9.3.2 向量坐标表示与运算 2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册

高中数学苏教版必修第二册第9章平面向量9.3向量基本定理及坐标表示9.3.2向量坐标表示与运算第1课时向量及其线性运算的坐标表示课标阐释1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的坐标表示.(几何直观、逻辑推理)2.会用坐标表示平面向量的加减数乘运算.(逻辑推理、数学运算)思维脉络【激趣诱思】在物理的学习中我们知道:飞机沿仰角为α的方向起飞的速度v,可分解为水平方向的速度vcosα和竖直方向的速度vsinα.把一个向量分解到两个不同的方向,特别是两个互相垂直的方向,可使许多度量问题变得较为简单,这就是向量的正交分解.有了向量的正交分解,向量就可用平面直角坐标表示,从此向量的计算就转化为坐标的代数运算.本节我们就学习向量的坐标表示.【知识梳理】

一、向量的坐标表示如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对有序实数(x,y),使得a=xi+yj.

xi,yj分别为向量a在向量i,j上的投影向量我们把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y).特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).微判断

(1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关.(

)(2)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.(

)微练习在平面直角坐标系中,若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,则向量a,b,c的坐标分别是

,

,

.

答案

(2,-6)

(0,5)

(-4,0)√√二、向量线性运算的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表:向量线性运算文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a+b=(x1+x2,y1+y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a-b=(x1-x2,y1-y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来的相应坐标λa=(λx1,λy1)一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则

=(x2-x1,y2-y1).

当点A为坐标原点时,向量

坐标和点B的坐标一致

微练习(2)若a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=

.

答案

(1)(4,6)

(2)(5,7)微思考向量的终点坐标与此向量的坐标完全相同吗?提示

向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同,当且仅当向量的起点是坐标原点时,向量的坐标和这个向量的终点的坐标才相同.探究一平面向量的坐标表示例1在平面直角坐标系中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标.技巧方法

求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的向量的坐标.(2)求一个向量的坐标,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.探究二向量线性运算的坐标表示例2已知a=(-1,2),b=(2,1),求:解

(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).要点笔记

向量的坐标运算最终是转化成实数的运算.A.(-7,-4)

B.(7,4)C.(-1,4) D.(1,4)(2)已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),若c满足3a-2b+c=0,则c=(

)A.(-23,-12) B.(23,12)C.(7,0) D.(-7,0)(2)由3a-2b+c=0,∴c=-3a+2b=-3(5,2)+2(-4,-3)=(-23,-12),∴c=(-23,-12).探究三平面向量坐标运算的应用反思感悟

平面向量坐标运算的应用技巧(1)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等,对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.(2)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求基底向量和被表示向量的坐标,再利用待定系数法求解.设c=xa+yb,在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出实数x,y的值.

素养形成线段定比分点的坐标公式及应用1.线段定比分点的定义2.定比分点的坐标表示

A.(3,8) B.(1,3)C.(3,1) D.(-3,-1)答案

C

当堂检测1.已知a=(-3,2),b=(2,3),则2a-3b等于(

)A.(-12,5) B.(12,5) C.(-12,-5) D.(12,-5)答案

C解析

2a-3b=2(-3,2)-3(2,3)=(-6,4)-(6,9)=(-12,-5).答案

A答案

A答案

(-2,-4)高中数学苏教版必修第二册第9章平面向量9.3向量基本定理及坐标表示9.3.2向量坐标表示与运算第2课时向量数量积的坐标表示课标阐释1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角.(数学运算)2.掌握向量垂直条件的坐标形式,并能灵活运用.(数学运算、逻辑推理)思维脉络【激趣诱思】“我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞,飞过绝望.不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞,给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示,它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”,从而可以使几何问题数量化,把“定性”研究推向“定量”研究.【知识梳理】

一、两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2

数量积的结果是一个数量,而不是向量向量垂直a⊥b⇔x1x2+y1y2=0【知识梳理】

微练习(1)若向量a=(4,-2),b=(-1,-6),则a·b=

.

(2)若向量a=(3,x),b=(2,-6),且a⊥b,则实数x=

.

答案

(1)8

(2)1解析

(1)a·b=4×(-1)+(-2)×(-6)=8.(2)因为a⊥b,所以a·b=0,即3×2+(-6)x=0,解得x=1.二、与向量的模、夹角相关的三个重要公式

微练习(1)已知向量a=(4,-1),b=(x,3),若|a|=|b|,则实数x=

.

(2)若a=(4,-3),b=(-8,-6),则a,b夹角的余弦值等于

.

微思考(1)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),如何表示向量a?怎样表示|a|?(2)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是什么?(2)①θ为锐角或零⇔x1x2+y1y2>0;②θ为直角⇔x1x2+y1y2=0;③θ为钝角或平角⇔x1x2+y1y2<0.探究一数量积的坐标运算例1(1)已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)=(

)A.10

B.-10C.3 D.-3解析

(1)a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.(2)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.技巧方法

(1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系式:①|a|2=a·a.②(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.③(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.(2)在平面几何图形中求数量积,若根据几何图形形状易建系,可先建立坐标系,写出相关向量的坐标,再求数量积.变式训练1(1)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于(

)A.-1 B.0C.1 D.2解析

(1)因为a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),则(2a+b)·a=1×1+0×(-1)=1,故选C.(2)如图所示,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系.探究二平向向量的模例2已知平面向量a=(3,5),b=(-2,1).(1)求a-2b及其模的大小;(2)若c=a-(a·b)b,求|c|.解

(1)∵a=(3,5),b=(-2,1),∴a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3),(2)∵a·b=-6+5=-1,∴c=a+b=(1,6),反思感悟

(1)求模问题一般转化为求模的平方,要灵活应用公式a2=|a|2=x2+y2,求模时,勿忘记开方.答案

(1)C

(2)D解析

(1)∵a=(2,1),∴a2=5,又|a+b|=5,∴(a+b)2=50,即a2+2a·b+b2=50,∴5+2×10+b2=50,∴b2=25,∴|b|=5.∵cos

θ∈[-1,1],∴13-12cos

θ∈[1,25],∴|2a-b|∈[1,5],故选D.探究三平向向量的夹角与垂直问题角度1

向量的夹角

答案

D反思感悟

利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.(3)代入夹角公式求cos

θ,并根据θ的范围确定θ的值.变式训练3已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求实数λ的取值范围.角度2

向量的垂直

要点笔记

利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化.若在关于三角形的问题中,未明确哪个角度是直角时,要分类讨论.变式训练4已知a=(-3,2),b=(-1,0),若向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为(

)答案

B解析

因为a=(-3,2),b=(-1,0),所以λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2).由向量λa+b与a-2b垂直,得(λa+b)·(a-2b)=0.即(λa+b)·(a-2b)=(-3λ-1)×(