式为其均方误差为机动目录上页下页返回结束观测数据:用最小二乘法确定a,b通过计算确定某些经验公式类型的方法:机动目录上页下页返回结束作业(习题8-10)

P721,2习题课目录上页下页返回结束

第八章习题课机动目录上页下页返回结束一、根本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用多元函数微分法一、根本概念连续性

偏导数存在

方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续

定义域及对应规律

判断极限不存在及求极限的方法

函数的连续性及其性质2.几个根本概念的关系机动目录上页下页返回结束思考与练习机动目录上页下页返回结束1.

讨论二重极限解法1解法2

令解法3

令时,以下算法是否正确?分析:解法1解法2令机动目录上页下页返回结束此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,解法3

令机动目录上页下页返回结束此法忽略了

的任意性,极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,

的变化应该是任意的.同时还可看到,此题极限实际上不存在.提示:

利用故f

在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.2.证明:机动目录上页下页返回结束而所以f

在点(0,0)不可微!机动目录上页下页返回结束例1.求出的表达式.解法1

令即解法2

以下与解法1相同.那么且机动目录上页下页返回结束二、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法那么“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导〞注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性机动目录上页下页返回结束例2.

设其中f与F分别具解法1

方程两边对x

求导,得有一阶导数或偏导数,

求(99考研)机动目录上页下页返回结束解法2方程两边求微分,得化简消去即可得机动目录上页下页返回结束例3.设有二阶连续偏导数,且求解:机动目录上页下页返回结束练习题1.设函数f二阶连续可微,求以下函数的二阶偏导数2.同济(下)P73题12机动目录上页下页返回结束解答提示:第1题机动目录