第1章-信号与系统概述

11三月2024第1章信号与系统概述课程位置2先修课后续课程《高等数学》《通信原理》《线性代数》《数字信号处理》《复变函数》……《电路分析基础》

《信号与系统》课程是各高等院校电子信息工程及通信工程等专业的一门重要的基础课程和主干课程。该课程也是通信与信息系统以及信号与信息处理等专业研究生入学考试的必考课程。

2教学内容教学内容可以简单概括为：两种系统，两类方法，三大变换两种系统：本门课程研究的系统按照其处理的对象而言可以分为连续时间系统和离散时间系统两类方法：课程使用的分析方法可以分为时域分析法和变换域分析方法三大变换：其中变换域分析方法使用的三种变换，即傅里叶变换，拉普拉斯变换和Z变换在我们选用的教材中采用先连续后离散，先时域后变换域的结构展开教学3课程特点应用数学知识较多，用数学工具分析物理概念，常用数学工具：微分、积分（定积分、无穷积分、变上限积分）线性代数微分方程傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏变换4学习方法5注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目计算；注意分析结果的物理解释，各种参量变动时的物理意义及其产生的后果；同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理的解法，比较各方法之优劣；在学完本课程相当长的时间内仍需要反复学习本课程的基本概念。5基本分析方法贯穿全书的基本分析方法把输入信号进行分解，分解成众多的基本信号之和或积分，然后求出基本信号作用于线性时不变系统的响应，再利用系统的线性和时不变性，求出该输入信号作用于系统的响应选取不同的基本信号，得到系统的不同分析方法，即时域和变换域分析法6信号与系统理论的产生及应用本课程理论的产生根源伴随通信工程实践的产生而产生的,发展过程如下原始手段进行的信息交换例如:在原始社会,人类生活在原始森林里,用”绳结”传递信息;古代利用烽火传递边疆警报;鸣金击鼓收兵;信鸽传书;现代交通中的旗语指挥交通;驿站等等近代信息交换手段1837年莫尔斯(F.B.Morse)发明了电报;1876年贝尔(A.G.Bell)发明了模拟电话;1901年马可尼等等在大西洋两岸实现了无线电通信现代通信计算机网络通信数字电视,程控数字电话,全球卫星定位GPS等等7通信系统（电或光通信系统）模型信源:也称发信者,是携带信息,发送消息的一方;消息的表现形式可以是各种符号,例如:声音\文字\图象\多媒体数据\数字等等.发信设备:将发信者需要发送的消息转换成信道可以传输的信号形式再转发出去.例如:调制解调器\光电转换模块\编码解码器\加密解密设备\滤波器等等.信道:信号(信息)传输的通道.其中信号主要包括电信号或者光信号.信道分为广义信道和狭义信道(例如电缆\光缆\大气\网络等等).发信设备:将信道传输过来的信号转换成接收者可以识别的消息形式,可以看做是发信设备的逆过程.信宿:也称为收信者信源(发信者)发信设备信道收信设备信宿(收信者)噪声消息电/光信号电/光信号消息8本课程基本理论的应用基本应用通信领域当中,主要研究的两大主体是通信系统与信号.信号：通信系统需要传输的有用信号和随机噪声干扰信号,需要对它们进行收集,处理,传输,接收以及再处理等工作.通信系统主要是指信号发送设备,处理设备,传输设备,接受设备等等构成的有机整体,研究它主要是找到更高效可靠的传递信号的系统.信号与系统之间的关系:不是所有的信号都可以在同一个系统里传输,也不是随便一个系统都可以传递任意信号9在检测、自动控制领域里面的应用检测:通过各种传感器将非电的物理信号转换成电信号并提取出来的一种技术,可以简单说成是信号的获取过程.温度测量,汽车车速测量,轮机转速测量,心电图测量,电动机油压测量,环境噪声分贝测量,汽车自动报警,银行门自动开关等等.自动控制:既有检测又有信号的分析处理过程，还包括自动控制过程。冰箱的节能控制系统,空调的自动开关系统,汽车自动报警系统,热得快的自动断电控制,电磁炉的自动报警断电控制,电饭煲的自动断电保温控制等等10现代新技术领域应用举例医疗领域:各种自动检测仪器,自动诊断医疗设备等;指纹识别技术:例如,公安系统利用指纹识别技术侦破案件;很多公司不再使用上班刷卡制度而代之以按指纹代替刷卡等;图象识别技术:例如,超市收银扫描条码的的扫描设备;医疗当中可以通过拍片判断病状等等;模式识别技术;工业控制;化工过程控制;资源遥测遥感;地震预报;生命迹象探测;测控导航与制导;人工智能;各种故障检测诊断技术;高效农业;交通控制,遥测遥控技术等等.11课程主要内容第1章信号与系统概述第2章连续时间信号与系统的时域分析第3章连续时间信号与系统的频域分析第4章连续时间信号与系统的复频域分析第5章离散时间信号与系统的时域分析第6章离散时间信号与系统的z域分析重点讲解前4章的内容。考试成绩是平时成绩（作业和考勤）30％＋期末考试70％1212本章教学基本要求掌握信号的基本描述方法、分类及其基本运算掌握系统的基本概念和描述方法，掌握线性时不变系统的概念掌握冲激函数和阶跃函数的物理意义及性质13

什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？一、信号的概念1.消息(message):人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。消息反映知识状态的改变2.信息(information):通常把消息中有意义的内容称为信息。本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分它是信息论中的一个术语。第1章信号与系统概述14143.信号(signal):信号是信息的载体。通过信号传递信息。

信号我们并不陌生，如刚才铃声—声信号，表示该上课了；十字路口的红绿灯—光信号，指挥交通；电视机天线接受的电视信息—电信号；广告牌上的文字、图象信号等等。为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号。1515二、系统的概念一般而言，系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。系统输入信号激励输出信号响应1616信号、电路（网络）与系统的关系离开了信号，电路与系统将失去意义信号作为待传输消息的表现形式，可以看作运载消息的工具电路或系统则是为传送信号或对信号进行加工处理而构成的某种组合研究电路问题着眼在于：为实现系统功能与特性应具有怎样的结构和参数有时认为系统是比电路更复杂、规模更大的组合体确切地说：系统与电路二词的主要差异在于：观察事物的着眼点或处理问题的角度方面。系统问题注意全局，而电路问题则关心局部17在电路分析中，注意研究其各支路、回路的电流或电压；而从系统的观点来看，可以研究它如何构成具有微分或积分功能的运算器由于大规模集成化技术的发展，系统、网络、电路及器件这些名词划分发生了困难，它们互相渗透，需要统一分析、研究和处理。在本书中三个名词通用18系统的研究问题方法在系统或网络理论研究中，进行系统分析与系统综合（网络分析与网络综合）两方面系统分析：研究在给定系统的条件下，系统对于输入激励信号所产生的输出响应系统综合：按某种需要先提出对于给定激励的响应，而后根据此要求设计（综合）系统分析与综合二者关系密切，但又有各自的体系和研究方法，一般讲，学习分析是学习综合的基础本书讨论范围：着重系统分析，以通信系统和控制系统的基本问题为主要背景，研究信号经系统传输或处理的一般规律；着重基本概念和基本分析方法191.1信号1.1.1信号的描述1.1.2信号的分类1.1.3信号的运算1.1.4常用的连续时间信号2020一、信号的描述信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号---简称“信号”。电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数（2）信号的图形表示--波形“信号”与“函数”两词常相互通用。1.1.1信号的描述212122信号的特性信号的时间特性：任何信号都可以表示为随时间变化的函数。信号的频率特性：任何信号都可以分解为许多不同频率的分量之和。信号的能量（或功率）特性:任何信号都具有能量（或功率）221.1.2信号的分类1．确定性信号和随机信号确定性信号：可以写出确定的函数表达式。随机信号：无法写出确定的函数表达式，在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一数值的概率，电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种典型的随机信号。

研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确定信号。本课程只讲确定性信号，所以将函数与信号通用。2323（d）

（e）

图1-2随机信号

24图1-1确定性信号242.连续信号和离散信号根据信号定义域的特点可分为连续时间信号和离散时间信号。在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。实际中也常称为模拟信号。这里的“连续”指函数的定义域—时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。值域连续值域不连续（1）连续时间信号：2525仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。实际中也常称为数字信号。这里的“离散”指信号的定义域—时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。如右图的f(t)仅在一些离散时刻tk(k=0,±1,±2,…)才有定义，其余时间无定义。相邻离散点的间隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等间隔T，离散信号可表示为f(kT)，简写为f(k)，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k称为序号。离散时间信号：2626上述离散信号可简画为用表达式可写为或写为f(k)={…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}↑k=0通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”27273.周期信号和非周期信号

周期信号(periodsignal)是定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。连续周期信号f(t)满足

f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…离散周期信号f(k)满足

f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。2828角频率（弧度/秒）或（rad/s），频率（赫兹）或（Hz）。

图1-5连续周期信号

=2πTω=2πTf29f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…29k][kf012345671-31-121121......21-28-4

图1-6

离散周期信号离散的周期信号f[k]=f[k+N]，N为周期。3030例1判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信号，其角频率和周期分别为ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2π。（2）cos2t和sinπt的周期分别为T1=πs，T2=2s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。3131例2判断正弦序列f(k)=sin(βk)是否为周期信号，若是，确定其周期。解

f

(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…式中β称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。由上式可见：仅当2π/β为整数时，正弦序列才具有周期N=2π/β当2π/β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N=M(2π/β)，M取使N为整数的最小整数当2π/β为无理数时，正弦序列为非周期序列32f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…32例3判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)（2）f2(k)=sin(2k)解（1）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的数字角频率分别为β1=3π/4rad，β2=0.5πrad由于2π/β1=8/3，2π/β2=4为有理数，故它们的周期分别为N1=8，N1=4，故f1(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。（2）sin(2k)的数字角频率为β1=2rad；由于2π/β1=π为无理数，故f2(k)=sin(2k)为非周期序列。由上面几例可看出：①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。33334．能量信号与功率信号将信号f(t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为|f(t)|2，在区间(–∞,∞)的能量和平均功率定义为（1）信号的能量E（2）信号的功率P若信号f(t)的能量有界，即E<∞,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时P=0若信号f(t)的功率有界，即P<∞,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时E=∞3434

相应地，对于离散信号，也有能量信号、功率信号之分。若满足的离散信号，称为能量信号。若满足的离散信号，称为功率信号。时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)为能量信号;周期信号属于功率信号，而非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号。有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如f(t)=et。3535离散信号的能量定义为：

离散信号的平均功率定义为：36365.对称信号与非对称信号对称信号又分为：

奇信号：f(t)=-f(-t)波形对称于原点；偶信号：f(t)=f(-t)波形对称于纵轴；37376.信号按所占时间范围分类有始信号f(t)≡0t<t1其中：因果信号f(t)≡0t<0有终信号f(t)≡0t>t2其中：反因果信号f(t)≡0t>0时限信号f(t)≡0t<t1和t>t2（t2>t1）无时限信号3838

（a）有始信号

（b）因果信号

（c）有终信号01t)(1tf0t21t)(3tft101t)(2tf3939t01t)(6tf0t2t1t)(5tf01)(4tf

（d）反因果信号

（e）时限信号

（f）无时限信号图1-7

信号按所占时间范围分类40401.1.3信号的运算1信号的加减乘运算2信号的反褶3信号的时移4信号的尺度变换5信号的微分与积分6信号的分解41411.加乘运算同一瞬间两信号对应值相加（相乘）相加运算相减运算0t（t）tfsgn)(+12t2t-20t(t)tfsgn)(-12t2t-211-10t)(tf12t2t-10t(t)sgn11-1-图1-8信号的加减运算42421-0t)(tf12t2t-10ttsgn1相乘运算0tttfsgn)(12t2t-11-图1-9相乘运算43432.信号的反褶用（-t）代替f(t)中的独立变量t，得f(t)的反褶信号f(-t)。f(-t)与f(t)波形对称于纵轴。-0t)(tf210t)(tf-21图1-10反褶信号44443.信号的时移用(t-t0)代替f(t)中的独立变量t，得f(t)的时移信号f(t-t0)。当t0>0时，f(t-t0)是f(t)波形右移t0的结果，当t0<

0时，f(t-t0)是f(t)波形左移∣t0∣的结果。图1-11信号的时移4545平移与反转相结合法一：①先平移f

(t)→f

(t+2)②再反转f

(t+2)→f

(–t+2)法二：①先反转f

(t)→f

(–t)画出f

(2–t)。②再平移f

(–t)→f

(–t+2)左移右移=f

[–(t–2)]注意：是对t的变换！46464.信号的尺度变换用at(a为常数)代替f(t)中的独立变量t，得尺度变换信号f(at)。当0<a<1时，f(at)波形是f(t)波形沿t轴扩大1/a的结果；当a>1时，f(at)波形是f(t)波形沿t轴压缩到1/a的结果，纵坐标不变。0t)(tf-21420t)2(tf-112221压缩0t)2(tf-41824扩展图1-12信号的尺度变换4747平移、反转、尺度变换相结合已知f

(t)，画出f

(–4–2t)。三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间t进行。压缩，得f

(2t–4)反转，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)4848压缩，得f

(2t)右移2，得f

(2t–4)反转，得f

(–2t–4)也可以先压缩、再平移、最后反转。4949若已知f

(–4–2t)，画出f

(t)。反转，得f

(2t–4)展开，得f

(t–4)左移4，得f

(t)50505.信号的微分与积分同高等数学，且定义51516.信号的分解为了更好地分析信号的特性，可以将复杂信号分解为多个简单信号（基本信号）分量之和。图1-13（a）未分解周期信号5252图1-13周期信号分解为直流分量与交流分量（b）直流分量（c）交流分量5353任意信号f(t)可以分解为偶分量fe(t)与奇分量fo(t)之和，即：f(t)=fe(t)+fo(t)其中的偶分量fe(t)=奇分量fo(t)=5454将信号f(t)分解成偶分量fe(t)，奇分量f0(t)之和。图1-14信号分解为偶分量、奇分量之和55551.1.4常用连续时间信号1.单位阶跃信号定义ε01t)(tε图1-15单位阶跃信号5656有始阶跃有终阶跃εε(t-t1)t1t1εε(t2-t)t2t2105757性质：（1）（2）具有截断性：58582.斜升信号定义斜升信号：f(t)=kt(k为常数)图1-16斜升信号t01kt(k>0)t01kt(k<0)kk5959第2章连续时间系统的时域分析60下列各表达式中错误的是______。C60第2章连续时间系统的时域分析61绘出下列各时间函数的波形，注意它们的区别：61第2章连续时间系统的时域分析62绘出下列各时间函数的波形，注意它们的区别：62第2章连续时间系统的时域分析63画出下列信号的波形。(1)(2)633.门信号Apτ(t-t0)，门高A,门宽τ，门的中心位置t。22图1-17门信号pτ(t)10ττt64644.符号函数0t(t)sgn11-图1-18符号函数65655.抽（取）样信号Sa(0)=1Sa(t)=0t=±nπ,n=1,2,3…

6666图1-19抽样信号67676.无时限指数信号estt:(-∞,∞)其中：复频率s=σ+jω

衰减因子σ，角频率ω

6868当ω=0时，est=eσt为实信号0t0t110t1eσt

（a）增长指数信号

（b）直流信号

（c）衰减指数信号图1-20eσt指数信号eσteσtσ>0σ=0σ<06969当σ=0时，est=ejωt=cosωt+jsinωt为虚指数信号。7070当σ≠0时，ω

≠0时，est=e（σ+jω）t=eσtcosωt+jeσtsinωt。Re(est)=eσtcosωtIm(est)=eσtsinωt7171

（a）增幅正弦振荡信号σ>0

（b）衰减正弦振荡信号σ<0图1-22复指数信号实部、虚部波形图0t10t1-11-Re(est)Re(est)7272正弦信号正弦信号和余弦信号统称为正弦信号，一般表示为：其中：K为振幅，ωt+θ为相角，θ为初相K7373

（a）

（b）图1-23正弦信号74747.单位冲激信号单位冲激信号是一个面积为1，高度无穷，宽度为零，发生在t=0时刻的窄脉冲。即7575（1）的抽样特性冲激函数的性质76760t)(td(1)0)(tft0t)()0(tfd(f(0))0t)(0tt-d(1)0)(tft0t)()(00tttf-d(f(t0))0t0t图1-24的抽样特性777778ε(t)78（2）是偶函数证明：考虑积分做变量置换，将－t换为t，则7979与下面的积分比较

得到8080（3）的尺度变换特性推论8181（4）与的关系8282（5）冲激的导数的性质单位冲激信号的一阶导数称为单位冲激偶信号，，推论：8383例1计算错误计算：8484实际上8585例2由于在时上述积分结果说明满足狄拉克定义式说明狄拉克定义式在数学上是不够严密的。86861.2系统1.2系统1.2.1系统的初始状态1.2.2几个概念1.2.3系统的分类1.2.4线性时不变系统（LTI）的数学模型返回首页87871.2系统系统是一个由若干相互关联的一类事物组成的具有某种特定功能的有机整体。

本教材称产生、传输、加工处理和储存信号的电路（网络）或设备（包括软硬件设备），为系统。系统可用一方框图描述。如图1-26

8888)(tf系统)(ty图1-26

系统的框图激励响应8989系统在初始时刻(t0)的状态，记录了系统在初始时刻以前（t<t0）输入作用于系统的总结果，又与初始时刻以后的输出f(t)，(t>t0)一起确定系统在初始时刻以后(t>t0)的输出。记为：中数的个数是唯一的，等于系统中独立储能元件的个数。初始时刻t0的选取是任意的，通常t0=0-。1.2.1系统的初始状态90901.2.2几个概念1、线性特性包含两方面：比例性和叠加性。系统的激励f(·)所引起的响应y(·)可简记为y(·)=T[f(·)]若系统的激励f(·)增大a倍时，其响应y(·)也增大a倍，即T[af(·)]=aT[f(·)]则称该系统满足比例性若系统对于激励f1(·)与f2(·)之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即T[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]则称该系统是可叠加的。91911.2.2几个概念若：则：92922、时不变性：)(tf)(ty时不变系统0t0t)(t0

-ty0t)(t0

-tf0tt0

t0图1-27时不变系统示意图93933、零输入响应yx(t)系统在初始状态单独作用下（输入为零）产生的响应分量，称为系统的零输入响应分量，记为：yx(t)94944、零状态响应yf(t)系统在输入信号的单独作用下（初始状态为零）产生的响应分量，称为系统的零状态响应分量，记为：yf(t)95955、分解性：若系统响应可以表示为：y(t)=yx(t)+yf(t)，称系统具分解性。96966、因果性：97971.2.3系统的分类1．连续时间系统与离散时间系统输入、输出都是连续时间信号的系统称为连续时间系统系统f(t)y(t)(a)连续时间系统9898输入、输出都是离散时间信号的系统称为离散时间系统。系统f[k]y[k](b)离散时间系统图1-28连续与离散系统99992、动态系统与非动态系统1001001011013、线性系统与非线性系统同时具有三性：分解性、零输入响应yx(t)线性性、零状态响应yf(t)线性性同时满足三性的系统，称为线性系统。102102103103例：判断下列系统是否为线性系统？（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|（3）y

(t)=x2(0)+2f

(t)解：（1）

yf(t)=2f

(t)+1，yx(t)=3x(0)+1显然，y

(t)≠yf(t)＋yx(t)不满足可分解性，故为非线性（2）

yf(t)=|f

(t)|，yx(t)=2x(0)

y

(t)=yf(t)+yx(t)满足可分解性；由于T[{af

(t)},{0}]=|af

(t)|≠ayf(t)不满足零状态线性。故为非线性系统。（3）

yf(t)=2f

(t),yx(t)=x2(0)，显然满足可分解性；由于T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2≠ayx(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。104104例：判断下列系统是否为线性系统？解：y

(t)=yf(t)+yx(t)，满足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，满足零状态线性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。1051054、时不变系统与时变系统106106例：判断下列系统是否为时不变系统？（1）yf(k)=f

(k)f

(k–1)（2）yf(t)=tf

(t)（3）yf(t)=f

(–t)解(1)令g

(k)=f(k–kd)T[{0}，g

(k)]=g(k)g

(k–1)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)而yf(k–kd)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)显然T[{0}，f(k–kd)]=yf(k–kd)故该系统是时不变的。(2)令g

(t)=f(t–td)T[{0}，g

(t)]=tg

(t)=tf

(t–td)而yf(t–td)=(t–td)f

(t–td)显然T[{0}，f(t–td)]≠yf(t–td)故该系统为时变系统。107107(3)令g

(t)=f(t–td),T[{0}，g

(t)]=g

(–t)=f(–t–td)而yf(t–td)=f

[–(t–td)]，显然T[{0}，f(t–td)]≠yf(t–td)故该系统为时变系统。直观判断方法：

若f

(·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。

108108（2）LTI连续系统的微分特性和积分特性本课程重点讨论线性时不变系统(LinearTime-Invariant)，简称LTI系统。①微分特性：若f(t)→yf(t)，则f’(t)→y’f(t)②积分特性：若f(t)→yf(t)，则1091096.因果系统与非因果系统零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统。即对因果系统，当t<t0，f(t)=0时，有t<t0，yf(t)=0。如下列系统均为因果系统：yf(t)=3f(t–1)而下列系统为非因果系统：(1)yf(t)=2f(t+1)(2)yf(t)=f(2t)因为，令t=1时，有yf(1)=2f(2)因为，若f(t)=0，t<t0，有yf(t)=f(2t)=0,t<0.5t0。110110例某LTI因果连续系统，起始状态为x(0–)。已知，当x(0–)=1，输入因果信号f1(t)时，全响应y1(t)=e–t+cos(πt)，t>0；当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0；求输入f3(t)=+2f1(t-1)时，系统的零状态响应y3f(t)。解设当x(0–)=1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1x(t)、y1f(t)。当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2x(t)、y2f(t)。

111111由题中条件，有y1(t)=y1x(t)+y1f(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2x(t)+y2f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根据线性系统的齐次性，y2x(t)=2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，代入式（2）得y2(t)=2y1x(t)+3y1f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得y1f(t)=–4e-t+cos(πt)，t>0由于y1f(t)是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t<0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改写成y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)(4)112112f1(t)→y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)根据LTI系统的微分特性=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)根据LTI系统的时不变特性f1(t–1)→y1f(t–1)={–4e-t+