高中数学必修二《第八章 立体几何初步》复习教案及练习

《第八章立体几何初步》复习教案8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征【基础知识拓展】1．几类特殊的四棱柱四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正四棱柱、正方体等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下．2．棱柱、棱锥、棱台之间的关系棱柱、棱锥、棱台之间有着内在的联系：将棱台的上底面慢慢扩大到与下底面相同时，转化为棱柱；将棱台的上底面慢慢缩小为一点时，转化为棱锥．如图所示．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面可以不是平行四边形．()(2)各面都是三角形的多面体是三棱锥．()(3)棱台的上下底面互相平行，且各侧棱延长线相交于一点．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)有两个面平行的多面体不可能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错(2)面数最少的多面体的面的个数是________．(3)三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个．(4)四棱台有________个顶点，________个面，________条边．答案(1)B(2)4(3)4(4)8612【核心素养形成】题型一对棱柱、棱锥、棱台概念的理解例1下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有4个面．[解析]棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①正确．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②正确．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错误，④正确．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.[答案]①②④⑤【解题技巧】关于棱柱、棱锥、棱台结构特征问题的解题方法(1)根据几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型通过演示进行准确判断．(2)解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念类的命题进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【跟踪训练】下列关于棱锥、棱柱、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥；④棱柱的侧棱与底面一定垂直．其中正确说法的序号是________．答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥；④错误，棱柱的侧棱与底面不一定垂直.题型二对棱柱、棱锥、棱台的识别与判断例2如图长方体ABCD－A1B1C1D1，(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分的几何体还是棱柱吗？[解](1)是棱柱．是四棱柱，因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)截后的各部分都是棱柱，分别为棱柱BB1F－CC1E和棱柱ABFA1－DCED1.[条件探究]若本例(2)中将平面BCEF改为平面ABC1D1，则分成的两部分各是什么体？解截后的两部分分别为棱柱ADD1－BCC1和棱柱AA1D1－BB1C1.【解题技巧】棱柱判断的方法判断棱柱，依据棱柱的定义，先确定两个平行的面——底面，再判断其余面——侧面是否为四边形及侧棱是否平行．【跟踪训练】判断下图甲、乙、丙所示的多面体是不是棱台？解根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是不是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行，即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，在图甲中多面体侧棱延长线不相交于同一点，不是棱台；图乙中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图丙中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台.题型三空间几何体的展开图问题例3如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台．【解题技巧】空间几何体的展开图(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．(3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推．【跟踪训练】根据如下图所给的平面图形，画出立体图．解将各平面图折起来的空间图形如下图所示．【课堂达标训练】1．下列说法中，正确的是()A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形答案D解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点．故选D.2．下列三种叙述，正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个答案A解析本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.3．下列图形中，不是三棱柱展开图的是()答案C解析本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.4．①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．以上说法正确的序号有________．答案①③解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错误；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错误．5．已知M是棱长为2cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到M的最短路程是多少？解若以BC或DC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为2cm,3cm，故两点之间的距离为eq\r(13)cm，若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为1cm，4cm.故两点之间的距离是eq\r(17)cm.故沿正方体表面从A到M的最短路程是eq\r(13)cm.第2课时圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征【基础知识拓展】1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．空间几何体的轴截面(1)圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一条边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，经过旋转而成的曲面所围成的几何体．(2)圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题时，一般要画出轴截面．(3)画出轴截面图形，将立体几何的空间问题转化为平面问题来计算，这种把有关立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想方法是我们解决立体几何问题的重要思想方法．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到定点的距离等于定长的点的集合是球．()(2)用平面去截圆锥、圆柱和圆台，得到的截面都是圆．()(3)用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)圆锥的母线有()A．1条B．2条C．3条D．无数条(2)图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．(3)图②的组合体是由________和________构成．(4)图③中的几何体有________个面．答案(1)D(2)球球心半径直径(3)圆柱圆锥(4)3【核心素养形成】题型一旋转体的概念例1下列命题：(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(4)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3[解析]根据圆柱、圆锥、圆台的概念不难做出判断．(1)以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；(4)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台．故4个均不正确．[答案]A[条件探究]若本例中(2)改为“以直角梯形的各边为轴旋转”，得到的几何体是由哪些简单几何体组成的？解①以垂直于底边的腰为轴旋转得到圆台；②以较长的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱加上一个圆锥；③以较短的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱挖去一个同底圆锥；④以斜腰为轴旋转得到的几何体为圆锥加上一个圆台挖去一个小圆锥．【解题技巧】平面图形旋转形成的几何体的结构特征圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样．判断旋转体，要抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后生成什么样的几何体．【跟踪训练】一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？解如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥．如图(4)所示，绕其斜边上的高所在直线旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．题型二简单组合体的结构特征例2描述下图几何体的结构特征．[解]图(1)中的几何体是由一个四棱柱和一个四棱锥拼接而成的组合体．图(2)中的几何体是在一个圆台中挖去一个圆锥后得到的组合体．图(3)中的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱后得到的组合体．图(4)中的几何体是由两个同底的四棱锥拼接而成的简单组合体．【解题技巧】简单组合体的两种构成方法(1)简单组合体的构成一般有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．(2)识别或运用几何体的结构特征，要从几何体的概念入手，掌握画图或识图的方法，并善于运用身边的特殊几何体进行判断、比较、分析．【跟踪训练】观察下列几何体，并分析它们是由哪些基本几何体组成的．解图(1)是由一个圆柱中挖去一个圆台形成的．图(2)是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成的.题型三旋转体的计算问题例3一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解](1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底面半径O1A＝2cm，下底面半径OB＝5cm，又腰长AB＝12cm，所以圆台的高为AM＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，所以l＝20(cm)．故截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.【解题技巧】旋转体中的计算问题及截面性质(1)圆柱、圆锥和圆台中的计算问题，一要结合它们的形成过程，分辨清轴、母线及底面半径与旋转前平面图形量的关系；二要切实体现轴截面的作用．解题时，可把轴截面从旋转体中分离出来，以平面图形的计算解决立体问题．(2)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2＝d2＋r2.(3)用平行于底面的平面去截柱体、锥体、台体等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．【跟踪训练】圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．解将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，设上底面的面积为S1，半径为r1，则S1＝πreq\o\al(2,1)＝1，下底面的面积为S2，半径为r2，则S2＝πreq\o\al(2,2)＝49，截面的面积为S＝eq\f(S1＋S2,2)＝25，半径为r3，则S＝πreq\o\al(2,3).由三角形相似得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(h＋h1,h)＝\f(\r(\f(49＋1,2)),\r(1))，,\f(h＋h1＋h2,h)＝\f(\r(49),\r(1))，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h1＝4h，,h2＝2h，))即h1∶h2＝2∶1.题型四圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用例4如图所示，已知圆柱的高为80cm，底面半径为10cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40cm，B1Q＝30cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？[解]将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形．【解题技巧】求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法．【跟踪训练】国庆节期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的母线长为3米，高为2eq\r(2)米，如图所示．为了美观需要，在底面圆周上找一点M拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸最短要多少米？解把圆锥的侧面沿过点M的母线剪开，并铺平得扇形MOM1，如图所示．这样把空间问题转化为平面问题，易知彩绸的最短长度即为线段MM1的长度，由母线长为3米，高为2eq\r(2)米，得底面半径为1米，所以扇形的圆心角为120°，所以MM1＝3eq\r(3)米，即彩绸最短要3eq\r(3)米.【课堂达标训练】1．下列几何体中不是旋转体的是()答案D解析正方体不可能是旋转体．2．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是()A．球体B．圆柱C．圆台D．两个共底面的圆锥的组合体答案D解析过等腰三角形的顶点向底边作垂线，得到两个有一条公共边的全等直角三角形，而直角三角形以一条直角边为轴旋转得到的几何体是圆锥．故选D.3．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④答案D解析根据旋转体的概念知①④正确．4．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解分割图形，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．5．圆台的两底面圆的半径分别为2cm,5cm，母线长是3eq\r(10)cm，求其轴截面的面积．解如图，在轴截面内过点A作AB⊥O1A1，垂足为B.由已知OA＝2，O1A1＝5，AA1＝3eq\r(10)，∴A1B＝3.∴AB＝eq\r(AA\o\al(2,1)－A1B2)＝eq\r(90－9)＝9.∴S轴截面＝eq\f(1,2)(2OA＋2O1A1)·AB＝eq\f(1,2)×(4＋10)×9＝63(cm2)．故圆台轴截面的面积为63cm2.8.2立体图形的直观图【基础知识拓展】1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．两者之间关系为：eq\f(S直,S原)＝eq\f(\r(2),4).2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相等的角，在直观图中仍相等．()(2)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等．()(3)若两条直线垂直，在直观图中对应的直线也互相垂直．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)利用斜二测画法画边长为3cm的正方形的直观图，可以是下列选项中的()(2)在已知图形中平行于x轴的线段AB＝6cm，则在直观图中线段A′B′＝______cm；在已知图形中平行于y轴的线段CD＝4cm，则在直观图中线段C′D′＝______cm.(3)在空间几何体中，平行于z轴的线段AB＝10cm，则在直观图中对应的线段A′B′＝________cm.(4)在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________.答案(1)C(2)62(3)10(4)45°或135°【核心素养形成】题型一平面图形的直观图画法例1画水平放置的正五边形的直观图．[解](1)建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图①中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝eq\f(1,2)OA，O′F′＝eq\f(1,2)OF.过F′作C′D′∥x′轴且C′D′＝CD，C′F′＝F′D′.(3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝eq\f(1,2)GB，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝eq\f(1,2)HE.连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的直观图．【解题技巧】画平面图形直观图的技巧(1)要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系．(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．【跟踪训练】用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图．解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝eq\f(1,2)OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．题型二空间几何体的直观图画法例2画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解]画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.【解题技巧】画空间几何体的直观图应遵循的原则(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出．(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致．(4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定．【跟踪训练】已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．解(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的长度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似底面⊙O的作法作出上底面⊙O′.(3)画圆锥的顶点．在O′z上截取O′P，使O′P等于三视图中O′P的长度．(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②.题型三直观图还原平面图形例3(1)如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；(2)在(1)中若|C′A′|＝2，B′D′∥y′轴且|B′D′|＝1.5，求原平面图形△ABC的面积．[解](1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.②在题图中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．(2)∵B′D′∥y′，∴BD⊥AC.又|B′D′|＝1.5且|A′C′|＝2，∴|BD|＝3，|AC|＝2.∴S△ABC＝eq\f(1,2)·|BD|·|AC|＝3.[结论探究]若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积S′为多少？解设原图形的高为h，则直观图的高为eq\f(\r(2),4)h.又平行于x轴的线段长度不变，∴S′＝eq\f(\r(2),4)S.【解题技巧】直观图还原平面图形的策略还原的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为斜二测直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．【跟踪训练】如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是()A．14B．10eq\r(2)C．28D．14eq\r(2)答案C解析∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，∴原图形是一个直角梯形．又A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S＝eq\f(1,2)×(2＋5)×8＝28.题型四直观图与原图间的计算问题例4已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2[解析]如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a，所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.[答案]D【解题技巧】1.利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．(2)画图时要紧紧把握一斜——在已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中与x轴成45°或135°；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原长度的一半2．若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直＝eq\f(\r(2),4)S原．【跟踪训练】如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则四边形OABC的形状是________．答案菱形解析如图，在四边形OABC中，有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)cm，CD＝C′D′＝2cm，∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6cm，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．【课堂达标训练】1．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是()A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的eq\f(1,2)C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同答案C解析∠x′O′y′也可以是135°.2．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．ABB．ACC．BCD．AD答案B解析由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．3．如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是()A．①②B．②③C．②④D．③④答案D解析根据平面图形直观图的斜二测画法知③④可能是△ABC的直观图．4．如图，一个三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，则原△AOB的面积是________．答案eq\r(2)解析由题意得O′B′＝B′A′＝1，∴O′A′＝eq\r(2)，且∠B′O′A′＝45°，∴△AOB是以∠O为直角的三角形，且OB＝1，OA＝2eq\r(2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)OB·OA＝eq\f(1,2)×1×2eq\r(2)＝eq\r(2).5．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3cm，高为3cm，画出这个正六棱锥的直观图．解(1)先画出边长为3cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示．(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3cm，如图②所示．(3)连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示．(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【基础知识拓展】1．计算棱柱、棱锥和棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．2．在几何体的体积计算中，体会并运用“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．()(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()A.eq\f(3＋\r(3),4)a2 B.eq\f(3,4)a2C.eq\f(3＋\r(3),2)a2 .eq\f(6＋\r(3),4)a2(2)长方体同一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，则该长方体的体积和表面积分别是________．(3)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为________．答案(1)A(2)60,94(3)28【核心素养形成】题型一多面体的表面积例1现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．[解]如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))2＝eq\f(a2＋b2,4)＝eq\f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8.∴该直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.【解题技巧】求多面体的表面积(1)对于简单几何体，我们可利用公式，直接求出其表面积，而在求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割(或补全)成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积．(2)求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意它们组成的直角三角形的应用．【跟踪训练】正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，高为eq\f(1,2)a，则正三棱台的侧面积为()A．a2 B.eq\f(1,2)a2C.eq\f(9,2)a2 D.eq\f(3\r(3),2)a2答案D解析如图，O1，O分别为上，下底面的中心，D，D1分别为AC，A1C1的中点，在直角梯形ODD1O1中，OD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×2a＝eq\f(\r(3),3)a，O1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),6)a，∴DE＝OD－O1D1＝eq\f(\r(3),6)a.在Rt△DED1中，D1E＝eq\f(a,2)，则D1D＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\r(\f(1,12)a2＋\f(a2,4))＝eq\f(\r(3),3)a，所以S棱台侧＝3×eq\f(1,2)(a＋2a)×eq\f(\r(3),3)a＝eq\f(3\r(3),2)a2.题型二多面体的体积例2如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．[解]解法一：设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc，又S△A′DD′＝eq\f(1,2)bc，且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a.所以V三棱锥C－A′DD′＝eq\f(1,3)S△A′D′D·CD＝eq\f(1,6)abc.则剩余部分的体积V剩＝abc－eq\f(1,6)abc＝eq\f(5,6)abc.故V棱锥C－A′DD′∶V剩＝eq\f(1,6)abc∶eq\f(5,6)abc＝1∶5.解法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′－BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.而棱锥C－A′DD′的底面面积为eq\f(1,2)S，高为h，因此，棱锥C－A′DD′的体积VC－A′DD′＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)Sh＝eq\f(1,6)Sh.剩余部分的体积是Sh－eq\f(1,6)Sh＝eq\f(5,6)Sh.所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为eq\f(1,6)Sh∶eq\f(5,6)Sh＝1∶5.【解题技巧】求多面体体积的常用方法【跟踪训练】正六棱锥(底面为正六边形，顶点在底面的正投影为底面的中心)P－ABCDEF中，G为PB的中点．则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为()A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．3∶2答案C解析∵G为PB的中点，∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC.又多边形ABCDEF是正六边形，∴S△ABC＝eq\f(1,2)S△ACD.∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC.∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.题型三组合体的表面积与体积例3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．54B．60C．66D．72[解析]根据几何体的三视图，可得该几何体的直观图为如图所示的几何体ABC－DEF，故其表面积为S＝S△DEF＋S△ABC＋S梯形ABED＋S梯形CBEF＋S矩形ACFD＝eq\f(1,2)×3×5＋eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×(5＋2)×4＋eq\f(1,2)×(5＋2)×5＋3×5＝60.[答案]B【解题技巧】求组合体的表面积与体积的方法求组合体的表面积或体积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．【跟踪训练】若正方体的棱长为eq\r(2)，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A.eq\f(\r(2),6)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)答案B解析如图所示，平面ABCD把该多面体分割成两个体积相等的四棱锥．以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥组合而成，该棱锥的高是正方体棱长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，则该凸多面体的体积为V＝2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(2)×\r(2)))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),3).【课堂达标训练】1．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．4 D．6答案B解析S表＝4×eq\f(\r(3),4)×22＝4eq\r(3).故选B.2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为eq\r(2)，体对角线长为eq\r(6)，则这个棱柱的侧面积是()A．2B．4C．6D．8答案D解析由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为1，长方体的高为eq\r(6－2)＝2，故这个棱柱的侧面积为1×2×4＝8.3．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)答案A解析由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．如图所示，在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，作出三棱锥O－ABC的高OD，连接DC，则S△ABC＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，OD＝eq\r(OC2－CD2)＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，所以VS－ABC＝2VO－ABC＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．答案eq\f(160,3)解析由题意，知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱的底面为等腰直角三角形，面积为8，高为8－4＝4，故V直三棱柱＝8×4＝32，四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为4，故V四棱锥＝eq\f(1,3)×16×4＝eq\f(64,3)，故该几何体的体积V＝V直三棱柱＋V四棱锥＝32＋eq\f(64,3)＝eq\f(160,3).5．已知三棱台ABC－A1B1C1上底面的面积为a2，下底面的面积为b2(a>0，b>0)，作截面AB1C1，设三棱锥B－AB1C1的高等于三棱台的高，求三角形AB1C1的面积．解将三棱台分割成三棱锥A－A1B1C1，B－AB1C1及C1－ABC，设三棱台的高为h，则这三个三棱锥的高都是h.由于VABC－A1B1C1＝VA－A1B1C1＋VB－AB1C1＋VC1－ABC，即eq\f(1,3)(a2＋ab＋b2)h＝eq\f(1,3)a2h＋eq\f(1,3)S△AB1C1·h＋eq\f(1,3)b2h，得S△AB1C1＝ab，故三角形AB1C1的面积为ab.8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积【基础知识拓展】1．对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．V＝ShV＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(\a\vs4\al(S′S))＋S)hV＝eq\f(1,3)Sh.2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．3．计算圆柱、圆锥、圆台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．()(2)锥体的体积等于底面积与高之积．()(3)圆台的高就是相应母线的长．()答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(1)已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为()A．6πB．8πC．9πD．10π(2)若圆锥的底面半径为1，高为eq\r(3)，则圆锥的侧面积为________．(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．答案(1)A(2)2π(3)eq\f(7\r(3)π,3)【核心素养形成】题型一旋转体的表面积例1如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．[解]该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体．令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，则R＝2，r＝1，l＝4，h＝eq\r(3).所以圆锥的表面积S1＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π，圆柱的侧面积S2＝2πrh＝2π×1×eq\r(3)＝2eq\r(3)π.所以所求几何体的表面积S＝S1＋S2＝12π＋2eq\r(3)π＝(12＋2eq\r(3))π.【解题技巧】求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成多个基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．【跟踪训练】圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为()A．81πB．100πC．168πD．169π答案C解析圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝eq\r(h2＋R－r2)＝eq\r(4r2＋3r2)＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.题型二旋转体的体积例2如图是一个几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()A.eq\f(4\r(3)π,3)B.eq\f(\r(3)π,6)C.eq\f(π,2)D.eq\f(\r(3)π,3)[解析]由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,6).[答案]B【解题技巧】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求以三视图为背景的几何体的体积，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．【跟踪训练】将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4，再将它们卷成两个圆锥侧面，求这两个圆锥的体积之比．解设圆的半径为r，则两个圆锥的母线长为r.由已知可得两个圆锥的底面半径分别为eq\f(2πr×\f(3,7),2π)＝eq\f(3,7)r，eq\f(2πr×\f(4,7),2π)＝eq\f(4,7)r，所以两圆锥的体积之比为eq\f(\f(π,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)r))2×\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)r))2),\f(π,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)r))2×\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)r))2))＝eq\f(3\r(330),88).题型三组合体的表面积与体积例3如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．[解]如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a.∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a.∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱的母线长为eq\r(3)a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2.∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2.∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3.V锥＝eq\f(1,3)S′h＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3.∴V＝V柱－V锥＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.【解题技巧】求组合体的表面积与体积的方法(1)求解几何体的体积与表面积时还经常用割补法．补法是指把不规则(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体．(2)解答本题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢．【跟踪训练】若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的eq\f(3,2)，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋eq\r(2))π，求这个旋转体的体积．解如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，绕AB边所在直线旋转一周后形成由一个圆柱和一个圆锥组合而成的几何体．过点C作CE⊥AB于点E，设CD＝x，AB＝eq\f(3,2)x，则AD＝CE＝BE＝AB－CD＝eq\f(x,2)，BC＝eq\f(\r(2),2)x.S表＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧＝π·AD2＋2π·AD·CD＋π·CE·BC＝π·eq\f(x2,4)＋2π·eq\f(x,2)·x＋π·eq\f(x,2)·eq\f(\r(2),2)x＝eq\f(5＋\r(2),4)πx2.根据题设，eq\f(5＋\r(2),4)πx2＝(5＋eq\r(2))π，则x＝2.所以旋转体的体积V＝π·AD2·CD＋eq\f(π,3)·CE2·BE＝π×12×2＋eq\f(π,3)×12×1＝eq\f(7π,3).【课堂达标训练】1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1∶2 B．1∶eq\r(3)C．1∶eq\r(5) D.eq\r(3)∶2答案C解析设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝eq\r(5)r.∴S侧＝πrl＝eq\r(5)πr2，S底＝πr2，∴S底∶S侧＝1∶eq\r(5).故选C.2．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝_______.答案eq\r(3)解析∵圆锥SO的高为4，体积为4π，∴4π＝eq\f(4,3)πr2，∴r＝eq\r(3).3．把圆柱沿轴截面剖开，取其中一块为底座，并在轴截面上设置一个四棱锥做成一个小玩具，直观图和正(主)视图如图所示，则该小玩具的体积为________．答案16π＋eq\f(128,3)解析由主视图数据可知半圆柱的半径为2，母线长为8，四棱锥的底面是边长为4和8的矩形，高为4，所以体积V＝eq\f(1,2)π×22×8＋eq\f(1,3)×4×8×4＝16π＋eq\f(128,3).4．一个圆台的侧面展开图如图所示，根据图中数据求这个圆台的表面积和体积．解设圆台的上底半径为r，下底半径为R.由题图知母线l＝8,2πr＝eq\f(π,4)×16,2πR＝eq\f(π,4)×24，所以r＝2，R＝3.S侧＝π×(2＋3)×8＝40π，所以S表＝π×22＋π×32＋40π＝53π，h＝eq\r(l2－R－r2)＝eq\r(64－1)＝3eq\r(7)，所以V＝eq\f(1,3)(4π＋eq\r(4π×9π)＋9π)×3eq\r(7)＝19eq\r(7)π.5．已知底面半径为eq\r(3)cm，母线长为eq\r(6)cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积．解作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l，底面半径为r，则r＝eq\r(3)，AD＝eq\r(6)，l＝eq\r(\r(6)2＋\r(3)2)＝eq\r(9)＝3.故几何体的表面积为S＝πrl＋πr2＋2πr·AD＝π×eq\r(3)×3＋π×(eq\r(3))2＋2π×eq\r(3)×eq\r(6)＝3eq\r(3)π＋3π＋6eq\r(2)π＝(3eq\r(3)＋3＋6eq\r(2))π(cm2)．几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·r2·AD－eq\f(1,3)πr2·AD＝π×3×eq\r(6)－eq\f(1,3)×π×3×eq\r(6)＝2eq\r(6)π(cm3)．第2课时球的表面积和体积【基础知识梳理】知识点球的表面积和体积1．球的表面积如果球的半径为R，那么它的表面积S＝eq\o(□,\s\up3(01))4πR2.2．球的体积如果球的半径为R，那么它的体积V＝eq\o(□,\s\up3(02))eq\f(4,3)πR3.【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)决定球的大小的因素是球的半径．()(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．()(3)球的体积V与球的表面积S的关系为V＝eq\f(R,3)S.()答案(1)√(2)√(3)√2．做一做(1)若球的过球心的圆面圆周长是c，则这个球的表面积是()A.eq\f(c2,4π)B.eq\f(c2,2π)C.eq\f(c2,π)D．2πc2(2)表面积为4π的球的半径是________．(3)直径为2的球的体积是________．(4)已知一个球的体积为eq\f(4π,3)，则此球的表面积为________．答案(1)C(2)1(3)eq\f(4π,3)(4)4π【核心素养形成】题型一球的表面积与体积例1(1)已知球的直径为6cm，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为64π，求它的体积；(3)已知球的体积为eq\f(500π,3)，求它的表面积．[解](1)∵球的直径为6cm，∴球的半径R＝3cm.∴球的表面积S球＝4πR2＝36π(cm2)，球的体积V球＝eq\f(4,3)πR3＝36π(cm3)．(2)∵S球＝4πR2＝64π，∴R2＝16，即R＝4.∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×43＝eq\f(256π,3).(3)∵V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)，∴R3＝125，R＝5.∴S球＝4πR2＝100π.【解题技巧】求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．【跟踪训练】(1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________；(2)已知球的大圆周长为16πcm，求这个球的表面积．答案(1)eq\f(364π,3)(2)见解析解析(1)设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R－r＝1，,4πR2－4πr2＝28π，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝4，,r＝3.))∴它们的体积和为eq\f(4,3)πR3＋eq\f(4,3)πr3＝eq\f(364π,3).(2)设球的半径为Rcm，由题意可知2πR＝16π，解得R＝8，则S球＝4πR2＝256π(cm2).题型二球的截面问题例2一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq\r(2)，则此球的体积为()A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π[解析]利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝eq\r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3)，即球的半径为eq\r(3)，∴V＝eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.[答案]B【解题技巧】球的截面的性质(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．(2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝eq\r(R2－r2).【跟踪训练】(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm3(2)球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为________．答案(1)A(2)6解析(1)如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π(cm3)．(2)如图，由已知条件知球的半径R＝10，截面圆的半径r＝8，∴球心到截面的距离h＝eq\r(R2－r2)＝6.题型三球的组合体问题例3设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2[解析]作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为eq\r(a2＋2a2)＝eq\r(5)a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为eq\r(a2＋\r(5)a2)＝eq\r(6)a，则球的半径R＝eq\f(AC,2)＝eq\f(\r(6),2)a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2.[答案]B[条件探究]将本例中长方体改为棱长为a的正四面体，则球的表面积如何求？解如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为△BCD的中心，连接BE.∵棱长为a，∴BE＝eq\f(\r(3),2)a×eq\f(2,3)＝eq\f(\r(3),3)a.∴在Rt△ABE中，AE＝eq\r(a2－\f(a2,3))＝eq\f(\r(6),3)a.设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，∴R＝eq\f(\r(6),4)a，∴S球＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)a))2＝eq\f(3,2)πa2.【解题技巧】1.正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝eq\f(a,2)，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2＋c2)，如图(2)．3．正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球的半径R的关系为：2R＝eq\f(\r(6),2)a.【跟踪训练】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2D．5πa2答案B解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，OP＝eq\f(1,2)a，所以球的半径R＝OA满足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＝eq\f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq\f(7,3)πa2.【课堂达标训练】1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.eq\f(4π,3)B.eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2)D.eq\f(π,6)答案A解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，所以球的半径为1，其体积是eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4π,3).2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.eq\f(81π,4)B．16πC．9πD.eq\f(27π,4)答案A解析如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOE中，(4－r)2＋(eq\r(2))2＝r2，解得r＝eq\f(9,4)，∴该球的表面积为4πr2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))2＝eq\f(81π,4).3．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A．1倍B．2倍C.eq\f(9,5)倍D.eq\f(7,4)倍答案C解析设最小球的半径为r，则另外两个球的半径分别为2r,3r，其表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2，故最大球是其余两个球的表面积之和的eq\f(36πr2,4πr2＋16πr2)＝eq\f(9,5)倍．4．一个距离球心为eq\r(3)的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为________．答案eq\f(32π,3)解析设所得的圆面的半径为r，球的半径为R，则由π＝πr2，得r＝1，又r2＋(eq\r(3))2＝R2，∴R＝2.∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC为eq\r(3)r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝eq\f(1,3)π·(eq\r(3)r)2·3r－eq\f(4,3)πr3＝eq\f(5,3)πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为eq\f(\r(3),3)h，从而容器内水的体积是V′＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)h))2·h＝eq\f(1,9)πh3，由V＝V′，得h＝eq\r(3,15)r.即容器中水的深度为eq\r(3,15)r.8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面【基础知识拓展】1．解决立体几何问题首先应过好文字语言、符号语言和图形语言三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．对于证明几点(或几条直线)共面的问题，先由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后，再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．3．证明三点共线通常采用以下方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，由基本事实3可知这些点都在交线上；(2)先由其中任意两点确定一条直线，再证明另一点也在这条直线上．4．证明三线共点，可先由两条直线交于一点，而这个点分别在两个平面内，这两个平面的交线就是第三条直线，由基本事实3可知该点在第三条直线上，即三线共点．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行四边形是一个平面．()(2)若A∈a，a⊂α，则A∈α.()(3)两个平面的交线可能是一条线段．()(4)经过一条直线和一个点，有且只有一个平面．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．做一做(1)如图所示，用符号语言表示以下各概念：①点A，B在直线a上：________；②直线a在平面α内：________；③点D在直线b上，点C在平面α内：________.(2)若平面α与平面β相交于直线l，点A∈α，A∈β，则点A________l；其理由是__________________________．(3)根据图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.答案(1)①A∈a，B∈a②a⊂α③D∈b，C∈α(2)∈同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上(3)∈∉⊄AC【核心素养形成】题型一平面概念的理解例1(1)下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽为20m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为________；(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是________．[解析](1)由平面的概念，知它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．(2)对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实、虚也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，也可知②、③图形的画法不正确，④中图形的画法正确．[答案](1)1(2)④【解题技巧】平面概念的理解及特点(1)平面是一个只描述而不定义的原始概念，它是由平时生活中常见的平面抽象出来的，是理想的，是无限延展的，是无厚薄、大小的．(2)要注意平面具有如下特点：①平面是平的；②平面是没有厚度的；③平面是无限延展而没有边界的；④平面是由空间的点、线组成的无限集合；⑤平面图形是空间图形的重要组成部分．【跟踪训练】下列四种说法正确的是________．①平面的形状是平行四边形；②任何一个平面图形都可以表示平面；③平面ABCD的面积为100cm2；④空间图形中，后作的辅助线都是虚线．答案②解析①错误，通常用平行四边形表示平面，但平面的形状不一定是平行四边形；③错误，平面不能度量；④错误，看不到的线画成虚线.题型二文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例2根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解](1)P∈AB.(2)C∉AB.(3)M∈平面AC.(4)A1∉平面AC.(5)AB∩BC＝B.(6)AB⊂平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝AB.【解题技巧】三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．【跟踪训练】(1)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．①A∉α，a⊂α：________；②α∩β＝a，P∉α且P∉β：________；③a⊄α，a∩α＝A：________；④α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________.(2)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．①A∈α，B∉α；②l⊂α，m∩α＝A，A∉l；③P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.答案(1)①C②D③A④B(2)见解析解析(2)①点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.②直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.③直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.题型三线共面问题例3已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：