课程-电工电子技术

第3章正弦交流电路3.2正弦量的相量表示法3.4单一参数的交流电路3.1正弦电压与电流3.3交流电路根本元件与根本定律3.5电阻、电感与电容电路3.7三相正弦交流电路3.6功率与功率因数第3章正弦交流电路1.理解正弦量的特征及其各种表示方法；2.理解电路根本定律的相量形式及阻抗；3.熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法,会画相量图;4.掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时功率、无功功率和视在功率的概念；5.了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐振的条件及特征；6.了解提高功率因数的意义和方法。本章要求

3.1

正弦电压与电流正弦量：时间按正弦规律做周期变化的量。

_u正弦交流电的优越性：

便于传输；易于变换便于运算；有利于电器设备的运行；正半周负半周Ru+_

_i+_Ru+_3.1.1正弦交流电流设正弦交流电流：幅值、角频率、初相位成为正弦量的三要素。角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小初相位：决定正弦量起始位置

Im

2TiO3.1.2频率与周期周期T：变化一周所需的时间〔s〕角频率：〔rad/s〕频率f：（Hz）T*无线通信频率：

30kHz~30GMHz*电网频率：我国50Hz，美国

、日本60Hz*高频炉频率：200~300kHZ*中频炉频率：500~8000HziO3.1.3幅值与有效值有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。幅值：Im、Um、Em则有交流直流幅值必须大写,下标加m。同理：有效值必须大写

给出了观察正弦波的起点或参考点。

:3.1.4初相位与相位差

相位：

注意：交流电压、电流表测量数据为有效值交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值初相位：

表示正弦量在t=0时的相角。

反映正弦量变化的进程。iO如：若电压超前电流

两同频率的正弦量之间的初相位之差。相位差

：uiui

ωtO

电压与电流反相电流超前电压电压与电流同相

电流超前电压

uiωtui

Ouiωtui90°OuiωtuiOωtuiuiO②不同频率的正弦量比较无意义。

①两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。注意:tO3.2正弦量的相量表示法瞬时值表达式前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。波形图

１.正弦量的表示方法重点必须小写相量uO2.正弦量用旋转有向线段表示ω设正弦量:若:有向线段长度=ω有向线段以速度

按逆时针方向旋转那么:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。有向线段与横轴夹角=初相位u0xyOO+j+1Abar03.正弦量的相量表示复数表示形式设A为复数:(1)代数式A=a+jb复数的模复数的辐角实质：用复数表示正弦量式中:(2)三角式由欧拉公式:(3)指数式

可得:

设正弦量:相量:表示正弦量的复数称相量电压的有效值相量(4)极坐标式相量表示:相量的模=正弦量的有效值

相量辐角=正弦量的初相角？=电压的幅值相量①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。相量的模=正弦量的最大值

相量辐角=正弦量的初相角或：⑤相量的书写方式模用最大值表示，那么用符号：④相量的两种表示形式

相量图:

把相量表示在复平面的图形

实际应用中，模多采用有效值，符号：可不画坐标轴如：已知则或相量式:旋转因子：⑥“j〞的数学意义和物理意义设相量+1+jo相量乘以，将逆时针旋转，得到相量乘以，将顺时针旋转

，得到

落后于超前落后？解:(1)相量式(2)相量图例1:

将u1、u2用相量表示+1+j例2:有效值I=16.8A求：3.3.1电阻元件描述消耗电能的性质根据欧姆定律:即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系线性电阻

金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的导电性能有关，表达式为：说明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。电阻的能量Ru+_3.3交流电路根本元件与根本定律描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。1.物理意义电感:(H、mH)线性电感:L为常数;非线性电感:L不为常数3.3.2电感元件电流通过N匝线圈产生(磁链)电流通过一匝线圈产生(磁通)u

+-线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质的导磁性能等有关。自感电动势：2.自感电动势方向的判定(1)自感电动势的参考方向规定:自感电动势的参考方向与电流参考方向相同,或与磁通的参考方向符合右手螺旋定那么。+-eL+-L电感元件的符号S—线圈横截面积（m2）l—线圈长度（m）N—线圈匝数μ—介质的磁导率（H/m）(2)自感电动势瞬时极性的判别0<eL与参考方向相反eL具有阻碍电流变化的性质eL实+-eLu+-+-eL实-+0eLu+-+-eL与参考方向相同

0>0(3)电感元件储能根据基尔霍夫定律可得：将上式两边同乘上i，并积分，那么得：即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源放还能量。磁场能例1:有一电感元件，L=0.2H,电流i如下图，求电感元件中产生的自感电动势eL和两端电压u的波形。解：当时则：当时24624O246-0.20.4246-0.40.2OO由图可见：(1)电流正值增大时，eL为负，电流正值减小时，eL为正；(2)电流的变化率di/dt大，那么eL大；反映电感阻碍电流变化的性质；(3)电感两端电压u和通过它的电流i的波形是不一样的。24624O246-0.20.4246-0.40.2OO3.3.3电容元件

描述电容两端加电源后，其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷，在介质中建立起电场，并储存电场能量的性质。电容：uiC+_电容元件电容器的电容与极板的尺寸及其间介质的介电常数等关。S—极板面积（m2）d—板间距离（m）ε—介电常数（F/m）当电压u变化时，在电路中产生电流:电容元件储能将上式两边同乘上u，并积分，那么得：即电容将电能转换为电场能储存在电容中，当电压增大时，电场能增大，电容元件从电源取用电能；当电压减小时，电场能减小，电容元件向电源放还能量。电场能根据：1.电压与电流的关系②大小关系：③相位关系：

u、i

相位相同①频率相同相位差：相量图3.4.1电阻元件的交流电路Ru+_相量式：设3.4单一参数的交流电路2.功率关系(1)瞬时功率

p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写结论:

（耗能元件）,且随时间变化。piωtuOωtpOiu瞬时功率在一个周期内的平均值大写(2)平均功率(有功功率)P单位:瓦〔W〕PRu+_ppωtO注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。根本关系式：①频率相同②U=IL

③电压超前电流90

相位差1.电压与电流的关系3.4.2

电感元件的交流电路设：+-eL+-LuωtuiiO或则:感抗(Ω)电感L具有通直阻交的作用直流：f=0,XL=0，电感L视为短路定义：有效值:交流：fXL感抗XL是频率的函数可得相量式：电感电路复数形式的欧姆定律相量图超前根据：则：O2.功率关系(1)瞬时功率(2)平均功率

L是非耗能元件储能p<0+p>0分析：瞬时功率

：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0p<0放能储能放能电感L是储能元件。iuopo结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换〔能量的吞吐)。可逆的能量转换过程用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率到达的最大值表征，即单位：var(3)无功功率Q瞬时功率

：例1:把一个0.1H的电感接到f=50Hz,U=10V的正弦电源上，求I，如保持U不变，而电源f=5000Hz,这时I为多少？解：(1)当f=50Hz时〔2〕当f=5000Hz时所以电感元件具有通低频阻高频的特性练习题：1.一只L=20mH的电感线圈，通以的电流求(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u;(3)有功功率和无功功率。电流与电压的变化率成正比。

基本关系式：1.电流与电压的关系①频率相同②I=UC

③电流超前电压90

相位差则：3.4.3电容元件的交流电路uiC+_设：iuiu或那么:容抗〔Ω〕定义：有效值所以电容C具有隔直通交的作用XC直流：XC，电容C视为开路交流：f容抗XC是频率的函数可得相量式则：电容电路中复数形式的欧姆定律相量图超前O由：2.功率关系(1)瞬时功率uiC+_(2)平均功率Ｐ由C是非耗能元件瞬时功率

：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0充电p<0放电+p>0充电p<0放电po所以电容C是储能元件。结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换〔能量的吞吐)。uiou,i同理，无功功率等于瞬时功率到达的最大值。(3)无功功率Q单位：var为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设则：单一参数电路中的根本关系小结参数LCR基本关系阻抗相量式相量图单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图(参考方向)阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设那么u、i同相0LC设那么那么u领先i90°00根本关系+-iu+-iu+-设u落后i90°小结设：则(1)瞬时值表达式根据KVL可得：RLC+_+_+_+_3.5电阻、电感与电容电路3.5.1RLC串联电路1.电流、电压的关系(2)相量法设（参考相量）则总电压与总电流的相量关系式RjXL-jXC+_+_+_+_1)相量式令则Z的模表示u、i的大小关系，辐角〔阻抗角〕为u、i的相位差。Z

是一个复数，不是相量，上面不能加点。阻抗复数形式的欧姆定律注意根据电路参数与电路性质的关系：阻抗模：阻抗角：当XL>XC时，

>0，u超前i呈感性当XL<XC时，

<0，u滞后i呈容性当XL=XC时，

=0，u.

i同相呈电阻性

由电路参数决定。2)相量图(

>0感性)XL

>

XC参考相量由电压三角形可得:电压三角形(

<0容性)XL

<

XCRjXL-jXC+_+_+_+_由相量图可求得:2)相量图由阻抗三角形：电压三角形阻抗三角形2.功率关系储能元件上的瞬时功率耗能元件上的瞬时功率在每一瞬间,电源提供的功率一局部被耗能元件消耗掉,一局部与储能元件进行能量交换。(1)瞬时功率设：RLC+_+_+_+_(2)平均功率P〔有功功率〕单位:W总电压总电流u与i的夹角cos

称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。(3)无功功率Q单位：var总电压总电流u与i的夹角根据电压三角形可得：根据电压三角形可得：电感和电容与电源之间的能量互换(4)视在功率S电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：V·A注：SN＝UNIN称为发电机、变压器等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。

P、Q、S都不是正弦量，不能用相量表示。阻抗三角形、电压三角形、功率三角形SQP将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形R例1：:求:(1)电流的有效值I与瞬时值i;(2)各局部电压的有效值与瞬时值；(3)作相量图；(4)有功功率P、无功功率Q和视在功率S。在RLC串联交流电路中，解：(1)(2)方法1：通过计算可看出：而是(3)相量图(4)或(4)或呈容性方法2：复数运算解：例2：:在RC串联交流电路中，解：输入电压(1)求输出电压U2，并讨论输入和输出电压之间的大小和相位关系(2)当将电容C改为时,求(1)中各项；(3)当将频率改为4000Hz时,再求(1)中各项。RC+_+_方法1：(1)大小和相位关系比超前方法2：复数运算解：设方法3：相量图解：设〔3〕大小和相位关系比超前从本例中可了解两个实际问题：(1)串联电容C可起到隔直通交的作用(只要选择适宜的C，使)(2)RC串联电路也是一种移相电路，改变C、R或f都可到达移相的目的。一般正弦交流电路的解题步骤1、根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图3、用相量法或相量图求解4、将结果变换成要求的形式例1：电源电压和电路参数，电路结构为串并联。求电流的瞬时值表达式。一般用相量式计算:分析题目：:求:+-解：用相量式计算+-同理：+-例2：以下图电路中：I1=10A、UAB=100V，求：总电压表和总电流表

的读数。解题方法有两种：(1)用相量(复数)计算(2)利用相量图分析求解分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数，求总电流和电压AB

C1VA求：A、V的读数：I1=10A、UAB=100V，解法1:

用相量计算所以A读数为10安AB

C1VA即：为参考相量，设：则：V读数为141V

求：A、V的读数：I1=10A、UAB=100V，AB

C1VA解法2:利用相量图分析求解画相量图如下：设为参考相量,由相量图可求得：I=10A求：A、V的读数：I1=10A、UAB=100V，超前1045°AB

C1VAUL=IXL

=100VV

=141V由相量图可求得：求：A、V的读数：I1=10A、UAB=100V，设为参考相量,1001045°10045°AB

C1VA由相量图可求得：解：RXLXC+–S例3：开关闭合后u，i同相。开关闭合前求:(1)开关闭合前后I2的值不变。RXLXC+–S解：(2)用相量计算∵开关闭合后u，i同相，由实部相等可得由虚部相等可得设:解：求各表读数例4:图示电路中已知:试求:各表读数及参数R、L和C。(1)复数计算+-AA1A2V

(2)相量图根据相量图可得：求参数R、L、C方法1：+-AA1A2V方法2：45

即:

XC=20

例5：图示电路中,:U=220V,ƒ=50Hz,分析以下情况:(1)K翻开时,P=3872W、I=22A，求：I1、UR、UL(2)K闭合后发现P不变，但总电流减小，试说明

Z2是什么性质的负载？并画出此时的相量图。解:(1)K翻开时:+-S+(2)当合K后P不变I减小,说明Z2为纯电容负载相量图如图示:方法2:+-S+3.5.2谐振电路在同时含有L和C的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。串联谐振：L

与C

串联时u、i同相并联谐振：L

与C

并联时u、i同相研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。谐振的概念：同相

由定义，谐振时：或：即谐振条件：谐振时的角频率串联谐振电路(1)谐振条件1.串联谐振RLC+_+_+_+_(2)谐振频率

根据谐振条件：或电路发生谐振的方法：1)电源频率f一定，调参数L、C使fo=f；2)电路参数LC一定，调电源频率f，使f=fo或：(3)串联谐振特怔1)

阻抗最小可得谐振频率为：当电源电压一定时：2)电流最大电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，和相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。3)同相4)电压关系电阻电压：UR=IoR=U大小相等、相位相差180

电容、电感电压：UC、UL将大于电源电压U当时：有：由于可能会击穿线圈或电容的绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振，但在无线电工程上，又可利用这一特点达到选择信号的作用。令：表征串联谐振电路的谐振质量品质因数，所以串联谐振又称为电压谐振。注意谐振时:与相互抵消，但其本身不为零，而是电源电压的Q倍。相量图：如Q=100,U=220V,则在谐振时所以电力系统应防止发生串联谐振。(4)谐振曲线1)串联电路的阻抗频率特性

阻抗随频率变化的关系。容性感性02)谐振曲线电流随频率变化的关系曲线。Q值越大，曲线越锋利，选择性越好。Q大Q小分析：谐振电流电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能力——称为选择性。fR

通频带：谐振频率上限截止频率下限截止频率Q大通频带宽度越小(Q值越大)，选择性越好，抗干扰能力越强。Q小△ƒ=ƒ2－ƒ1当电流下降到0.707Io时所对应的上下限频率之差，称通频带。即：(5)串联谐振应用举例接收机的输入电路：接收天线：组成谐振电路电路图为来自3个不同电台(不同频率)的电动势信号调C，对所需信号频率产生串联谐振等效电路+-最大则例1：：解：若要收听节目，C应配多大？+-则：结论：当C调到204pF时，可收听到

的节目。(1)例1：

已知：所需信号被放大了78倍+-信号在电路中产生的电流有多大？在C上产生的电压是多少？(2)电路在解：时产生谐振这时2.并联谐振(1)谐振条件+-实际中线圈的电阻很小，所以在谐振时有则：(1)谐振条件(2)谐振频率或可得出：由：(3)并联谐振的特征1)阻抗最大，呈电阻性(当满足

0L

R时)2)恒压源供电时，总电流最小；恒流源供电时，电路的端电压最大。3)支路电流与总电流

的关系当

0L

R时，

1支路电流是总电流的Q倍电流谐振相量图例2：：解：试求：+-例3：电路如图：已知R=10、IC=1A、

1=45（间的相位角）、ƒ=50Hz、电路处于谐振状态。试计算I、I1、U、L、C之值，并画相量图。解：(1)利用相量图求解相量图如图:由相量图可知电路谐振，则：+-又：(2)用相量法求解例3：设：则：例3：解：图示电路中U=220V,(1)当电源频率时,UR=0试求电路的参数L1和L2(2)当电源频率时,UR=U故:(1)即:I=0并联电路产生谐振,即:+-试求电路的参数L1和L2(2)当电源频率时,UR=U所以电路产生串联谐振,并联电路的等效阻抗为:串联谐振时,阻抗Z虚部为零,可得:总阻抗+-3.6功率与功率因数1.功率因数:对电源利用程度的衡量。X

+-的意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角时,电路中发生能量互换,出现无功当功率这样引起两个问题:(1)电源设备的容量不能充分利用若用户：则电源可发出的有功功率为：若用户：则电源可发出的有功功率为：而需提供的无功功率为:所以提高可使发电设备的容量得以充分利用无需提供的无功功率。〔2〕增加线路和发电机绕组的功率损耗(费电)所以要求提高电网的功率因数对国民经济的开展有重要的意义。设输电线和发电机绕组的电阻为:要求:(Ｐ、Ｕ定值)时所以提高可减小线路和发电机绕组的损耗。(导线截面积)2.功率因数cos

低的原因日常生活中多为感性负载---如电动机、日光灯，其等效电路及相量关系如以下图。相量图+-+-+-感性等效电路40W220V白炽灯

例40W220V日光灯

供电局一般要求用户的

否则受处罚。

常用电路的功率因数纯电阻电路R-L-C串联电路纯电感电路或纯电容电路电动机空载电动机满载日光灯（R-L串联电路）(2)提高功率因数的措施:3.功率因数的提高

必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。

在感性负载两端并电容I(1)提高功率因数的原那么：+-结论并联电容C后：(2)

原感性支路的工作状态不变:不变感性支路的功率因数不变感性支路的电流(3)

电路总的有功功率不变因为电路中电阻没有变，所以消耗的功率也不变。(1)电路的总电流，电路总功率因数I电路总视在功率S4.并联电容值的计算相量图:又由相量图可得：即:+-思考题:1.电感性负载采用串联电容的方法是否可提高功率因数,为什么?2.原负载所需的无功功率是否有变化,为什么?3.电源提供的无功功率是否有变化,为什么?例1:解：(1)（2）如将从0.95提高到1，试问还需并多大的电容C。（1）如将功率因数提高到,需要并多大的电容C,求并C前后的线路的电流。一感性负载,其功率P=10kW,，接在电压U=220V,ƒ=50Hz的电源上。即即求并C前后的线路电流并C前:可见:cos1时再继续提高，那么所需电容值很大〔不经济〕，所以一般不必提高到1。并C后:(2)从0.95提高到1时所需增加的电容值例2:解：(1)电源提供的电流为：电源的额定电流为：(1)该电源供出的电流是否超过其额定电流？已知电源UN=220V,ƒ=50Hz，SN=10kV•A向PN=6kW,UN=220V，的感性负载供电，(2)如并联电容将

提高到0.9，电源是否还有

富裕的容量？该电源供出的电流超过其额定电流。（2）如将提高到0.9后，电源提供的电流为：

该电源还有富裕的容量。即还有能力再带负载；所以提高电网功率因数后，将提高电源的利用率。3.7三相正弦交流电路3.7.1三相交流电源1.三相电动势的产生定子〔电枢〕放三个线圈：U1-U2、V1-V2

、W1-W2首端U1

V1W1末端U2V2W2三线圈空间位置各差120o转子〔磁极〕并以的速度旋转。

气隙磁场按正弦规律分布三个线圈中便产生三个幅值相等、频率相同、相位互差120o的正弦电动势。••U1U2W1V1W2SN

+-φ•V2转子定子2.三相电动势的表示①解析式：②相量图：③相量式：

对称三相电源的特点：幅值相等、频率相同、相位互差120o2e3e1e

to④正弦曲线：相序：三相电压出现的先后次序正序U1→V1→W1→U1逆序U1→W1→V1→U13.三相电源的联接①星形接法（火线）L2三相四线制供电（火线）L1（火线）L3（中线）N相电压UP

：火线对零线的电压。120

120

120

线电压Ul

：火线间的电压（火线）L2三相四线制供电（火线）L1（火线）L3（中线）N线电压和相电压的关系30

线电压超前相电压30°

相量图:U1·U2·U3·U31·300U12·

·-U2U23·线电压与相电压的关系式：在日常生活与工农业生产中，常用的电压模式

---为相电压

---为线电压

②三角形接法特点：线电压=相电压无环流U1L1U2V2L3L2W2V1W1环流很大W1

W2

接反W1W2星形〔Y〕接法3.7.2三相负载的星型(Y)连接三角形〔Δ〕接法L1L3L2

NZZZL1L3L2ZZZ1.负载对称L2L1L3N采用单相计算：中线电流：去掉中线，采用三相三线制例解：

L3ZL1L2ZZ采用单相计算：2.负载不对称〔有中线〕采用各相单独计算：各相电压对称中线电流：L2L1L3N例解：

L3RL1