(人教版)2024年中考数学：题型(3)规律探索题(有答案)

PAGE题型三规律探索题类型一数式规律针对演练1.(2024新疆)如图，下面每个图形中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为________．第1题图2.(2024绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫三角数，它有一定的规律．假设把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝________．3.(2024济宁)按一定规律排列的一列数：eq\f(1,2)，1，1，eq\x()，eq\f(9,11)，eq\f(11,13)，eq\f(13,17)，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．4.(2024郴州)观察以下等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想，32024的个位数字是________．5.(2024百色)观察以下各式的规律：(a－b)(a＋b)＝a2－b2；(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；…；可得到(a－b)(a2024＋a2024b＋…＋ab2024＋b2024)＝________．6.请观察以下等式的规律：eq\f(1,1×3)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3))，eq\f(1,3×5)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))，eq\f(1,5×7)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,5)－eq\f(1,7))，eq\f(1,7×9)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,7)－eq\f(1,9))，…，那么eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,99×101)＝________．7.(2024滨州)观察以下式子：1×3＋1＝22；7×9＋1＝82；25×27＋1＝262；79×81＋1＝802；…可猜想第2024个式子为______________．8.(2024黄石)观察以下等式：第1个等式：a1＝eq\f(1,1＋\r(2))＝eq\r(2)－1，第2个等式a2＝eq\f(1,\r(2)＋\r(3))＝eq\r(3)－eq\r(2)，第3个等式：a3＝eq\f(1,\r(3)＋2)＝2－eq\r(3)，第4个等式：a4＝eq\f(1,2＋\r(5))＝eq\r(5)－2，按上述规律，答复以下问题：(1)请写出第n个等式：an＝__________________；(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝__________．9.(2024省卷20，9分)如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．(1)表中第8行的最后一个数是________，它是自然数________的平方，第8行共有________个数；(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是________，最后一个数是________，第n行共有________个数；(3)求第n行各数之和．【答案】1．370【解析】观察可得，第n个图形的数字为：n2n－12n2n(2n－1)－n当2n＝20时，n＝10，∴x＝2n(2n－1)－n＝20×(20－1)－10＝370.2．160000【解析】由a1＋a2＝4＝22，a3＋a4＝6＋10＝16＝42，a5＋a6＝15＋21＝36＝62，…，依此类推可得an＋an＋1＝(n＋1)2，∴a399＋a400＝4002＝160000.3．1【解析】将原来的一列数变形为eq\f(1,2)，eq\f(3,3)，eq\f(5,5)，□，eq\f(9,11)，eq\f(11,13)，eq\f(13,17)，观察可以得出分子依次为从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填eq\f(7,7)，故答案为1.4．1【解析】从前几个3的幂来看，它的个位数依次是3，9，7，1，第5个数跟第一个数的个位数相同，于是3的整数次幂的个位数是每四个数一个循环，2024÷4＝504，于是32024的个位数与34的个位数相同，即为1.5．a2024－b2024【解析】由题可知，(a－b)(a＋b)＝a2－b2，(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，…，∴(a－b)(an＋an－1b＋an－2b2＋…＋a2bn－2＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1,∴当n＝2024时，(a－b)(a2024＋a2024b＋…＋ab2024＋b2024)＝a2024－b2024.6.eq\f(50,101)【解析】原式＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3))＋eq\f(1,2)(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋eq\f(1,2)(eq\f(1,5)－eq\f(1,7))＋…＋eq\f(1,2)(eq\f(1,99)－eq\f(1,101))＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,99)－eq\f(1,101))＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,101))＝eq\f(50,101).7．(32024－2)×32024＋1＝(32024－1)2【解析】第①个式子转化为：(31－2)×31＋1＝(31－1)2，第②个式子转化为：(32－2)×32＋1＝(32－1)2，第③个式子转化为：(33－2)×33＋1＝(33－1)2，第④个式子转化为：(34－2)×34＋1＝(34－1)2，…，由以上规律可得，第n个式子为：(3n－2)×3n＋1＝(3n－1)2，当n＝2024时，第2024个式子为：(32024－2)×32024＋1＝(32024－1)2.8．(1)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)；(2)eq\r(n＋1)－1【解析】(1)a1＝eq\f(1,1＋\r(2))＝eq\r(2)－1，a2＝eq\f(1,\r(2)＋\r(3))＝eq\r(3)－eq\r(2)，a3＝eq\f(1,\r(3)＋\r(4))＝eq\r(4)－eq\r(3)，…，an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)；(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝(eq\r(2)－1)＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(4)－eq\r(3))＋(eq\r(5)－eq\r(4))＋…＋(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＝eq\r(n＋1)－1.9．解：(1)64，8，15；【解法提示】仔细观察第一行最后一个数是1＝12，且共有1个数；第二行最后一个数是4＝22，且共有3个数，第三行最后一个数是9＝32，且共有5个数，以此类推，可知第n行最后一个数可以表示为n2，且共有(2n－1)个数，所以第8行最后一个数是82＝64，共有2×8－1＝15个数；(2)n2－2n＋2，n2，2n－1；【解法提示】由(1)中的分析得知第n行的第一个数是(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，最后一个数是n2，第n行共有(2n－1)个数；第n行各数之和为：eq\f(n2－2n＋2＋n2,2)×(2n－1)＝(n2－n＋1)(2n－1)．类型二图形规律针对演练图形累加规律探索1.(2024荆州)如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成以以下列图案．假设第n个图案中有2024个白色纸片，那么n的值为()第1题图A.671B.672C.673D.6742.以以下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，那么第⑦个图形中小圆圈的个数为()第2题图A.21B.24C.27D.303.(2024重庆B卷)观察以下一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是()第3题图A.43B.45C.51D.534.(2024曲靖)用火柴棒按如以下列图的方式摆大小不同的“H〞，依此规律，摆出第9个“H〞需用火柴棒________根．第4题图5.(2024深圳)观察以以下列图形，它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第五个图有________个太阳．第5题图6.(2024安顺)观察以下砌钢管的横截面图：第6题图那么第n个图的钢管数是__________(用含n的式子表示)．【答案】1．B【解析】对于每个图中的白色纸片的个数，依次是4，7＝4＋3，10＝4＋3×2，…，那么，第n个图中的白色纸片的个数为4＋3×(n－1)＝3n＋1，令3n＋1＝2024，解得n＝672.2．B【解析】第①个图形有6个小圆圈，第②个图形有6＋3＝9个小圆圈，第③个图形有6＋3×2＝12个小圆圈，…，按照这个规律，第个图形有6＋3(n－1)＝3n＋3个小圆圈，故第⑦个图形一共有3×7＋3＝24个小圆圈．3．C【解析】图形①中星星的颗数为：2＝1＋(2×1－1)，图形②中星星的颗数为：6＝(1＋2)＋(2×2－1)，图形③中星星的颗数为：11＝(1＋2＋3)＋(2×3－1)，图形④中星星的颗数为：17＝(1＋2＋3＋4)＋(2×4－1)，…，图形中星星的颗数为：(1＋2＋…＋n)＋(2n－1)＝eq\f(n〔n＋1〕,2)＋2n－1，所以图形⑧中星星的颗数为：eq\f(8×〔8＋1〕,2)＋2×8－1＝51.4．29【解析】图形序号火柴棒数量图形序号与火柴棒数量的关系15根3×1＋2＝528根3×2＋2＝8311根3×3＋2＝11………n(3n＋2)根3×n＋2＝3n＋2∴第9个“H〞所需的火柴棒的数量为3×9＋2＝29根．5．21【解析】∵所有图形中，第一行太阳的个数分别为1，2，3，4，…，n，∴第五个图形第一行太阳的个数为5，∵所有图形中，第二行太阳的个数分别为1，2，4，8，…，2n－1，∴第五个图形第二行太阳的个数为24＝16个太阳，∴第五个图形共有5＋16＝21个太阳．6.eq\f(3,2)n2＋eq\f(3,2)n【解析】n1234…n钢管数391830……规律eq\f(3×1×2,2)eq\f(3×2×3,2)eq\f(3×3×4,2)eq\f(3×4×5,2)…eq\f(3n〔n＋1〕,2)由表可知，第n个图的钢管数是eq\f(3n〔n＋1〕,2)＝eq\f(3,2)n2＋eq\f(3,2)n.图形成倍递变规律探索1.(2024六盘水)如图，AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4…，假设∠A＝70°，那么∠An的度数为()A.eq\f(70°,2n)B.eq\f(70°,2n＋1)C.eq\f(70°,2n－1)D.eq\f(70°,2n－2)第1题图第2题图2.(2024内江)一组正方形按如以下列图的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…那么正方形A2024B2024C2024D2024的边长是()A.(eq\f(1,2))2024B.(eq\f(1,2))2024C.(eq\f(\r(3),3))2024D.(eq\f(\r(3),3))20243.(2024南平)如图，直线l：y＝2x，分别过x轴上的点A1(1，0)、A2(2，0)、…、An(n，0)，作垂直于x轴的直线交l于点B1、B2、…、Bn，将△OA1B1、四边形A1A2B2B1、…、四边形An－1AnBnBn－1的面积依次记为S1、S2、…、Sn，那么Sn＝()A.n2B.2n＋1C.2nD.2n－1第3题图第4题图4.(2024威海)如图，点A1的坐标为(1，0)，A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，那么点A2024的纵坐标为________．5.(2024钦州)如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3，F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是________．第5题图【答案】1．C【解析】在∵△ABA1中，AB＝A1B，∴∠A＝∠BA1A，∵A1A2＝A1B1，∴∠B1A2A1＝eq\f(1,2)∠BA1A，同理，∠B2A3A2＝eq\f(1,2)∠B1A2A1＝eq\f(1,4)∠BA1A，∴∠An＝eq\f(1,2n－1)∠BA1A＝eq\f(70°,2n－1).2．D【解析】易得△B2C2E2∽△C1D1E1，∴eq\f(B2C2,C1D1)＝eq\f(B2E2,C1E1)＝eq\f(C2E2,D1E1)＝eq\f(C2E2,B2E2)＝tan30°，∴B2C2＝C1D1·tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴C2D2＝eq\f(\r(3),3)，同理，B3C3＝C2D2·tan30°＝(eq\f(\r(3),3))2，由此猜想BnCn＝(eq\f(\r(3),3))n－1，∴当n＝2024时，B2024C2024＝(eq\f(\r(3),3))2024，应选D.3．D【解析】由题意可知，△OA1B1∽△OA2B2∽△OA3B3∽…∽△OAnBn且相似比为1∶2∶3∶…∶n，∴其面积比为1∶4∶9∶…∶n2，∴S1∶S2∶S3∶…∶Sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，∵A1(1，0)，过点A1作垂直于x轴的直线交l：y＝2x于点B1，∴OA1＝1，A1B1＝2，∴S△OA1B1＝1，∴Sn＝2n－1.4．－31007eq\r(3)【解析】∵A1(1，0)，∠A1A2O＝30°，∴A2(0，eq\r(3))，∵A2A3⊥A1A2，∴∠A3A2O＝60°，∴∠A2A3O＝30°，∴A3(－3，0)，同理，A4(0，－3eq\r(3))，A5(9，0)，A6(0，9eq\r(3))，A7(－27，0)，A8(0，－27eq\r(3))，…，即，A2(0，eq\r(3))，A4(0，－3eq\r(3))，A6(0，9eq\r(3))，A8(0，－27eq\r(3))，列表如下：A2eq\r(3)×(－3)0…(2－2)÷2＝0A4eq\r(3)×(－3)1…(4－2)÷2＝1A6eq\r(3)×(－3)2…(6－2)÷2＝2A8eq\r(3)×(－3)3…(8－2)÷2＝3…………Aneq\r(3)×(－3)(eq\f(n,2)－1)…(n－2)÷2＝eq\f(n,2)－1∴An＝eq\r(3)×，∵2024÷2－1＝1007，∴A2024的纵坐标是-31007eq\r(3).5．3n－1eq\r(3)【解析】由题意可知，∠MON＝60°，设点Bn到ON的距离为hn，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，那么h1＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又∵OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，那么h2＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，同理可求，OB3＝18，那么h3＝18×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3)，…，依此可得，OBn＝2×3n－1，那么hn＝2×3n－1×eq\f(\r(3),2)＝3n－1eq\r(3)，∴点Bn到ON的距离为3n－1eq\r(3).图形循环规律探索1.(2024河南)如图，菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，假设菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，那么第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A.(1，－1)B.(－1，－1)C.(eq\r(2)，0)D.(0，－eq\r(2))第1题图第2题图2.以下一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2024个梅花图案中，共有________个“〞图案．3.如图，正五边形五个顶点标有数字1、2、3、4、5，一只青蛙在五个顶点上跳，假设它停在奇数点上，那么下一次沿顺时针方向跳两个点；假设它停在偶数点上，那么下一次沿逆时针方向跳一个点；假设青蛙从标有数字5的顶点开始跳，第一次跳后落在标有数字2的顶点上，第二次跳后落在标有数字1的顶点上，…，那么第2024次跳后所停的顶点对应的数字为__________．第3题图4.(2024三明)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，那么点P60的坐标是________．第4题图第5题图5.(2024聊城)如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，那么正方形OB2024B2024C2024的顶点B2024的坐标是________．【答案】1．B【解析】∵菱形OABC的顶点坐标为O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点