2022年吉林省长春市市第八中学高二数学理摸底试卷含解析

2022年吉林省长春市市第八中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列的公比是2，且前四项和为1，那么前八项之和为（

）A．15

B．17

C．19

D．21参考答案：B2.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是()

A．3

B．11C．38

D．123参考答案：B3.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C4.已知，则的最小值为 （

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】四种命题的真假关系．【分析】直接判断原命题真假，写出原命题的逆命题，判断其真假，然后结合原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，再根据互为逆否命题的两个命题共真假加以判断．【解答】解：命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”是真命题，∴其逆否命题也为真命题．原命题的逆命题为：“若△ABC是直角三角形，则∠C=90°”是假命题（△ABC是直角三角形不一定角C为直角），∴原命题的否命题也是假命题．∴真命题的个数是2．故选：C．6.已知的 （

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B7.定义运算：，例如，则的最大值为A.4

B.3

C.2

D.1参考答案：D略8.已知椭圆的两个焦点为，，是此椭圆上的一点，且，，则该椭圆的方程是(

)

B．

C．

D．参考答案：A9.若复数为纯虚数，则实数的值为（

）

A．-1

B．0

C．1

D．-1或1参考答案：A略10.已知，且∥，则等于A．3

B．

C．

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则=_______

.参考答案：12.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为

。参考答案：13.甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室只有一部电话机，给该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是，在一段时间内该电话机共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是

(用分数作答)参考答案：14.若对任意的都成立，则的最小值为

．参考答案：略15.如图所示，在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为

参考答案：16.若直线与直线垂直，则实数的取值为

参考答案：3略17.某地的汽车牌照全都是由七位数字所组成，每面车牌的最左边的数字不可以是0，且任两面车牌上的数都不相同。现只能用0、1、2、3、5、7、9等七个不同的钢模来轧制车牌，制造一个车牌时同一个钢模只能使用一次，可以把数字9的钢模旋转后当成数字6来用，但6和9不能同时出现。现将符合上述要求的全部车牌依照其数值由小至大排序，因此他们依序是：1023567、1023576、1023579、…、9753210。那么第7000面车牌的号码是________。参考答案：7206351三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18..已知函数.（1）求f(x)的单调区间；（2）证明：当时，方程在区间(1,+∞)上只有一个解；（3）设，其中.若恒成立，求a的取值范围.参考答案：（1）由已知.所以，在区间上，函数在上单调递减，在区间上，函数在区间上单调递增.（2）设，.，由（1）知，函数在区间上单调递增.且，.所以，在区间上只有一个零点，方程在区间上只有一个解.（3）设，，定义域为，，令，则，由（2）知，在区间上只有一个零点，是增函数，不妨设的零点为，则，所以，与在区间上的情况如下：-0+所以，函数的最小值为，，由，得，所以.依题意，即，解得，所以，的取值范围为.19.已知是递增的等差数列，是方程的根。（I）求的通项公式；

（II）求数列的前项和.参考答案：（I）方程的两根为2,3,由题意得，，设数列的公差为d,，则，故d=，从而，所以的通项公式为：

(Ⅱ)设求数列的前项和为Sn,由(Ⅰ)知，则：

两式相减得所以

略20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（1，），F1，F2是椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆上运动，求|PF1|?|PF2|的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）由题意定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4，再由基本不等式求得|PF1|?|PF2|的最大值．【解答】解：（1）由题意，得，解得．∴椭圆C的方程是；（2）∵P在椭圆上运动，∴|PF1|+|PF2|=2a=4，∴|PF1|?|PF2|≤，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，∴|PF1|?|PF2|的最大值为4．21.（本题10分，（1）问,3分，（2）问3分，（3）问4分）已知以点C(，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△AOB的面积为定值；(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．参考答案：(1)证明由题设知，圆C的方程为(2)解∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率∴t＝2或t＝－2.………5∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，圆心到直线2x＋y－4＝0的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.………6(3)解点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为，………………7则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，………822.在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（Ⅱ）判断性别与休闲方式是否有关系？P（k2＞k）0.050.0250.0100.005

k3.845.0246.6357.879本题参考：．参考答案：【考点】独立性检验的应用．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．得到列联表．（2）先假设休闲方式与性别无关，根据观测值的计算公式代入数据做出观测值，把所得的观测值同临界值进行比较，得到在犯错误的概率不超过0.025的前提下认