高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.7

§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§1

线性变换的定义§6线性变换的值域与核§8若当标准形简介§9最小多项式§7不变子空间小结与习题第七章线性变换§5对角矩阵1/26/2024数学与计算科学学院一、不变子空间的概念二、线性变换在不变子空间上的限制§7.7线性变换的定义三、不变子空间与线性变换的矩阵化简四、线性空间的直和分解1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院设是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的

的子空间，若有则称W是的不变子空间，简称为－子空间.

V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一个变换来说，都是－子空间.

一、不变子空间1、定义注：1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院1）两个－子空间的交与和仍是－子空间.2）设则W是－子空间证：显然成立.任取设

则

故W为的不变子空间.2、不变子空间的简单性质由于

1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院1）线性变换的值域与核都是的不变子空间.证：

有

故为的不变子空间.又任取有3、一些重要不变子空间也为的不变子空间.

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不变子空间数学与计算科学学院2）若则与都是－子空间.

证：

对存在

使于是有，

为的不变子空间.

其次，由

对有

1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院于是

故为的不变子空间.

的多项式的值域与核都是的不变子空间.这里为中任一多项式.注：1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院4）线性变换的特征子空间是的不变子空间.

有

5）由的特征向量生成的子空间是的不变子空间.

证：设是的分别属于特征值

的特征向量.

3）任何子空间都是数乘变换的不变子空间.

任取设则

为的不变子空间.

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不变子空间数学与计算科学学院事实上，若

则为的一组基.因为W为－子空间，即必存在使是的特征向量.

特别地，由的一个特征向量生成的子空间是一个一维－子空间.

反过来，一个一维－子空间必可看成是的一个特征向量生成的子空间.

注：1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院二、在不变子空间W引起的线性变换定义：不变子空间W上的限制

.记作

在不变子空间W上引起的线性变换，或称作在

设是线性空间V的线性变换，W是V的一个的

不变子空间.把看作W上的一个线性变换，称作1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院①当时，

③任一线性变换在它核上引起的线性变换是零

变换，即即有

注：当时，无意义.

②在特征子空间上引起的线性变换是数乘变换，1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院1、设是维线性空间V的线性变换，W是V

的－子空间，为W的一组基，把它扩允为V的一组基：若在基下的矩阵为，则

在基下的矩阵具有下列形状:

三、不变子空间与线性变换的矩阵化简1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院反之，若

则由生成的子空间必为的不变子空间.

事实上，因为W是V的不变子空间.

即，均可被线性表出.1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院从而，

设1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院在这组基下的矩阵为

若，则

为V的一组基，且在这组基下的矩阵为准对角阵

2、设是维线性空间V的线性变换，都是的不变子空间，而是的一组基，且

（1）

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不变子空间数学与计算科学学院的子空间为的不变子空间，且V具有直和分解：

由此即得：下的矩阵为准对角矩阵(1),则由生成

V的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形V可分解为一些的不变子空间的直和.反之，若在基1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院定理12：设为线性空间V的线性变换，是

四、线性空间的直和分解是的特征多项式.若具有分解式：

再设则都是的不变

子空间；且V具有直和分解：1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院证：令则是的值域，是的不变子空间.

又

（2）1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院下证分三步：

证明

∴存在多项式使

于是

∴对有

证明是直和.

证明

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不变子空间数学与计算科学学院这里

1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院其中（也即，），则

∴存在使

于是

(3)

即证，若证明是直和.1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院用作用（3）的两端，得

又

1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院从而

所以是直和.∴有多项式，使1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院证明:首先由(2)，有即

其次，任取设即

令

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不变子空间数学与计算科学学院由（2）,

有从而有又

又由，是直和，它的零向量分解式即唯一.1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院

综合，即有于是

故

即有

是的不变子空间，且

1/26/2024§7.7

不变子空间数学与计算科学学院练习：设3维线性空间V的线性变换在基下的矩阵为

证明：