化工原理教案-柏努利方程

1.2.3柏努利方程(教学时间35分钟)导入语：前面介绍了流体流动中涉及到的有关概念和参数，如流量、流速的表示方法以及稳定流动与不稳定流动；在此根底上利用物料衡算推导出了连续性方程。即管道中任一截面处：w=uAp=uAp=uAp=...=常数s111 222对于不可压缩流体：V=uA=uA=uA=...=常数s11 22今天我们将利用能量衡算来推导流体流动中最下面来分析在这两截面间输入和输出的能量形式有：(1)内能U内能是贮存于物质内部能量的总和，它是一个状态函数，流体在一定的T，p下，它的内能就有确定的数值。设1kg流体在1-1截面，2-2截面处具有的内能分别为U1,U2 单位：J/kg(2)位能gz流体因受重力作用，在不同高度处具有不同的位能(这是中学已了解了)；设1kg流体在1-1截面和2-2截面相对于0-0截面具有的位能分别为gz1,gz2,单位：J/kg注意：位能是个相对值，随基准面位置而定，在基准面以上为正值；反之在基准面以下那么为负值。〔3〕动能流体以一定的速度运动时，便具有一定动能。设1kg流体在两截面处具有的动能分别为：11u2u2单位：J/kg2122图1-13流动液体存在静压力的示意图在流动着的流体内部，任一处也〔4〕静压能图1-13流动液体存在静压力的示意图在流动着的流体内部，任一处也在静止流体内部，任一处都有静压力，同样，有静压力。如果在一内部有液体流动的管壁面上开一小孔，并在小孔处装一根垂直的细玻璃管，液体便会在玻璃管内上升，上升的液柱高度即是管内该截面处液体静压力的表现，如图1-13所示。对于图1-12的流动系统，由于在1-1’截面处流体具有一定的静压力，流体要通过该截面进入系统，就需要对流体做一定的功，以克服这个静压力。换句话说，进入截面后的流体，也就具有与此功相当的能量，这种能量称为静压能或流动功。物理学中学过： 功=作用力x距离推进流体的作用力：F1=p1A1 N设质量为m，体积为匕的流体通过截面1-1,截面积A1，那么流体通过此截面所走的距离为：11=V1/A1V卬=F,1=pA•—=pV1 1 1 11A111对1kg流体，那么1-1截面处：攻=巴=p1V1=pv单位J/kgmm11WpV同理，2-2截面处有：w=一=4二=pv单位J次8mm22〔5〕热Qe该系统中还有换热器，流体通过时就要与之换热，设换热器向1kg流体提供的热量为Qe.单位：J/kg〔规定吸热为“+”放热为“-”〕〔6〕外加功：We〔净功，有效功〕1kg流体通过泵或其它输送设备所获得的能量。单位：J/kg,W.按外界向系统输入的能量来考虑：接受功为“+”，输出功为“-”。综上该流动系统所具有的各种能量形式，根据能量守恒定律，在1-1截面和2-2截面间进行能量衡算：输入的能量=输出的能量11(1-20)U+gz+u22+pv+We+Qe=U+gz+_u2+pv(1-20)1 121 11 2 2 22 22•机械能，即1Au2,gAz,We,A〔pv〕，可用于输送流体;2•内能与热Qe,AU:不能直接转变为输送流体的机械能。2、流动系统的机械能衡算式与柏努利方程假设流体是不可压缩的无热交换 Qe=0流体温度不变 U1=U2实际流体在管道中流动时，由于摩擦阻力的存在，流体流动时克服这些阻力必然要消耗能量，这局部能量转变成热，致使流体的温度略微升高，而不能直接用于流体的输送，从实际上说，这局部机械能是损失掉了，因习惯上称为能量损失。设单位质量流体在流动时因克服流动阻力而损失的能量为^^，其单位为J/kg。于是式〔1-12〕可改写成：(1-21a)gz+p+—u2+We=gz+—u2+p2+ZWip2i 2 22p f(1-21a)或 gAz+Ap+AU-L=W-工W 〔1-21b〕p2ef假设流体流动时不产生流动阻力，那么流体的能量损失WWf=0,这种流体称为理想流体。实际上这种流体并不存在，但这种设想可以使流体流动问题的处理变得简化。对于理想流体流动，又没有外功参加，即^Wf=0,We=0,式〔1-21a〕可简化为：pu2pu2gz+—+「=gz+—+-- 〔1-22〕1p2 2p2该式称为柏努利方程式〔1-21a〕、〔1-21b〕为实际流体的机械能衡算式，习惯上也称为柏努利方程。3、柏努利方程式的讨论(动画+录像演示)(1)式(1-22)表示理想流体在管道内作稳定流动而又没有外功参加时，在任一截面上的单位质量流体所具有的位能、动能、静压能之和为一常数，称为总机械能，以E表示，其单位为J/kg。p u2 p u2 p u2E=gz+—+——=gz+—+-2=gz+ +—=……=Cp 2 1p 2 2p 2常数意味着1kg理想流体在各截面上所具有的总机械能相等，而每一种形式的机械能不一定相等，但各种形式的机械能可以相互转换。例如，某种理想流体在水平管道中稳定流动，假设在某处管道的截面积缩小时，那么流速增大，动能增加，因总机械能为常数，静压能就要相应降低，即一局部静压能转变为动能；反之，当另一处管道的截面积增大时，流速减小，动能减小，那么静压能增加。因此式(1-22)也表示了理想流体流动过程中各种形式的机械能相互转换的数量关系。例1-5流体从低处流到高处，位压头t；粗管流到细管，流速增加，动压头3总压头为常数，所以静压头I。U2

立Pg(2)如果系统的流体是静止的，那么u=0,没有运动，即是无阻力损失，即有SWf=0,且没有外加功时，那么式(1-21a)可变为：(1-15)这就是前面介绍的流体静力学根本方程。由此可见，柏努利方程式除表示流体的流动规律外,还表示了流体静止状态的规律，而流体的静止状态只不过是流动状态的流动规律外,还表示了流体静止状态的规律，而流体的静止状态只不过是流动状态的一种特殊形式。(3)式(1-14)中各项单位为J/kg,表示单位质量流体所具有的能量。应注意gz、u、p与We、2hf的区别。前三项是指在某截面上流体本身所具有的能量，而后两项是指流体在两截面之间所获得和所消耗的能量。式中We是输送设备对单位质量流体所作的有效功，是决定流体输送设备的重要数据，单位时间输送设备所作的有效功称为有效功率，以Ne表示，即:(1-23)N=W0(1-23)ees式中e为流体的质量流量，所以Ne的单位为J/s或W。(4)对于可压缩流体的流动，假设所取系统两截面间的绝对压强变化小于原来绝对压强的20%(即(prp2)/p1V20%)时，仍可用式(1-13)与(1-14)进行计算，但此时式中的流体密度p应以两截面间流体的平均密度pm来代替。这种处理方法所导致的误差，在工程计算上是允许的。对于不稳定流动系统的任一瞬间，柏努利方程式仍成立。注意：对于实际流体的循环系统，那么有：W=ZWe f(5)如果流体的衡算基准不同，式(1-13a)可写成不同形式。Wu2p工W__e=ZWu2p工W__e=Z+ +—2-+ fg2 2g pggpu2

z+乙+q+TOC\o"1-5"\h\zpg 2gwv Zwe,Zh=f-gfg(1-21c)+忆+区+Sh(1-21c)\o"CurrentDocument"gpg f其中各项单位，由单位换算知:一J—=-m.S2=Nm=mkg•ms2 kg•m N注意：式中各项均为单位重量流体所具有的机械能量，这个机械能可以把它自身从基准水平面升举的高度。单位为m，确切地说应为“m液柱”，即以流动流体的高度表示的流体的有关能量。工程上常把单位重量流体具有的能量称为压头。如： z——位压头 、u1——动压头L总压头p-——静压头」pg2hf——压头损失He—-有效压头，即为输送设备对流体所提供的有效压头。②以单位体积流体为衡算基准。将式〔1-21a〕各项乘以流体密度P,那么:pu2 pu2(1-21d)pgz+p+ 」+p-We=pgz+ 2—+p+p乙W(1-21d)1 12 22 2f上式各项的单位为Pa,表示单位体积流体所具有的能量，简化后即为压强的单位。由此可以看出，采用不同衡算基准，柏努利方程有不同的形式。在应用是一定要注意单位的统一。例1-6说明机械能转换，高位槽保持一定液面〔录象和动画演示柏努利实验。水平基准面：管中心0-0' 高位槽z1,z2=z3=z4=0现考察2-2',3-3',4-4'截面上的压力情况a、当阀门关闭时，水是不流动的，此时各支测压管中水柱高度与水槽内的液面是相同的。在1-1',2-2'之间列柏努利方程 z+~p~+u2+h=z+乙+£+h1Pg2ge2pg2gf,/水不流动u=u=0,h=0,h=0,p=0〔表压〕z-0/.z-p2r-1 2 e f 1 2 1pg那么表示1-1'面只有位能，而到2-2,面位能全部转化为静压能，所以2-2,截面上测压管中显示的水柱高度即为z1米。同理可求以下两截面。b、当阀门开启后，各测压管中水柱高度随水uT而J水流速一定时，pu2+h ——4-+4^—pu2+h ——4-+4^—+hf1-3pg2g f1-4:.h<h34・「几个截面总压头相等即z-p2+u22+h -p+u321 pg 2g f1-2 pg 2g现比拟h,h,h大小。234a)b)c)2-2'与4-4,间，截面积相同，・•・ua)b)c)24Zh>Zh h<hf1-4 f1-2422-2'与3-3'间，u>u,Zh>Zh3-3'与4-4'间3-3'与4-4'间有局部动能转化为静压能，但3-3'与4-4'间有阻力损失。u2u2假设-3——」>h那么h<h那么h<h<h同理可得另外两种情况。2g f3-434 3421.2.4柏努利方程的应用〔教学时间25分钟〕1、在应用柏努利方程时，要注意以下几个问题：〔1〕作图与确定衡算范围根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方向。定出上、下游截面，以明确流动系统的衡算范围。〔2〕基准面选取选取基准水平面的目的是为了确定流体位能的大小,实际上在柏努利方程式中所反映的是位能差〔4Z=Z2Z1〕的数值。所以，基准水平面可以任意选取，但必须与地面平行。Z值是指截面中心点与基准水平面间的垂直距离。为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个截面中的任一个截面。如该截面与地面平行，那么基准水平面与该截面重合，Z=0；如衡算系统为水平管道，那么基准水

平面通过管道的中心线，AZ=0。〔3〕截面面的选取TOC\o"1-5"\h\z①两截面与流体方向垂直， -' 牢i.一4②两截面间流动系统必须是连续的③两截面上要尽量多的包含数，其 4工中还要包含所要求的未知数。 “丁 上例L7如图，选1-1',4-4较好，优点：1后二基基区1p]=0〔表压〕%=0,选2-2'不行。不与流动 度差叁言方向垂直，u不定，3-3'可以，但p等参数不定，不方便，5-5'不行，因流体不是连续流动。〔4〕单位必须一致在用柏努利方程式之前，应把有关物理量换算成一致的SI单位,然后进行计算。两截面的压强除要求单位一致外，还要求表示方法一致。从柏努利方程式的推导过程得知，式中两截面的压强为绝对压强，但由于式中所反映的是压强差〔Ap=p2-pJ的数值，且绝对压强=大气压+表压，因此两截面的压强也可以同时用表压强〔真空度〕来表示。2、柏努利方程的应用柏努利方程与连续性方程，是解决流体力学附图问题的根底，应用它们，可以解决以下一些问题附图地：〔1〕确定管内流体流量；〔2〕确定管输送设备的有效压头；〔3〕确定管路中流体压强；〔4〕确定容器的相对位置。下面举例来说明，希望大家通过这些例题掌握柏努利方程的应用例1-8〔确定容器的相对位置〕例1-8液位恒定，高位槽和塔内的压力均为大气压。送液管为“45X2.5mm的钢管，要求送液量为3.6m3/h。设料液在管内的压头损失为1.2m〔不包括出口能量损失〕，试问

高位槽的液位要高出进料口多少米？解：如下图，取高位槽液面为1-1,截面，进料管出口内侧为2-2,截面，以过2-2,截面中心线的水平面0-0,为基准面。在1-1'和2-2’截面间列柏努利方程〔由于题中压头损失，用式〔1-22a〕以单位重量流体为基准计算比拟方便〕z+—u2+P-i-+H=z+—u2+-P2-+2h2g1pg e22g2pg f其中： z1=h；因高位槽截面比管道截面大得多,故槽内流速比管内流速小得多,可以忽略不计，即u1^0； p1=0〔表压〕； He=0z2=0； p2=0〔表压〕； Whf=1.2mV3.63600 公u=——==0.796m/s三d20.785x0.0424将以上各值代入上式中,可确定高位槽液位的高度h=—1—x0.7962+1.2=1.23m2x9.81计算结果说明,动能项数值很小,流体位能主要用于克服管路阻力。解此题时注意,因题中所给的压头损失不包括出口能量损失,因此2-2’截面应取管出口内侧。假设选2-2’截面为管出口外侧,计算过程有所不同。例1-9〔确定管路中压力如附图所示，<11=130某厂利用喷射泵输送