第5章给水管网水力分析

第5章建筑内部的排水系统总目录本章总目录5.1给水管网水力分析基础5.1.1水力分析的前提

5.1.2方程组线性变换5.1.3方程组的求解5.2解环方程组水力分析方法5.2.1管段水力特性的线性化5.2.2能量方程组的线性化5.2.3牛顿-拉夫森法5.2.4哈代-克罗斯法5.2.5哈代-克罗斯法的改进第5章给水管网水力分析下一页第5章建筑内部的排水系统总目录本章总目录5.3解节点方程组水力分析方法5.3.1解节点方程的步骤5.3.2水力特性的线性化5.3.3解节点方程组与环方程组对比第5章给水管网水力分析第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解给水管网水力分析的参数流量与水头。当管段特性已知且处于恒定流状态时，流量与水头关系可通过恒定流方程组解得。HFi-HTi=hii=1，2，3，…，M第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解水力分析的前提条件已知各管段的水力特性：即确定管段流量与水头损失之间的关系。[1][2][3][4][5][6][7][8](1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)Q1Q2Q5Q6Q7Q4Q3q1q2q3q4q5q6q7q8第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解HFi-HTi=hii=1，2，3，…，M水力分析的前提条件节点流量与节点水头必须一个已知一个未知。第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解水力分析的前提条件必须至少存在一个定压节点。方程数和未知量相等只是方程组可解的必要条件而非充分条件。作为充分条件，要求管网中必须至少有一个定压节点；若管网中无定压节点，方程组无确定解。第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

大节点概念（关联）、割集的方式。下面例题。(7)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)Q7Q1Q2Q3Q4Q5Q6[1][2][3][4][5][6][7]q1,h1q2,h2q3,h3q4,h4Q8q5,h5q6,h6q7,h7H7H1H2H3H8H4H5H6第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

针对每个节点可写出节点流量连续性方程。第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

由大环以及割集概念写出流量连续性方程。(7)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)Q7Q1Q2Q3Q4Q5Q6[1][2][3][4][5][6][7]q1,h1q2,h2q3,h3q4,h4Q8q5,h5q6,h6q7,h7H7H1H2H3H8H4H5H6第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

整个管网节点8节点6节点5节点4节点3，6，8节点2，3，5，6，8节点1，2，3，4，5，6，8第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

写出割集的连续性方程的意义何在？方程中只包含一个管段流量与若干个节点流量；若节点流量已知，可直接求得管段流量。大家分析一下，如下图所示的割集有何意义。(7)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)Q7Q1Q2Q3Q4Q5Q6[1][2][3][4][5][6][7]q1,h1q2,h2q3,h3q4,h4Q8q5,h5q6,h6q7,h7H7H1H2H3H8H4H5H6第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

问题所举例子为单定压节点（树状网、一个水源供水），可直接通过流量连续性方程组求解。针对多定压节点也能够列出流量连续性方程组，但很难直接求出定压节点流量（树状网）。单定压节点环状网，能够得到定压节点流量，但无法列出直接求解管段流量的连续性方程组。多定压节点环状网，既不能直接求出定压节点流量，也不能列出直接求解管段流量的连续性方程组。第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

将一些相关联的管段首尾相连，形成一条路径，把其能量方程相加减可导出路径能量方程。见下图。(7)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)Q7Q1Q2Q3Q4Q5Q6[1][2][3][4][5][6][7]q1,h1q2,h2q3,h3q4,h4Q8q5,h5q6,h6q7,h7H7H1H2H3H8H4H5H6[8][9]q8,h8q9,h9第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

计算定压节点7到定压节点8的压降：这也说明压降方向由7到8，与此方向相同的流向或压降为正值，反之为负值。得当起点和终点重合时，路径能量方程的形式如何呢?由上图，计算回路（1）、（2）、（5）、（4）的能量方程。分析得到，假定起点为（1），流过管段[2]、[6]、[8]、[5]后回到（1），则路径能量方程为我们定的水流方向为依次经过[2]、[6]、[8]、[5]，若水流方向依次通过[5]、[8]、[6]、[2]呢，路径能量方程如何表示？第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

上式也表明对于一个回路即管网系统中的环而言，其能量方程恒为零。（环能量方程）我们的上例只存在两个基本环，故能够写出两个环能量方程。若确定环中各节点或各管段流量依旧不能确定多定压节点流量（例子为两个定压节点），如何进行处理呢？工程上提出了虚环的概念。第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

虚环存在如下假设：在管网中增加一个虚节点编号为0，叫做虚定压节点，其流量为整个管网系统用水量，压力即水头恒为0。在虚节点与各定压节点之间连接叫做虚管段；虚管段提供各定压节点所需水头与水量，但其本身无压降。各定压节点的节点流量定为0，但节点水头改为未知量，管网成为单定压节点管网。管网简化为单定压节点管网，于是不需列出定压节点之间的能量方程，上述管网增加一个回路，需要多列一个环能量方程。如下：第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

(7)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)0Q1Q2Q3Q4Q5Q6[1][2][3][4][5][6][7]q1,h1q2,h2q3,h3q4,h40q5,h5q6,h6q7,h7H7H1H2H3H8H4H5H6[8][9]q8,h8q9,h9Q0H0=0(0)[11][10]q10=-Q7q11=-Q8第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

其实，从本质上来讲，虚环能量方程表示的依旧为定压节点能量方程。将多定压节点管网采用虚节点统一为单定压节点管网后，管网的环数增加R-1个（假定存在R个定压节点）。每一环对应一环方程，则环方程数量为L+R-1个。得出环方程，把管段方程表达式带入可进行水力计算。第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解销元与迭代两种手段减少未知量数目和逼近最终解。求解恒定流方程组一般常用的为解环方程和解节点方程。第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

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1解环方程解环方程一般针对单定压节点管网。（多定压节点管网如何求解？）解环方程的方法为首先使得管网满足流量连续性方程，然后通过计算满足能量方程。计算步骤：先满足流量连续性方程，需要确定管段流量（依据为流量连续性方程）；即进行管段流量初分配。根据各管段流量，计算各管段水头损失，然后根据回路即环能量为零的原则判断其是否满足要求。第一次分配不能满足如何进行处理？第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

1解环方程环流量环流量即沿某一固定方向给管网中的某一环施加的相同流量；环流量在节点流入与流出的量相等，未改变流量连续性，但由于环流量的施加却改变了各管段的水头损失。环流量的施加原则是使得环能量满足为0的条件。这也是管网平差的控制原则。一般规定环流量顺时针为正，逆时针为负。第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

2.解节点方程工作顺序与解环方程相反；先使得各环满足能量方程，然后再设法满足流量连续性方程。方法为先对于各节点的水头进行初拟，然后根据压降确定各管段流量，判断各节点是否满足流量连续性方程。第5章建筑内部的排水系统水力分析的前提方程组线性变换方程组的求解第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

3.对于上述两种方法的评价应用范围：环方程一般为单定压节点管网，而节点方程不受限制。复杂程度：一般而言，解环方程未知量较少，而节点方程未知量较多。在手工计算时一般采用解环方程，采用机算时两种方法均可采用。第5章建筑内部的排水系统总目录本章总目录第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

树状网为典型的单水源单定压节点管网系统管段流量的计算采用逆推法，节点水头的计算采用顺推法。问题：为何回路即环的能量为0，节点流量也应该为0？多定压节点管网提出虚环或虚节点的概念有何意义？解环方程和解节点方程的不同在何处？你认为解节点方程或解环方程有没有简便方法？第5章建筑内部的排水系统总目录本章总目录第5章给水管网水力分析5.1给水管网水力分析基础

本节重点割集的概念在流量连续性方程简化时的应用环流量与环能量虚环解环方程与解节点方程的方法。第5章建筑内部的排水系统管段水力特性公式表明管段流量与压降遵循下述关系：管段水力特性的线性化是线性关系吗？因而管段水力特性线性化可使得恒定流方程组线性化。第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进第5章建筑内部的排水系统在分析过程中，我们已经得出需要先初拟管段流量的结论，即给定每个管段一个流量值；在给定的流量值上对式子进行微分可得下述关系：管段水力特性的线性化由于函数为连续的（原因？？），在管段给定工况点（qi(0)，hi(0)）附近，管段水力特性采用该点切线表示。第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进hq管段水力特性的线性化qi(0)qi(0)+dqihi(0)hi(0)+dhisiqin误差大小第5章建筑内部的排水系统管段水力特性的线性化第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进第5章建筑内部的排水系统管段水力特性的线性化第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进根据前面已经讲过的内容可知，初拟管段流量满足流量连续性方程，对于每一环的所有管段同时施加同一流量不会改变其连续性，但可改变环的能量。这也表明环流量为改变环能量的唯一变量。我们通过施加不同的环流量使环能量方程组得以满足要求。因此环能量方程组在初拟管段流量的前提下可采用下式表示：针对上式的理解采用以下所示管网来解释：第5章建筑内部的排水系统管段水力特性的线性化第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进(7)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)Q7Q1Q2Q3Q4Q5Q6[1][2][3][4][5][6][7]q1,h1q2,h2q3,h3q4,h4Q8q5,h5q6,h6q7,h7H7H1H2H3H8H4H5H6[8][9]q8,h8q9,h9Δq1Δq2第5章建筑内部的排水系统管段水力特性的线性化第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进我们已经将环能量方程组线性化，下面要讨论的问题就是如何对其进行求解。解上述线性方程的基本思路为：在给定初分管段流量下，在环流量初值点处，采用线性切面函数替代环水头函数，采用Taylor公式在初值点处展开，忽略高次项，只保留线性项，得线性方程组：第5章建筑内部的排水系统管段水力特性的线性化第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进第5章建筑内部的排水系统管段水力特性的线性化第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进初拟管段流量处各环的闭合差如下所示，Δhk，将上式表示为矩阵形式为：系数矩阵为：第5章建筑内部的排水系统管段水力特性的线性化第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进直接求解线性方程组并通过迭代逐步逼近环能量满足为零的条件。步骤为：一初拟各管段流量并给定环水头的最大允许闭合差值。二计算各环水头闭合差三判断各环水头闭合差是否满足小于最大允许闭合差条件，满足计算各管段水力参数；否则进行下面工作。四继续计算矩阵系数五根据公式计算各环环流量六将环流量施加到环内所有管段，得到新的流量重新计算各环闭合差看其能否满足闭合差要求，否则继续计算。七计算管段压降、流速、节点水头，计算节点自由水头。第5章建筑内部的排水系统管段水力特性的线性化第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进12(2)(3)(4)(6)(7)(8)-179.851.17-16.38Q882.3335.03[5]550,200[5]330,30089.90[2]650,30089.906.27[8]590,30054.87[9]490,1005.00[6]350,20032.46[7]360,20022.65节点2：3，4，6，7也均能满足89.90+89.90-179.8=0前面讲过，首先对各管段进行流量初分配，各节点应该满足质量守恒，我们需要验证其能否满足，这也是将来进行管网设计时的第一步那么，节点8呢？这说明，我们用来计算的管网首先已经满足了流量连续性方程，在计算中需要满足的第一个，下面要做的工作是使其满足环能量为零。第5章建筑内部的排水系统管段水力特性的线性化第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进第一步：根据数据计算管段参数，包括管段阻力系数s、管段压降h、管段阻尼系数z要求采用海曾-威廉姆公式计算，则水头损失：阻尼系数：第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

12(2)(3)(4)(6)(7)(8)-179.851.17-16.38Q882.3335.03[5]550,200[5]330,30089.90[2]650,30089.906.27[8]590,30054.87[9]490,1005.00[6]350,20032.46[7]360,20022.65计算管段水力参数如下表管段编号2356789长度650550330350360590490直径0.30.20.30.20.20.30.1摩阻404.4252465.198205.32351568.7621613.584367.093564224.58初分流量0.08990.006270.08990.032460.022650.054870.005水头损失4.6687540.2053012.370292.7452041.4500331.6983413.517173阻尼系数96.1794460.6407748.82956156.6272118.563457.323281302.761第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

12(2)(3)(4)(6)(7)(8)-179.851.17-16.38Q882.3335.03[5]550,200[5]330,30089.90[2]650,30089.906.27[8]590,30054.87[9]490,1005.00[6]350,20032.46[7]360,20022.65上表已经计算出各管段水头损失，则判断环闭合差，如下管段编号2356789水头损失4.6687540.2053012.370292.7452041.4500331.6983413.517173环1：5，2，6，8组成，闭合差为：4.668754+2.745204-1.698341-2.37029=3.345327环2：3，7，9，6组成，闭合差为：0.205301+1.450033-3.517173-2.745204=-4.60704计算结果表明，环闭合差均不能满足要求，需要进行环流量修正。第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

12(2)(3)(4)(6)(7)(8)-179.851.17-16.38Q882.3335.03[5]550,200[5]330,30089.90[2]650,30089.906.27[8]590,30054.87[9]490,1005.00[6]350,20032.46[7]360,20022.65管段编号2356789阻尼系数96.1794460.6407748.82956156.6272118.563457.323281302.761环1闭合差为3.345327环2闭合差为-4.60704系数矩阵为：=358.95941638.592-156.6272-156.6272可得线性方程组，求解每一环应该施加的环流量358.95941638.592-156.6272-156.6272·Δq1Δq2=3.345327-4.60704-第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

解此方程组可得Δq1=-0.008445；Δq2=0.002004358.95941638.592-156.6272-156.6272·Δq1Δq2=3.345327-4.60704-把环流量施加于各环，则可得各管段新流量。如下表12(2)(3)(4)(6)(7)(8)-179.851.17-16.38Q882.3335.03[5]550,200[5]330,30089.90[2]650,30089.906.27[8]590,30054.87[9]490,1005.00[6]350,20032.46[7]360,20022.65管段编号2356789初分流量0.08990.006270.08990.032460.022650.054870.005新流量0.0814550.0082740.0983450.0220110.0246540.0633150.002996第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

已经计算出各管段的新流量，根据新流量计算管段水力参数如下表管段编号2356789长度650550330350360590490直径0.30.20.30.20.20.30.1摩阻404.4252465.197832205.32351568.7621613.584367.093564224.58新流量0.0814550.0082740.0983450.0220110.0246540.0633150.002996水头损失3.8891770.3431317572.7990831.3369831.6965512.2139451.36225阻尼系数88.4261976.8044493152.7114112.4934127.444464.75917842.0848重新计算各环闭合差，则12(2)(3)(4)(6)(7)(8)-179.851.17-16.38Q882.3335.03[5]550,200[5]330,30089.90[2]650,30089.906.27[8]590,30054.87[9]490,1005.00[6]350,20032.46[7]360,20022.65环1闭合差为0.213131环2闭合差为-0.659550第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

闭合差仍不能满足要求，继续构建系数矩阵管段编号2356789阻尼系数88.4261976.8044452.71140112.4934127.444464.75917842.0848系数矩阵为：=318.39021158.8571-112.4934-112.4934可得线性方程组，求解每一环应该施加的环流量318.39021158.8571-112.4934-12.4934·Δq1Δq2=0.213131-0.659550-12(2)(3)(4)(6)(7)(8)-179.851.17-16.38Q882.3335.03[5]550,200[5]330,30089.90[2]650,30089.906.27[8]590,30054.87[9]490,1005.00[6]350,20032.46[7]360,20022.65解此方程组可得Δq1=-0.0048495；Δq2=0.0005221第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

根据第二次施加的环流量计算各环闭合差，如下表。管段编号2356789流量0.080970050.0087960630.098829950.021003990.0251760630.063799950.00247394水头损失3.846403550.3843030112.824699241.2259141761.7636850442.245452620.95555772重新计算各环闭合差，则环1闭合差为0.0022环2闭合差为-0.0334812(2)(3)(4)(6)(7)(8)-179.851.17-16.38Q882.3335.03[5]550,200[5]330,30089.90[2]650,30089.906.27[8]590,30054.87[9]490,1005.00[6]350,20032.46[7]360,20022.65这说明，各环水头已经满足要求。平差过程已经完成。第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

已经得出各管段流量，则根据满管流、均匀流以及连续流的假定来计算各计算管段流速，如下表所示。管段编号2356789直径0.30.20.30.20.20.30.1摩阻404.4250172465.197832205.323471568.7622571613.584035367.09347764224.5761流量0.080970050.0087960630.098829950.021003990.0251760630.063799950.00247394水头损失3.846403550.3843030112.824699241.2259141761.7636850442.245452620.95555772流速1.150.281.400.670.800.900.31第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

计算节点水头与自由水压，如下表12(2)(3)(4)(6)(7)(8)-179.851.17-16.38Q882.3335.03[5]550,200[5]330,30089.90[2]650,30089.906.27[8]590,30054.87[9]490,1005.00[6]350,20032.46[7]360,20022.65节点编号234678地面标高18.8019.1022.0018.3017.3017.50节点水头47.494391643.6479880643.26368544.7010103442.4555577241.5自由水压28.694391624.5479880621.26368526.4010103425.1555577224第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

管段水力特性的线性化环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进上述例题只求解两个环的情况，若环比较多的时候呢？比如四个环，如何列方程组？上述解法为牛顿-拉夫森法，下面看看哈代-克罗斯法如何求解。第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

管段水力特性的线性化环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进采用牛顿-拉夫森法求解环流量，所需要求解的方程数量与环数量相等。当环的数量相当大尤其是共用管段较多时，方程组的求解也相当困难。为此，哈代-克罗斯提出了修正的水头平差法，它的解法与牛顿-拉夫森法相同，不同的是此解法忽略邻环的影响，只考虑本环。他认为邻环对于本环的流量影响相对较小，可在计算过程中忽略不计。这种方法导致的后果是收敛速度较慢，与牛顿-拉夫森法相比；但仍然是工程上的常用方法。第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

管段水力特性的线性化环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进牛顿拉夫森法在计算过程中，所采用的系数矩阵为由于哈代-克罗斯法认为邻环影响极小，故公共管段的系数依旧为0，则第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

根据哈代-克罗斯法的思路，我们可以把公式大幅度简化，如下图所示计算环流量可写成如下所示：12(2)(3)(4)(6)(7)(8)-179.851.17-16.38Q882.3335.03[5]550,200[5]330,30089.90[2]650,30089.906.27[8]590,30054.87[9]490,1005.00[6]350,20032.46[7]360,20022.65哈代-克罗斯平差公式可以适应环数较多的情况，就算是存在不可想象的数量，依旧计算十分简单。下面仍旧以上述例题为例来讲解。平差公式为：第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

12(2)(3)(4)(6)(7)(8)-179.851.17-16.38Q882.3335.03[5]550,200[5]330,30089.90[2]650,30089.906.27[8]590,30054.87[9]490,1005.00[6]350,20032.46[7]360,20022.65第一步仍旧首先计算各管段水力参数，如同牛顿-拉夫森法。管段编号2356789长度650550330350360590490直径0.30.20.30.20.20.30.1摩阻404.4252465.198205.32351568.7621613.584367.093564224.58初分流量0.08990.006270.08990.032460.022650.054870.005水头损失4.6687540.2053012.370292.7452041.4500331.6983413.517173阻尼系数96.1794460.6407748.82956156.6272118.563457.323281302.761第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

12(2)(3)(4)(6)(7)(8)-179.851.17-16.38Q882.3335.03[5]550,200[5]330,30089.90[2]650,30089.906.27[8]590,30054.87[9]490,1005.00[6]350,20032.46[7]360,20022.65管段编号2356789阻尼系数96.1794460.6407748.82956156.6272118.563457.323281302.761环1闭合差为3.345327环2闭合差为-4.60704系数矩阵为：=358.95941638.59200可得线性方程组，求解每一环应该施加的环流量358.95941638.59200·Δq1Δq2=3.345327-4.60704-第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

358.95941638.59200·Δq1Δq2=3.345327-4.60704-解此方程组得Δq1=-0.008445；Δq2=0.002004（牛-拉法）Δq1=-0.0093195；Δq2=0.0028116（哈代-克罗斯法）把修正流量带入各管段，如下表所示：管段编号2356789初分流量0.08990.006270.08990.032460.022650.054870.005新流量N0.0814550.0082740.0983450.0220110.0246540.0633150.002996新流量H0.0805800.0090820.099220.020330.025460.064190.00218812(2)(3)(4)(6)(7)(8)-179.851.17-16.38Q882.3335.03[5]550,200[5]330,30089.90[2]650,30089.906.27[8]590,30054.87[9]490,1005.00[6]350,20032.46[7]360,20022.65第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

已经计算出各管段的新流量，根据新流量计算管段水力参数如下表管段编号2356789摩阻404.4252465.197832205.32351568.7621613.584367.093564224.58新流量N0.0814550.0082740.0983450.0220110.0246540.0633150.002996新流量H0.0805800.0090820.099220.020330.025460.064190.002188水头损失N3.8891770.3431317572.7990831.3369831.6965512.2139451.36225水头损失H3.812160.407762.845381.154061.800702.270940.76115阻尼系数N88.4261976.8044493152.7114112.4934127.444464.75917842.0848阻尼系数H87.616283.150253.1107105.1311130.985765.5209644.2621重新计算各环闭合差，则12(2)(3)(4)(6)(7)(8)-179.851.17-16.38Q882.3335.03[5]550,200[5]330,30089.90[2]650,30089.906.27[8]590,30054.87[9]490,1005.00[6]350,20032.46[7]360,20022.65环1闭合差为-0.1501环2闭合差为0.2933第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

闭合差仍不能满足要求，继续平差管段编号2356789阻尼系数H87.616283.150253.1107105.1311130.985765.5209644.2621根据上述公式得到，Δq1=-Δh/z2、6、5、8之和=0.0004821；Δq2=-0.0003044（哈代-克罗斯法）把流量进行校正，依旧计算闭合差，看其能否满足要求。管段编号2356789摩阻404.4252465.197832205.32351568.7621613.584367.093564224.58流量N0.080970.0087960.098830.021000.025180.063800.002474流量H0.081060.0087780.098740.021120.025160.063710.002492水头损失H3.85450.38282.81981.23811.76102.23950.9688最终闭合差为环1=0.033；环2为-0.063。而经过两次平差后，牛-拉法的最终闭合差为环1=0.0022；环2为-0.03348。第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

管段水力特性的线性化环能量方程组的线性化牛顿-拉夫森法哈代-克罗斯法哈代-克罗斯法的改进1.整个管网闭合差总和恒为零。2.平差过程是闭合差在管网中传递与相互抵消的过程。3.改进平差算法的措施（1）各环同时平差改为每次只平差一个环。（2）优先平差闭合差较大的一个或几个环。（3）改环平差为若干小环组成的大环平差；环组合的原则为各小环闭合差方向相同。第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

说明单定压节点（树状网、一个水源供水），可直接通过流量连续性方程组求解。针对多定压节点也能够列出流量连续性方程组，但很难直接求出定压节点流量（树状网）。单定压节点环状网，能够得到定压节点流量，但无法列出直接求解管段流量的连续性方程组。多定压节点环状网，既不能直接求出定压节点流量，也不能列出直接求解管段流量的连续性方程组。第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

问题：为何回路即环的能量为0，节点流量也应该为0？多定压节点管网提出虚环或虚节点的概念有何意义？解环方程和解节点方程的不同在何处？你认为解节点方程或解环方程有没有简便方法？在何条件下管段水力特性的线性化过程较符合实际，引起的误差较小？非线性方程组的解法对于方程组的解产生何影响？你能否想出较佳的此非线性方程组的解法？能够较快得出实际结果。第5章建筑内部的排水系统第5章给水管网水力分析5.2解环方程组水力分析方法

重点割集的概念在流量连续性方程简化时的应用环流量与环能量虚环解环方程与解节点方程的方法。管段水力特性的线性化方法。环能量方程组的线性化方法。从方程组到矩阵方程组的转化。牛顿-拉夫森法的计算过程与方法。掌握哈代-克罗斯法的计算过程与思路。了解哈代-克罗斯法与牛顿-拉夫森法的不同。第5章建筑内部的排水系统解节点方程是在假定水压的条件下，应用连续性方程以及流量和水头损失的关系，通过计算调整，求出每一节点的水压。节点的水压已知后，即可从任一管段两端节点的水压差得出该管段的水头损失，进一步从流量与水头损失之间的关系计算出管段流量。再使得管网满足流量连续性方程。手工计算一般进行环方程平差，机算一般采用解节点方程组的方法；节点方程组一般平差速度较快，较精确。第5章给水管网水力分析5.3解节点方程水力分析方法

第5章建筑内部的排水系统1.解节点方程的步骤应用节点之间的压差关系即水头关系确定各节点的初分配节点压力；根据各节点水头确定各管段所允许的水头损失；根据水头损失与流量关系确定各相应管段的管段流量；计算各节点是否满足流量连续性方程；满足流量连续性方程，说明各节点水头初分配合理；否则，改变节点水头，继续进行上述工作，直至各环满足流量连续性方程。第5章给水管网水力分析5.3解节点方程水力分析方法

第5章建筑内部的排水系统2.水力特性的线性化第5章给水管网水力分析5.3解节点方程水力分析方法

hq管段水力特性的线性化（平差环方程）qi(0)qi(0)+dqihi(0)hi(