十二平均律与量子霍耳效应

PAGEPAGE3十二平均律与量子霍耳效应王洪吉(天津理工大学理学院，天津300191)摘要整数量子霍耳效应与分数量子霍耳效应的理论解释并不相同。对于整数霍耳效应，有人根据朗道能级来解释，而对于分数量子霍耳效应，有人是根据电子间的库仑相互作用来解释。本文根据音乐理论中的十二平均律，研究量子霍耳效应。把物理学中的整数量子霍耳效应与分数量子霍耳效应结合在一起，给出了统一的解释。关键词交叉学科；十二平均律；整数量子霍耳效应；分数量子霍耳效应；引言霍耳效应已经有了130多年的历史。1879年，美国物理学家霍耳发现了霍耳效应。100年后，1980年，德国物理学家冯·克利青发现了整数量子霍耳效应。两年后，1982年，美国物理学家崔奇等又发现了分数量子霍耳效应。1985年和1998年诺贝尔奖分别授予了整数量子霍耳效应的发现者冯·克利青和分数量子霍耳效应的发现者崔奇等.2013年，我国清华大学的物理学家在拓扑绝缘体中还发现了量子反常霍耳效应。量子反常霍耳效应因为不需要外加磁场，因此具有潜在应用价值。量子霍耳效应一般可以表示为下述公式(1)式中为电阻率，为普朗克常数，为电子电荷。当等于整数时，为整数量子霍耳效应，当等于分数时，为分数量子霍耳效应.尽管整数量子霍耳效应和分数量子霍耳效应都可以表示为（1）式的形式，但对整数量子霍耳效应与分数量子霍耳效应的理论解释并不相同。对于整数霍耳效应，有人根据朗道能级来解释，而对于分数量子霍耳效应，有人是根据电子间的库仑相互作用来解释。本人认为整数量子霍耳效应和分数量子霍耳效应的理论应该是统一的。本人曾经把音乐理论引入物理学研究中，根据十二音律的理论重新排列了化学元素周期表，并在十二音律元素周期表的基础上解释了电荷量子化。本文根据十二音律理论研究量子霍耳效应，统一了整数量子霍耳效应和分数量子霍耳效应。音乐理论中的十二音律古今中外，正统音乐理论都是采用十二音律。十二音律包括五度律、纯律和十二平均律等等。现代音乐都采用十二平均律。人和动物对音乐的感觉的频率不是连续的。在一个八度音程内有十二个不同的频率，使人有音乐的感觉.十二个音律是一个周期。十二个音律可以表示为频率，也可以表示为长度。十二个音律对应的弦长，或频率是分立的，见下述表1和表2。十二音律是个等比数列，十二平均律是这个等比数列的公比。十二平均律是两个相邻音律对应的弦长的比值，或频率的比值。十二平均律（1）是个正的常数，还是个无理数。十二平均律可以表示为频率的比值，也可以表示为长度的比值，两者互为倒数关系，十二平均律没有量纲。表1和表2是用长度和音分表示的十二音律。音分值是通过取对数的方式把乘和除的关系称出转化为加和减。利用音分值表示十二音律比较简单。表1十二平均律的十二个音律的数值（倍律）音律黄钟大吕太簇夹钟姑洗仲吕蕤宾林钟夷则南吕无射应钟黄钟倍律倍律倍律倍律倍律倍律倍律倍律倍律倍律倍律倍律正律音律数值长度二点零零零零零零一点八八七七四八一点八七一七九七一点六八一七九二一点五八七四零一一点四九八三零七一点四一四二一三一点三三四八三九一点二五九九二一一点一八九二零七一点一二二四六二一点零五九四六三一点零零零零零零音分0100200300400500600700800900100011001200表2十二平均律的十二个音律的数值（正律）音律黄钟大吕太簇夹钟姑洗仲吕蕤宾林钟夷则南吕无射应钟黄钟正律正律正律正律正律正律正律正律正律正律正律正律半律音律数值长度一点零零零零零零零点九四三八七四零点八九零八九九零点八四零八九七零点七九三七零一零点七四九一五四零点七零七一零七零点六六七四二零零点六二九九六一零点五九四六零四零点五六一二三二零点五二九七三二零点五零零零零零音分0100200300400500600700800900100011001200历史上为了描述十二音律，采用了一些近似方法。比如中国古代采用三分损益法，利用三分之二与三分之四生律，也就是采用分数描述音律，这与古希腊学者毕达格斯拉的五度律的基本原理是相同的.整数量子霍耳效应与十二音律在整数量子霍耳效应中，（1）式中的（2）把1，2，3，4，5，…，看作弦的长度.于是1，2，4，8，…，之间相当于八度音程，或可以约化为八度音程的复音程。八度音程属于协和音程中的极协和音程。3，6，12，…，之间相当于八度音程，或可以约化为八度音程的复音程。5，10，20，…，相当于八度音程，或可以约化为八度音程的复音程。7，14，28，…，相当于八度音程，或可以约化为八度音程的复音程。另外，1和2，2和3，3和4，……，等等之间的音程都为八度，因此也可以直接利用八度音程解释，1，2，3，4，5……之间的整数量子霍耳效应。分数量子霍耳效应与十二音律在分数量子霍耳效应中，（1）式中的（3）同样，也可以把看作弦的长度。另外，由于1，2，3，4，5，…，看作弦的长度，还可以把作为弦长的比值。其中（正律林钟），（倍律林钟），（倍律夹钟），（正律姑洗），（正律南吕），（正律无射）.另外之间为八度极完全协和音程。之间为八度极完全协和音程。之间为八度极完全协和音程。这样也就完全可以利用音律中的音程解释分数量子霍耳效应。结果讨论1.物理学中最重要的基本常数之一，精细结构常数可以通过量子霍耳效应进行测量的。根据音律理论统一解释了量子霍耳效应，这对于理解量子霍耳效应的本质、认识精细结构常数都具有重要意义。2.在音乐理论中，十二平均律是精确值，五度律（三分损益律）、纯律是近似值。同理物理学中的量子霍耳效应中的分数也是近似值，精确值应该为十二平均律的数值。未来有可能通过实验证实分数量子霍耳效应中的分数仅是近似值，误差很小.3.很多自然现象都是相似的，物理学规律、量子微观现象规律与音乐理论非常完美结合。因此，应该重视交叉学科研究。4.温度越低霍耳电阻台阶越矮,出现了分数阶霍耳电阻，与温度低对应的弦越短，出现了小于二，小于一的音程.[1]江丕恒,量子霍耳效应的发现[J],物理，1986，15(7):393-399.