数学建模案例（上）

经济数学某饮料生产企业现在需要设计一批容积为V的圆柱形饮料包装盒，问应怎样设计才能使所用材料最省？7．1数学建模概述引例（一）：第7章

数学建模案例７．１

?经济数学7．1数学建模概述引例（二）：第7章

数学建模案例７．１经济数学7．1．1数学建模简介

数学的语言〔图、表、式等等〕、方法解决实际问题的全过程就是数学建模。7.1.1经济数学１．数学模型7．1．2数学模型与数学模型的分类7.1.2由数字、字母或其它数学符号组成，描述实际对象数量规律的数学公式、图象或算法〔或：实际问题的数学描述〕称为数学模型。例如（１）：

甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行18千米。两人相遇时距全程中点3千米。求全程长多少千米？小学生的方法：（千米）中学生的方法：设：相遇时甲行驶了千米，乙行驶了千米，甲乙相距a千米，则经济数学１．数学模型7．1．2数学模型与数学模型的分类7.1.2〔2〕导数是曲线的切线斜率、直线运动瞬时速度的数学模型经济数学2.数学模型分类7．1．2数学模型与数学模型的分类7.1.2按变量的特性分有：连续型模型和离散型模型；确定性模型和随机性模型;静态模型和动态模型等等。例如：温度与时间的关系曲线就是一种连续模型；商场销售量与时间的关系就是一种离散模型。

按数学方法分有：初等模型，微分方程模型，运筹模型，线性模型，非线性模型、网络模型，随机模型等等。

经济数学2.数学模型分类7．1．2数学模型与数学模型的分类7.1.2按应用领域分有：人口模型，生态模型，交通模型，环境模型，经济模型等等。按对模型结构了解程度分有：白箱模型，灰箱模型和黑箱模型。白箱模型是指所涉及问题的机理相当清楚；黑箱模型是指对机理很不清楚；而灰箱模型那么有别于白、黑箱之间。经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.2在日常生活里，将一只四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，其中三条腿常同时着地〔不在同一条直线上的三点确定一平面〕，如果第四条腿不着地，椅子未放稳，问能否稍作挪动，就可以使四条腿同时着地〔即椅子放稳〕？1.提出问题

经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.21．椅子：假设椅子的四条腿一样长，椅子腿与地面接触处视为一点，四条腿的连线呈正方形．2．地面：地面高度是连续变化的，地面无断裂，呈连续曲面．3．椅子与地面相对关系：对椅子腿的间距和椅子腿的高度而言，地面是相对平坦的，因而能使椅子在任何位置上呈三条腿同时着地．2.模型假设经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.2.13.建立模型（一）建立模型的分析1．稍作挪动-如图7-12．椅子脚着地－即椅子脚与地面距离为零3．椅子放稳－结合１，２给出数学模型设,为非负连续函数，如果＝０且,那么必存在，使ABCDOA1B1C1D1A图7-1经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例3.建立模型7.2.1显然，，由假设（2）知，为的连续函数；由假设（3）知，由于三点着地，故对任意位置，和中至少有一个为零，即=0．我们不妨假设A、C处椅子两脚着地；B、D处有一脚未着地．于是有，．如果“稍作挪动”，即旋转一适当角，使那么就表明椅子四个脚着地，椅子放稳了．、

ABCDOA1B1C1D1A图7-1经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.2.13.建立模型ABCDOA1B1C1D1A图7-1（二）模型建立:将椅子放到直角坐标平面上，A、B、C、D为四条腿与地平面的接触点（或投影点），连线后构成正方形，是一个中心对称图形，如图7-1所示．1）“稍作挪动”．假设椅子中心投影O不变，仅作旋转，用角来描述椅子位置．图7-1表示正方形旋转角是正方形2）如何度量椅子脚着地与否？用椅子脚与地面的距离来度量，零距离表示椅子脚着地，非零距离则表示椅子脚不着地．3）如何度量椅子放稳否？这是整个模型的关键，我们需要找出椅子放稳与否的数学描述和表征．由上知，椅子脚离地面距离是的函数，又由于图形ABCD中心对称，我们可用以下和度量之，即设、A、C处两椅子脚与地面的距离之和；B、D处两椅子脚与地面的距离之和；经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.2.13.建立模型设,为非负连续函数，如果＝０且，那么必存在，使

经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.2.14.模型求解将椅子旋转，即正方形AC边转至边BD，BD边转至AC边．AC的初始情形时，有，；AC转至BD边位置后，有，令，则有经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.2.14.模型求解因、为连续函数，故也为连续函数．由连续函数的介值定理知：存在，使，即有但，故有经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.2.15.解释和讨论，表明椅子四脚均着地，椅子放稳了．便是要挪动（旋转）的适当角度．由于地面相对平坦，所以不考虑平移，仅考虑旋转是允许的．经济数学7．2．2库存问题7．2数学模型案例7.2.21.提出问题一个销售企业，如何安排进货才能使库存保管费、进货费最省

经济数学7．2．2库存问题7．2数学模型案例7.2.22.模型假设〔1〕在方案期T〔通常以一年为方案期〕内对货物的需求量Q是确定的．〔2〕在方案期T内分次n次进货，每次进货量为，即进货是均匀的．〔3〕每件货物贮存单位时间的贮存费用及每次进货费用都为常数．〔4〕货物均匀投放市场．一般来说，货物先入库暂存，然后均匀提出．这时，库存货物量的最大值就是每次的进货量，随着时间推移均匀降至零，一旦库存货量为零，立即得到货物补充且进货瞬间完成．因此，货物的库存量的图像如图7-2所示．由此得，平均库存量为经济数学7．2．2库存问题7．2数学模型案例7.2.2

3.建立模型在以上假定条件下，总贮存费用为:总进货费用为:总费用为:若每次进货件，则代入上式，得经济数学7．2．2库存问题7．2数学模型案例7.2.24.模型求解令，得惟一驻点，又，所以惟一的驻点就是最小值点．故当每次进货数量为时，库存保管费、进货费之和最省．经济数学7．2．2库存问题7．2数学模型案例7.2.25.解释和讨论从上述结果可以看出，每次进货数量与每次进货费用和需求量Q成正比,与每件货物贮存单位时间的贮存费用越大与计划期T成反比．当每次进货费用与需求量Q较大时，每次进货数量就要多；当每件货物贮存单位时间的贮存费用较大与计划期T较长时，每次进货数量要少．经济数学7．2．3新产品销售模型7．2数学模型案例7.2.31.提出问题一种新产品面世，厂家和商家总要采取各种措施，促进销售．他们都希望产品的销售速度与销售数量做到必中有数，以便于组织生产，安排进货．如何用一个数学模型来描述产品推销速度，并由此分析出有用结果，以指导生产与销售．经济数学7．2．3新产品销售模型7．2数学模型案例7.2.32.模型假设

（1）假设该产品是耐用品，可以长期使用，一般不会废弃和重复购置，价格相对稳定．（2）该产品刚进入市场，人们对其功能尚不熟悉，所以销售速度较慢．随着销售数量的增加，人们对于它的熟悉程度就会增加，销售速度也会增加，但这类产品销售一定数量时，因为人们不会重复购置，而使销售速度减慢．假设需求量有一个上界M，用表示时间t已售出的产品量，尚未购置的人数大约为M－．（3）设销售速度与销售量和M－的积成正比，比例系数为k．

经济数学7．2．3新产品销售模型7．2数学模型案例7.2.33.模型建立

经济数学7．2．3新产品销售模型7．2数学模型案例7.2.34.模型求解

或

C是任意常数．

经济数学7．2．3新产品销售模型7．2数学模型案例7.2.35.模型分析和讨论

因为显然，当时,=0,从而求得,使

由此我们可做如