类比与猜想四面体一系列性质发现的重要方法-广东中学

四面体相关性质的教学课例丁瑜（1985）女，2008级研究生，课程与教学论专业,E-mail:yingyingziding@163.com.丁瑜（1985）女，2008级研究生，课程与教学论专业,E-mail:yingyingziding@163.com.周逸（1983）男，2008级研究生，课程与教学论专业,E-mail:zhouyi20080831@163.com.广东实验中学数学科周逸皮亚杰的建构主义理论认为：知识既不是客观的,也不是主观的,而是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果.学习不应被看成是对知识的被动接受,而是要有一个在不同个体之间进行表述、交流、批评与反思以及不断改进的过程.在充分发挥学生学习主动性的同时,又应发挥教师的指导和促进作用.基于上述理论,笔者认为：数学教学中,教师要努力营造让学生自己建构知识的氛围,让学生经历独立思考、合作交流过程,充分体会数学发现、创造的思维过程,感受其中的乐趣.教师应尊重学生的建构,努力发现学生在学习过程中的积极成分,保护学生勇于创造的强烈动机,即使学生会犯某些错误,教师应采取理解的态度,精心呵护学生的“拙劣”建构[1].笔者曾在教育实习过程，尝试运用建构主义理论指导教学工作,感触颇多.特已记录其中一个教学课例——四面体相关性质.本节课主要是以学生为主体地位,教师不断地鼓励学生通过观察、类比、猜测、验证、证明来发现探讨四面体的一系列性质．在这过程中还结合计算机技术——超级画板的使用.１课例：四面体的相关性质1.1教学目标知识目标：理解掌握四面体的一系列性质.能力目标：培养观察、类比、猜想、验证、证明的能力.情感目标：三角形与四面体的性质对比,使学生认为数学是个统一的整体.体会数学发现的乐趣,从而提高数学学习兴趣.1.2教学重难点重点：四面体性质的理解与掌握.难点：合理猜想的形成.1.3教学方法师生互动交流,借助于超级画板1.4教学过程情景1：教师开门见山,指出本节课的学习重点——四面体的性质问题.由于四面体的各个面都为三角形,教师引导学生从三角形的性质出发思考,大胆猜想四面体的性质．教学评价：类比在数学发现中具有重要的作用.如德国天文学家、数学家开普勒所说的,“我珍视类比胜于任何别的东西,它是我最可依赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何学中他应该是不容忽视的.”情景1中教师鼓励学生回忆旧知、展开类比、进而大胆猜想、希望借此开拓学生的思维,得到重要的数学发现.情景2：学生罗列三角形的相关性质：内角和为1800；两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；中位线平行且等于底边的一半；勾股定理；三角形角平分线性质；正余弦定理；重心公式；三角形的射影定理等等．学生们相继提出自己的猜想并讲出理由.具体如下.学生1：我想四面体各面上所有角的和是7200，有四个面，每个面都为三角形，每个面1800，四个面上的角的度数总共有7200．教师：其他同学都同意吗？（学生们都点头表示同意）教师也对学生1的结论表示肯定．并写出性质1：四面体各面上所有角的度数和是7200.学生2：类似于三角形两边和大于第三边,两边差小于第三边．我想四面体的任两面面积之和大于第三面的面积,任两面的面积只差小于第三面的面积.此时课室开始了一片讨论,看来很多同学有非议(一石激起千层浪).学生3：不对,我能举出反例.并在超级画板上画出四面体(如下图).利用超级画板可直接计算面积的功能,在显示屏显示四面体的四个面的面积(如下).容易发现.显然学生2的猜想是错误的.教师：特殊情形不成立,那么一般情形怎么能成立呢？刚才学生3的想法体现了一般与特殊的关系,反映在数学思想方法中,叫特殊化思想.同学们再想想.学生4：三个面的面积之和大于第四面.也利用超级画板进行解释.不仅四面体满足三个面的面积之和大于第四面,而且当拖动时,总发现三个面的面积之和大于第四面.教师：大家同意吗？（同意！）紧跟着证明这个性质.先让学生做,教师适当引导,最后是教师带着学生一起在黑板上证明.学生5：任两面面积之差小于另两面面积之和.因为,所以.教师：总结出性质2：四面体的三个面的面积之和大于第四面,两面面积只差小于另两面面积之和.教师：波利亚曾说过,就一个问题,如果你有一个念头,你就够幸运了.关于性质2,同学们有这么多的念头,咱们实在是太幸运了.四面体还有很多重要性质,希望大家继续努力！学生6：类似于三角形的中位线定理,对于四面体,若、、分别是、、的中点,则平面平行于平面,学生还口述了证明过程.教师：大家同意吗？（同意！）继续引导，还有没有别的性质呢？学生7：的周长等于周长的一半,也阐述了证明过程.学生8：的面积等于面积的四分之一,也口述了证明过程.教师：证明过程留给同学课后整理,教师在超级画板上演示,当拖动四面体的顶点时,用软件直接计算,总能发现的周长等于周长的一半,的面积等于面积的四分之一.这个过程进一步加深了学生对四面体的这个性质的印象.总结出性质3：四面体的中位面平行于对应的底面,且周长为底面的,面积为底面的.教学评价：在情景2中,学生在老师的鼓励与引导下，积极思考、认真类比、敢于猜想、还乐于借助计算机软件——超级画板来验证、说明问题.学生遍尝了做数学的喜怒哀乐,感受了数学发现的过程.情景3：教师小结：本节课我们共同探索发现了四面体的几条重要的性质.正如三角形具备了许多性质一样,四面体也同样拥有很多重要的性质等着同学们去发现.请课后大家开动脑筋,进行大胆合理的猜想,可大胆借助超级画板进行验证,再考虑如何证明.相信大家能获得更多更美妙的性质.注：学生课后呈交了四面体其他一系列类似于三角形的性质.由三角形的勾股定理、射影定理、正弦余弦定理联想到的四面体的相关性质,而且有些还通过超级画板得以验证,甚至还写了证明过程.结果是十分丰富而且有创造性的.2课例简析2.1教学目的普通高中数学课程标准（实验）中指出，几何的教育价值,其中有一个重要方面在于发展学生的直觉能力,培养学生的创新精神.使学生在运用观察、操作、猜想、作图、设计等手段探索研究几何图形性质的过程中,获得视觉上的愉悦,能增强探究的好奇心,激发出潜在的创造力,形成创新意识.本节课基本上符合几何教育的目的与价值所在.从三角形性质到四面体的种种性质,学生经历了数学探究的过程,感受到计算机与数学的整合,体会了创新的激情与乐趣.2.2教学内容新教材(人民教育出版社《数学》)关于棱锥,主要侧重于棱锥的结构特征、表面积与体积计算方法.但这部分内容所蕴含的思维价值远不只如此.四面体的性质不仅与三角形性质具有相关性,使得形成一个统一知识结构,而且背后所蕴含的思维价值绝不能低估.所以,我们可以把它作为课外活动、兴趣小组以及研究性学习课题,让学生在探索的过程中体验数学、欣赏数学.我们相信,这种类比、猜想、验证新结论的能力也将会在考试中得以体现,在此可以大胆预见：若干年以后高考中或许会出现这样一道题目：先给出三角形重心公式,让学生模仿给出四面体的重心公式.另外,四面体的性质问题还存在很大的继续深入探索的空间.由于时间关系,课堂上只介绍了几条最基本的性质.事实上,四面体还有很多类似于三角形的性质,学生可继续放飞思维的翅膀,在这片知识的海洋尽情翱翔.2.3教学方式课堂处理开放化.以往的教学常常局限于教师介绍性讲授,使得学生思考问题思路狭隘,限制了多角度思考问题的能力.而本次课的处理走向开放化,让学生通过观察、类比、猜想、验证、证明,调动了学生学习数学