2024年全国高中数学联赛模拟卷(1-7)(一试)附详细解答

2024年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟总分值：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题〔本大题共8小题，每题8分，共64分〕1.函数的值域是___________2.设a,b,c为RT△ACB的三边长,点(m,n)在直线ax+by+c=0上.那么m2+n2的最小值是___________3.假设，且为正整数，那么4.掷6次骰子,令第次得到的数为,假设存在正整数使得的概率，其中是互质的正整数.那么=.5.点在曲线y=ex上，点在曲线y=lnx上，那么的最小值是_______6.多项式f(x)满足：,那么_________7.四面体OABC中,∠AOB=450,∠AOC=∠BOC=300,那么二面角A－OC－B的平面角的余弦值是__________8.设向量满足对任意和θ∈[0,EQ\F(π,2)],恒成立.那么实数a的取值范围是________________.二、解答题〔本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分〕9．设数列满足,.求证：当时,.(其中表示不超过的最大整数)．10.过点作动直线交椭圆于两个不同的点，过作椭圆的切线，两条切线的交点为，⑴求点的轨迹方程；⑵设O为坐标原点，当四边形的面积为4时，求直线的方程.11.假设、、，且满足，求的最大值。2024年全国高中数学联赛模拟卷(2)答案1.解：令sinx+cosx=t,那么t=,2sinxcosx=t2－1,关于t+1在和上均递增,所以,或,即值域.2.解：因(m2+n2)c2=(m2+n2)(a2+b2)=(ma)2+(nb)2+(mb)2+(na)2≥(ma)2+(nb)2+2mnab=(ma+nb)2=c2,所以m2+n2≥1,等号成立仅当mb=na且am+bn+c=0,解得(m,n)=(),所以m2+n2最小值是1.3.解：由知可能为1,3,11,33,从而解得4.解:当时，概率为;当时,，概率为；当时，，概率为；当时，，概率为；当时，，概率为；当时，概率为；故,即,从而.5.解：因曲线y=ex与y=lnx关于直线y=x对称．所求的最小值为曲线y=ex上的点到直线y=x最小距离的两倍,设P(x,ex)为y=ex上任意点,那么P到直线y=x的距离,因,所以,,即min=.6.解:解：用代替原式中的得：解二元一次方程组得，所以：，那么．CAOB〔分析得为一次多项式，可直接求CAOB7.解:不妨设AC⊥OC⊥BC,∠ACB=,∠AOC=∠BOC=,∠AOB=.因=即，两端除以并注意到,即得,将=450,=300代入得,所以,.8.解:令那么,,因,所以,对任意恒成立或或对任意恒成立或.9.证明：对于任何正整数，由递推知．由知数列递减.又对任意,．即有,从而.于是，当时，；当时，由递减得.故．所以，.10.解〔1〕依题意设直线方程为，与椭圆联立得，，由得设，那么过椭圆的切线分别为……①和……②①②，并且由及得，同理，故点的轨迹方程为〔在椭圆外〕〔2〕，O到PQ的距离为，M到PQ的距离为，，四边形的面积当时解得或，直线为或11.解:由均值不等式得,∴ABCDEFGABCDEFGM·ON2024年全国高中数学联赛模拟卷(2)第一试(考试时间：80分钟总分值：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题〔本大题共8小题，每题8分，共64分〕1、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第1节不排生物，最后1节不排物理，那么不同的排课表的方法有__________种.2、函数f(x)的定义域为D，假设满足①f(x)在D内是单调函数，②存在[a,b]D，使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，那么y=f(x)叫做闭函数，现有是闭函数，那么的取值范围是_________3、如图，在△ABC中，,，那么过点C，以A、H为两焦点的双曲线的离心率为 _________4、一个单位正方形的中心和一个圆的圆心重合，并且正方形在圆的内部，在圆上随机选一点，那么由该点可以看到正方形的两条完整的边的概率为eq\f(1,2)，那么该圆的半径为________5、有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为，现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸，但可以折叠)，那么包装纸的最小边长应为____________．6、假设实数a,b,x,y满足，，，那么________7、设对于任意满足的自然数，有不等式恒成立，那么的最大值为__________8、圆周上有10个等分点，那么以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为_______二、解答题〔本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分〕9．正实数，设，.〔1〕当时，求的取值范围；〔2〕假设以为三角形的两边，第三条边长为构成三角形，求的取值范围.10.数列{an}：，⑴证明：⑵求出所有的正整数，使得为完全平方数.11.设为正实数，且．证明：．2024年全国高中数学联赛模拟卷(2)答案1、由容斥原理知，有种.2、在[－2,+∞)有两不等实根．设，那么在[0,+∞)有两个不等实数根，那么且解得．3、取AB的中点D,那么,由得,即.故△ABC的底边AB上的高线与中线重合.从而△ABC是等腰三角形.AC=BC.由知,.由,知,，那么.在Rt△ACH中,不妨设CH=3,那么AH=4,BC=AC==5.故以A、H为两焦点的双曲线的离心率为.4、在正方形相邻边所夹的劣弧上，可以看到完整的两条边。而由题设“可以看到正方形的两条完整的边的概率为eq\f(1,2)〞，可知延长正方形的边与圆的8个交点将圆周8等分．可以得到圆半径为．5、将正四棱锥的侧面向外展开到底面，那么4个侧面三角形的顶点所构成的正方形即为最小正方形，边长为．6、因为，所以．所以．即……⑴因为，所以．所以．即……⑵由⑴、⑵,解得，．又因为，所以．所以．所以．注：用递归数列也可求解．7、原不等式．，．∴．8、任选4点，共有个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从不平行于直径的4条平行弦中选取，除去矩形，梯形共有60个，所以，梯形所占的比为．9、解：〔1〕∵，且∴又，结合二次函数的图像知，故的取值范围为另解：=，，得的取值范围为〔2〕设，那么，恒成立，即，恒成立，令，由于在是增函数，令，那么又，得的取值范围为10、解，我们用归纳法证明.〔*〕〔1〕当时，结论成立.〔2〕假设当时，结论成立。即又由于代入上式可得：……①那么当时，〔由①〕故当时，结论成立，即〔*〕式成立.又可知：那么，设那么知：又且故或故或〔舍去〕那么当时，满足条件.11.证明因为，要证原不等式成立，等价于证明……=1\*GB3①事实上，………=2\*GB3②由柯西不等式知……………=3\*GB3③又由知…………=4\*GB3④由=2\*GB3②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立．2024年全国高中数学联赛模拟卷(3)第一试(考试时间：80分钟总分值：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题〔本大题共8小题，每题8分，共64分〕1、设a,b是两个正整数,它们的最小公倍数是24·33·72·11,那么这样的有序正整数对(a,b)有 _组.2、方程16sinπxcosπx＝16x＋eq\f(1,x)的解集合为3、三棱锥是三条侧棱两两垂直的三棱锥，是底面内的一点，那么的最小值是______________4、对任意，代数式的最小值为________5、计算：_______________6、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球〔第一次传球〕，经过六次传球跑动后〔中途每人的传球时机均等〕回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种．7、对，函数都满足：①；②；③；那么__________________8、设个实数满足条件那么的最大值为________________二、解答题〔本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分〕9．设由不超过1000的两个正整数组成的数对满足条件：．试求所有这样的数对的个数．10.是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上任意一点，是椭圆的焦点，分别交椭圆与两点，求证：是定值．11.给定大于2024的正整数，将分别填入的棋盘的方格中，使每个方格恰有一个数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2024个方格内所填的数，且大于它所在列至少2024个方格内所填的数，那么称这个方格为“优格〞，求棋盘中“优格〞个数的最大值．2024年全国高中数学联赛模拟卷(3)答案1、设,那么有.故有序正整数对(a,b)有=945组.2、当x＞0时，16x＋eq\f(1,x)≥8，〔x＝eq\f(1,4)取到等号〕而，(x＝eq\f(1,4)＋k,k∈Z取到等号),于是有当x＞0时，方程只有一个解x＝eq\f(1,4)。由于奇函数的性质，可知x＝eq\f(1,4)是方程的另一解。故方程的解集合为{eq\f(1,4),－eq\f(1,4)}3、解：由，得≥，同理还有两个不等式，那么W≥．4、解：配方得，设，点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，所以：≥．5、解：设，那么是方程的根，那么，，令，那么原式＝6、解：设经过次传球跑动后回到甲的不同传球方式为〔≥2〕，那么，所以7、解：由①②③可推出．8、解：当≥2时，令那么，所以：≤．9、解：由可得对于每个，在这个范围内的整数个数为又，那么≤707,但当时，所以：数对的总数为10、证明：如图，由椭圆的定义知：，，其中为该椭圆的离心率，为该椭圆的焦准距．由相似形及和分比定理得：所以：,同理可得：所以：为定值．11、解：定义一个方格中填的数大于它所在行至少2024个方格中所填的数，那么称此格为行优的．又每一行中填较小的2024个数的格子不是行优的，得到每行中有个格子为行优的．另外，每一个“优格〞一定是行优的，所以棋盘中“优格〞个数≤．将棋盘的第行第〔大于时，取模的余数〕列中的格子填入“*〞，再将填入有“*〞的格子，其余的数填入没有“*〞的格子．没有“*〞的格子中填的数大于有“*〞的格子中填的数，所以，棋盘中没有“*〞的格子都是“优格〞，共有个．AQDRCBAQDRCBP2024年全国高中数学联赛模拟卷(4)第一试(考试时间：80分钟总分值：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题〔本大题共8小题，每题8分，共64分〕1、设a,b是两个正整数,它们的最小公倍数是24·33·72·11,那么这样的有序正整数对(a,b)有 _组.2、方程16sinπxcosπx＝16x＋eq\f(1,x)的解集合为3、三棱锥是三条侧棱两两垂直的三棱锥，是底面内的一点，那么的最小值是______________4、对任意，代数式的最小值为________5、计算：_______________6、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球〔第一次传球〕，经过六次传球跑动后〔中途每人的传球时机均等〕回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种．7、对，函数都满足：①；②；③；那么__________________8、设个实数满足条件那么的最大值为________________二、解答题〔本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分〕9．设由不超过1000的两个正整数组成的数对满足条件：．试求所有这样的数对的个数．10.是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上任意一点，是椭圆的焦点，分别交椭圆与两点，求证：是定值．11.给定大于2024的正整数，将分别填入的棋盘的方格中，使每个方格恰有一个数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2024个方格内所填的数，且大于它所在列至少2024个方格内所填的数，那么称这个方格为“优格〞，求棋盘中“优格〞个数的最大值．2024年全国高中数学联赛模拟卷(4)答案1、设,那么有.故有序正整数对(a,b)有=945组.2、当x＞0时，16x＋eq\f(1,x)≥8，〔x＝eq\f(1,4)取到等号〕而，(x＝eq\f(1,4)＋k,k∈Z取到等号),于是有当x＞0时，方程只有一个解x＝eq\f(1,4)。由于奇函数的性质，可知x＝eq\f(1,4)是方程的另一解。故方程的解集合为{eq\f(1,4),－eq\f(1,4)}3、解：由，得≥，同理还有两个不等式，那么W≥．4、解：配方得，设，点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，所以：≥．5、解：设，那么是方程的根，那么，，令，那么原式＝6、解：设经过次传球跑动后回到甲的不同传球方式为〔≥2〕，那么，所以7、解：由①②③可推出．8、解：当≥2时，令那么，所以：≤．9、解：由可得对于每个，在这个范围内的整数个数为又，那么≤707,但当时，所以：数对的总数为10、证明：如图，由椭圆的定义知：，，其中为该椭圆的离心率，为该椭圆的焦准距．由相似形及和分比定理得：所以：,同理可得：所以：为定值．11、解：定义一个方格中填的数大于它所在行至少2024个方格中所填的数，那么称此格为行优的．又每一行中填较小的2024个数的格子不是行优的，得到每行中有个格子为行优的．另外，每一个“优格〞一定是行优的，所以棋盘中“优格〞个数≤．将棋盘的第行第〔大于时，取模的余数〕列中的格子填入“*〞，再将填入有“*〞的格子，其余的数填入没有“*〞的格子．没有“*〞的格子中填的数大于有“*〞的格子中填的数，所以，棋盘中没有“*〞的格子都是“优格〞，共有个．AQDRCBAQDRCBP2024年全国高中数学联赛模拟卷(5)第一试(考试时间：80分钟总分值：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题〔本大题共8小题，每题8分，共64分〕__________1.正八边形边长为1，任取两点，那么最大值为__________2.假设，那么＝_________3.假设关于的方程的两个实数根满足那么的最小值为______________,最大值分别为____________4.设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右支上一动点，过向两条渐近线作垂线，垂足分别为点，假设点始终在第一、第四象限内，那么双曲线离心率的取值范围是___________.5.对于实数，表示不超过的最大整数。对于某个整数，恰存在2024个正整数，满足，并且整除，那么=___________.6.A、B两队进行乒乓球团体对抗赛，每队各三名队员，每名队员出场一次。A队的三名队员是，B队三名队员是B1,B2,B3,，且对的胜率为eq\f(i,i+j)(1≤i,j≤3)，A队得分期望的最大可能值是________.7.△ABC的三边长分别为13,14,15,有4个半径同为的圆O,O1,O2,O3放在△ABC内，并且⊙O1与边AB、AC相切，⊙O2与边BA、BC相切，⊙O3与边CB、CA相切，⊙O与⊙O1,O2,O3相切,那么=_________.8.设都是正整数，且，那么的个位数字是__________二、解答题〔本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分〕9．：实数满足，证明：10.数列由确定,假设对于任意，恒成立。求得最小值。11.在双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1中，分别为双曲线C的左右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，的重心为G，内心为I.(1)是否存在一点P,使得IG||；(2)A为双曲线C的左顶点，直线过右焦点与双曲线C交于M，N两点，假设AM，AN的斜率满足－eq\f(1,2)，求直线的方程.2024年全国高中数学联赛模拟卷(5)答案1、解：根据向量内积的几何意义，只要看向量在方向上的投影即可。最大值为eq\r(2)+12、令得==，又为展开式中最高次项的系数，那么3、解：设，那么，整理得，且，在以分别为横轴和纵轴的坐标系中画出上面两个不等式所表示的规划区域。那么，点到规划区域最小值即为到直线的距离eq\f(1,eq\r(2))，那么的最小值为距离的平方eq\f(1,2)；点到规划区域最大值为的圆心的距离与半径2的和，那么的最大值为=4、解：由对称性，我们只讨论在第一象限情形.设，，那么直线的方程为，与联立，得：假设在第一象限显然满足，假设在第四象限或坐标轴上，那么，所以，只须5、解：假设，那么，满足整除，那么可取，共个，所以6、解：讨论可知，，最大期望7、解：不妨设。可知与相似，且为的外心，外接圆半径为，那么，，由正弦定理，同理可得，，又=，所以，8、由二项式定理：，，，故，设，那么，由恒等式得：，的个位数字依次为1，6，5，4，9，0，1，6，5，4，9，0，…，所以≡，≡≡9、证明：原不等式等价于，设，那么，原不等式即为，等价于(*)假设令不变，那么(*)式右边为，由知时(*)式右边取最大值。同理知时，(*)式右边取最大值为，即原不等式成立10、解：由题可知时，，又，不妨设，那么，∴∴那么=＝易知为正数，且，趋于无穷大时，趋于无穷大，那么的最小值为11、解：(1)假设存在点P坐标为,而G为的重心,故.而I为的内心,设的内切圆半径为,那么,于是..由IG∥知,,即.又,.由焦半径公式知,,那么.故,即.又点P在双曲线上,那么.解得(舍负).故存在,使得IG∥.(2)假设直线斜率不存在,显然不合题意.假设直线斜率存在,设过的直线方程为,直线和椭圆交于.将代入中,得到.由韦达定理可知:又,而,从而,即.故所求直线的方程为.2024年全国高中数学联赛模拟卷(6)第一试(考试时间：80分钟总分值：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题〔本大题共8小题，每题8分，共64分〕1．函数的最大值是_______2．青蛙在正六边形ABCDEF上A点处，每次向相邻顶点跳跃.到达D点或者跳满五次那么停止.不同跳跃方式有____________种.3．设,那么的最大值为___________4．设数列的前项和满足：，，那么通项=______5．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与直线交于M,N两点,且(为原点),当椭圆的离心率e∈[EQ\F(EQ\R(,3),3),EQ\F(EQ\R(,2),2)]时,椭圆长轴长的取值范围是__________6．对于每个大于等于2的整数，令表示在区间上不同解的个数，表示在区间上不同解的个数，那么=____________7．在平面直角坐标系中，定义点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离〞为d(P,Q)=|x1－x2|＋|y1－y2|假设C(x,y)到点A(1,3),B(6,9)的“直角距离〞相等，其中实数x,y满足0≤x≤10,0≤y≤10，那么所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为_________8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，那么该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是二、解答题〔本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分〕9．是实数,二次函数满足，求证：－1与1中至少有一个是的根.10．设，数列满足，．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕证明：对于一切正整数，．11．椭圆，过定点两条互相垂直的动直线分别椭交圆于两点。分别为左右焦点，为坐标原点。〔1〕求向量的最小值；〔2〕当向量与互相垂直时，求两点所在直线的斜率。2024年全国高中数学联赛模拟卷(6)答案1、函数的定义域为[1,5]，且y＞0,当且仅当，等号成立，即x＝eq\f(127,27)时函数取最大值6eq\r(3)2、跳5步共有32种，其中包含3步跳到D的两种情形，应减去8种，所以满足条件的5步跳有24种。在加上2种3步跳，共26种。3、,当时,4.，即2=，由此得2．令，()，有，故，所以．5.由,可得①由得,即,将,代入得,即,因为,得,得,有,解得.6、由得：，即或，又，那么或；但两组取值可能重复。假设，讨论得：时重复一组。同理对于，或，或，时重复一组。比较两种解的取值知，为公共局部，为奇数时，比多一组解，但当时重复一组。只当时重复一组。实质只有当时，比多1个解，其余情况解相同。所以=。7.由条件得--------①当y≥9时，①化为，无解；当y≤3时，①化为，无解；当3≤y≤9时，①化为-------②假设x≤1，那么y＝8.5，线段长度为１；假设1≤x≤6，那么x＋y＝9.5，线段长度为5eq\r(2)；假设x≥6，那么y＝3.5，线段长度为４．综上可知，点C的轨迹的构成的线段长度之和为1＋5eq\r(2)＋4＝5(eq\r(2)＋1)答图18.如答图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面答图1//平面，与小球相切于点，那么小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，那么．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，答图2易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，答图2记为，如答图2．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的局部的面积为〔如答图2中阴影局部〕．又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为9、由知二次函数有零点，假设二次函数只有唯一的零点，那么这个零点就是抛物线的顶点，有，解得，由，有，那么，故抛物线的顶点横坐标为，所以与1中至少有一个是的根。假设二次函数有两个不同的零点，因为：，所以或故与1中至少有一个是的根。10、解：∵，∴，∴①当时，，∴，即②当且时，，当时，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴∴，∴综上所述〔2〕方法一：证明：①当时，；②当且时，∴对于一切正整数，．方法二：证明：①当时，；②当且时，要证，只需证，即证，即证即证即证∵，∴原不等式成立。∴对于一切正整数，．11、解：〔1〕，所以=2.即最小值为当点位于短轴上顶点时，取等号.〔2〕，，所以与互相垂直，那么线段为直角与直角公共斜边。设线段中点为，那么，即=1\*GB3①设直线方程为，与联立得：，由=1\*GB3①得：=2\*GB3②又由与互相垂直知=3\*GB3③直线与合成得：，即，由=3\*GB3③得=4\*GB3④，由=2\*GB3②与=4\*GB3④解得2024年全国高中数学联赛模拟卷(7)第一试(考试时间：80分钟总分值：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题〔本大题共8小题，每题8分，共64分〕__________1.集合,,,那么的取值范围是___________2.某人投两次骰子,先后得到点数,用来作为一元二次方程的系数,那么使方程有CACABDEFMN3.过四面体的顶点作半径为的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切。假设，那么四面体的外接球的半径＝________4.如图,分别为正六边形ABCDEF的对角线AC,CE的内分点,且eq\f(AM,AC)＝eq\f(CN,CE)＝λ,假设B,M,N三点共线,那么=______________5.是偶函数，那么函数图像与轴交点的纵坐标的最大值是6.对所有的实数及均有＞eq\f(1,8),那么实数的取值范围是______.7.定义“n次幂平均三角形〞:如果△ABC的三边满足等式：(),那么称△ABC为“n次幂平均三角形〞.如果△ABC为“3次幂平均三角形〞,那么角B的最大值是______.8.设为复数,其中,,假设,那么当的辐角主值最小时,的值为_____________二、解答题〔本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分〕9．定义域为实数集R的函数f(x)同时满足以下3个条件：①x＞0时，f(x)＞0，②f(1)＝2，③对任意m，n，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)．设集合，，，假设A∩B≠Ф且A∩C≠Ф，试求实数a的取值范围．10.双曲线方程，是否存在过焦点的直线l，交双曲线于A、B两点，使得∠AOB＝EQ\F(π,2)．假设存在，求出l的方程；假设不存在，请说明理由。11.数列{an}满足对任意n∈N*，，求的最小值．2024年全国高中数学联赛模拟卷(7)答案1、由条件知,①A＝Ф,2a+1＞3a＋5,②A≠Ф,,解得a＜－4或1≤a≤9.2、由题意知，，那么事件总数为36，而方程有实根等价于,即：，据此可列出的值：1,2,3,4,5,6。的个数为：5,4,3,3,2,2。即5+4+3+3+2+2=19，故概率为eq\f(19,36)3、过作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，，垂足为，那么，且有。由于，那么，，，因此为半径为的球的直径，从而四面体的外接