平面向量基本定理及坐标运算练习题及平面向量基本定理及平面向量基本定理(说课稿)

平面向量基本定理及坐标运算选择题1．若向量=（1,2），=（3,4），则=()A（4,6）B(-4，-6)C(-2，-2)D(2,2)2．若向量a=(x－2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则 （）A．x=1,y=3 B．x=3,y=1 C．x=1,y=－5 D．x=5,y=－13．下列各组向量中：①②③④⑤⑥（0,0）能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．①⑥ B．①③ C．②④ D．③⑤4．若向量a=(1,1),b=(1,－1),c=(－1,2)，则c等于 （） A．ab B．ab C．ab D．a+b5.已知向量且∥，则= （） A． B． C． D．6．已知的两条对角线交于点E，设，，用来表示的表达式（） A． B． C． D．7．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()．A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线8．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()．A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8) D．(－5，－10)9．已知两点P１（－１，－6）、Ｐ２（3，０），点P（－，ｙ）分有向线段所成的比为λ，则λ、ｙ的值为 （） A．－，8 B．，－8C．－，－8 D．4，10.若向量＝（x+3，x2－3x－4）与相等，已知A（1，2）和B（3，2），则x的值为A、－1 B、－1或4 C、4 D、1或－411.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个顶点的坐标是（）A、（1，5）或（5，5）B、（1，5）或（－3，－5）C、（5，－5）或（－3，－5）D、（1，5）或（5，－5）或（－3，－5）12.设i、j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且，，则△OAB的面积等于（）A、15 B、10 C、7.5 D、513.己知P1(2,－1)、P2(0,5)且点P在P1P2的延长线上,,则P点坐标为()A、(－2,11) B、( C、(,3) D、(2,－7)14.已知，A（2，3），B（－4，5），则与共线的单位向量是 （）A、 B、C、 D、15.设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为()A．(3,1)B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1)D．无数多个16．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(m,2)＋sinα))，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则eq\f(λ,m)的取值范围是()．A．[－6,1] B．[4,8]C．(－∞，1] D．[－1,6]二．填空题17．若向量=（2，m）与=（m，8）的方向相反，则m的值是．18．已知=（2，3），=（-5，6），则|+|=，|-|=．19．设=（2，9），=（λ,6），=(-1,μ),若+=,则λ=,μ=.20．△ABC的顶点A(2，3)，B(－4，－2)和重心G(2，－1)，则C点坐标为21.设a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.22．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值为________．23．设向量a，b满足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．24．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.25.已知点A（－1，5），若向量与向量＝（2，3）同向，且＝3，则点B的坐标为__________.26.平面上三个点，分别为A（2，－5），B（3，4），C（－1，－3），D为线段BC的中点，则向量的坐标为_________.27．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．三．解答题28．已知点A(－1,2)，B(2,8)以及＝eq\f(1,3)，＝－eq\f(1,3)，求点C，D的坐标和的坐标．29.已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若＝2，求点C的坐标．30．已知向量＝(3,4)，＝(6，－3)，O＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，求实数m满足的条件．31．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．2.3.1平面向量基本定理【学习目标】1.了解平面向量基本定理和意义，能用基底表示平面内任意给定向量.2.掌握三点共线的向量表示方法.3.在了解平面向量基本定理的基础上，理解并掌握平面向量的正交分解及坐标表示.4.体会向量与几何问题、物理中力学问题的联系.一、引入悟境1.回顾三个基本内容：（1）向量的加法运算与平行四边形法则；（2）实数与向量的积；（3）向量共线定理.2.由平行四边形法则思考这样一个问题：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？二、引领悟识1.作图研究任一向量与两不共线向量的关系作图：任意画两个不共线的向量，及任意向量，如何用，表示2.平面向量基本定理平面向量基本定理：如果，是平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量，实数，，使.此时不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组.【对定理的理解】（1）定理的实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.（2）对基底的理解，同一平面内可以有不同的基底，只要是两个不共线的向量都可以成为一组基底.一旦基底定了，那么定理中的，就唯一确定了，也就是说，λ1，λ2是被，，唯一确定的数量.（基底可以有零向量吗？）（3）基底背景下向量共线的条件我们很容易得到下述结论：设，为一组基底，若向量与向量共线，则，反之亦然.（4）基底背景下向量相等的条件：设，为一组基底，若向量与向量相等，则：。3.两向量的夹角非零向量、的夹角，一般用表示两向量的夹角.注意向量、的始点为同一点.夹角的范围，而不共线向量夹角范围为.几个特殊夹角对应的特殊位置：若向量、的夹角为，那么时，与；时，与；（）时，与，记作.三、引导悟技1.理解平面向量基本定理例1.设是平面内一组基底，用反证法证明：当时，恒有.变式1：如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A.①②B.②③C.③④D.②2.利用基底表示平面内的向量例2.（1）已知中，为的中点，、为的三等分点，若，，用，表示、、.（2）在△OAB中，，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.【变式2】（1）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（）A． B． C． D．（2）如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.3.向量共线及应用例3.已知向量，平面内一组基底，且，，.（1）若、、三点共线，求的值.（2）、C、能否共线？【变式3】1．已知，一组基底，且，，若，共线，则=_______.2．已知向量，是一组基底，且∥，则实数的值为.3.如图，在中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点，若。试问：是否为定值？4.利用平面向量基本定理进行几何证明例4.在平行四边形中，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线.【变式3】证明：三角形中线的交于一点.四、引申悟道1.充分理解基底条件及平面向量基本定理.2.能利用基底表示平面内任一给定向量.3.掌握三点共线的向量表示.《平面向量基本定理》说课稿阜阳市红旗中学教材：北师大版数学4（必修）第二章平面向量§3.2教材地位分析本节是北师大版普通高中课程标准试验教科书数学必修4第二章第三小节的内容。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，具有代数和几何的双重特征。因此，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。在高中数学中，它是沟通代数、几何与三角函数的重要工具，同时有着丰富的物理和生活实际背景，在生活和现代高考中有着重要的作用，具有很高的教育价值。平面向量基本定理是向量法的理论基础，它不仅揭示了平面向量间的基本关系和向量的基本结构，提供了向量几何表示的方法，同时也使向量用坐标来表示成为可能，从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁，使几何问题可以通过向量的坐标运算来解决。根据学生的认知规律及教学内容，我确定本节课的重点：1、对平面向量基本定理的探究；2、利用平面向量基本定理进行向量的分解。难点：平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解。教学目标分析基于上述对教材地位和内容的剖析，根据新课程标准中发展学生数学应用意识的基本理念，结合学生已有的知识结构与心理特征，我制定了以下的教学目标：知识与技能1、了解平面向量基本定理及其意义，会用基向量表示平面中的任一向量，为向量坐标化打下基础；2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。过程与方法1、通过对平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题的能力，加强思维能力的训练。2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。情感、态度与价值观1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识；2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度；3、培养学生“理论来源于实践并应用于实践”的辩证思想。三、教法与学法分析1、以“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式，展开所要学习的数学主题，突出探索式学习方式。2、在教学过程中，教师平等的参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，积极引导学生全员、全过程参与，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。3、利用多媒体等手段，通过观察、建模、合作与交流等数学活动，进行探究性学习。四、教学过程分析[创设情境、提出问题]情境一：（播放嫦娥一号探测器发射的视频）北京时间2007年10月24日18时05分左右，嫦娥一号探测器从西昌卫星发射中心由长征三号甲运载火箭成功发射。卫星发射后，将用8天至9天时间完成调相轨道段、地月转移轨道段和环月轨道段飞行。经过8次变轨后，于11月7日正式进入工作轨道。11月18日卫星转为对月定向姿态，11月20日开始传回探测数据。问题1：火箭在升空的某一时刻，可以如何描述其飞行方向？（速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度（如图）．）情境二、我们在小的时候都玩过“滑滑梯”，滑梯越高、越光滑，滑的速度越快，越舒服，那感觉就象“开飞机一样”。问题2、你知道是什么力量让你从滑梯的上端滑下来的吗？情境三、如图，一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线AO和绳BO拉住。问题3：为什么两种不同的方式，产生的效果会相同（都能把电灯吊起来。）设计意图：结合本节的教学内容，创设与现实生活相联系的生活情境，创设富有探索性的问题情境引入学习主题，便于提高学生学习兴趣，展开数学探究，并培养学生热爱祖国热爱生活的热情。[思考交流，构建概念]问题1如果和是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，那么与、之间有关系吗？怎样探求这种关系？给出四种不同形式的向量位置，学生分组探讨三者之间关系，教师利用几何画板演示学生成果，形成定理： e2e2平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对平面内的任一向量，有且只有一对实数,使。我们把不共线的向量、叫做表示这个平面内所有向量的一组基底。设计意图：1、问题1的提出，主要是在通过问题情境中的三个实例，说明“物理学中的矢量可以在两个不同方向上进行分解”后，向学生提出：“数学上的向量是否也可以在两个不同的方向上进行分解？”把生活中的实际问题抽象成数学问题，引起学