2022-2023学年湖南省益阳市小北洲中学高二数学理联考试卷含解析

2022-2023学年湖南省益阳市小北洲中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（

）A、平面ABC⊥平面ADC

B、平面ADC⊥平面BCDC、平面ABC⊥平面BDC

D、平面ABC⊥平面ADB参考答案：B2.若对于任意的实数，有，则的值为Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.参考答案：B3.，表示空间不重合两直线，，表示空间不重合两平面，则下列命题中正确的是

（

）

A.若，，且，则B.若，，则C.若，，则

D.若，，，则参考答案：C略4.设i为虚数单位，则复数（

）A．i

B．－i

C．2+i

D．2－i

参考答案：B由题意，复数满足，故选B．

5.一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为()A．8

B．7

C．6 D．5参考答案：D6.（普）设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于（

）A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：A7.设α∈（0，），β∈[0，]，那么2α﹣的取值范围是（）A．（0，） B．（﹣，） C．（0，π） D．（﹣，π）参考答案：D【考点】不等关系与不等式；角的变换、收缩变换．【分析】从不等式的性质出发，注意不等号的方向．【解答】解：由题设得0＜2α＜π，0≤≤，∴﹣≤﹣≤0，∴﹣＜2α﹣＜π．故选D．8.在正方体ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC的中点，则直线OM(

)A是AC和MN的公垂线

B

垂直于AC但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于AC

D

与AC、MN都不垂直参考答案：A9.若函数，则是（）A．仅有最小值的奇函数

B．仅有最大值的偶函数C．既有最大值又有最小值的偶函数

D．非奇非偶函数参考答案：C10.点是曲线，（为参数）上的任意一点，则的最大值为（

）A. B. C.3 D.参考答案：D【分析】利用曲线的参数方程得化简求解即可详解】由题故当时，的最大值为故选：D【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线的斜率是

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．参考答案：12.已知偶函数的图像关于直线x=1对称，且则时，函数的解析式为

参考答案：略13.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，,则__________.参考答案：12【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.14.定义在R上的函数满足：，且对于任意的,都有，则不等式的解集为__________________参考答案：略15.若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则的最小值为

．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【专题】计算题．【分析】由题意可知圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的圆心（2，1）在直线ax+2by﹣2=0上，可得a+b=1，而=（）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值【解答】解：由圆的性质可知，直线ax+2by﹣2=0即是圆的直径所在的直线方程∵圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=13，∴圆心（2，1）在直线ax+2by﹣2=0上∴2a+2b﹣2=0即a+b=1∵=（）（a+b）==3+2∴的最小值故答案为：【点评】本题主要考查了圆的性质的应用，利用基本不等式求解最值的问题，解题的关键技巧在于“1”的基本代换16.若x，y＞0，且，则x+3y的最小值为

．参考答案：16【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质和“乘1法”即可得出．【解答】解：∵x，y＞0，且，∴x+3y==10+≥10+6=16，当且仅当x+3y=1，即=y取等号．因此x+3y的最小值为16．故答案为16．17.若函数f（x）=2x﹣5，且f（m）=3，则m=．参考答案：3【考点】有理数指数幂的化简求值；函数的值．【分析】由题意化为方程f（m）=2m﹣5=3，从而解得．【解答】解：由题意知，f（m）=2m﹣5=3，解得，m=3；故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l1：x﹣y﹣2=0相切（Ⅰ）求直线l2：4x﹣3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长．（Ⅱ）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程（Ⅲ）若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，若∠POQ为钝角，求直线l纵截距的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由直线与圆相交的性质可知，（）2=r2﹣d2，要求AB，只要求解圆心到直线4x﹣3y+5=0的距离．即可求直线l2：4x﹣3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长．（Ⅱ）求出圆C的方程以及以G（1，3）为圆心，QM为半径的圆，利用圆系方程求直线MN的方程．（Ⅲ）设直线l的方程为：y=﹣x+b联立x2+y2=4，设直线l与圆的交点P（x1，y1），Q（x2，y2），利用△＞0，以及韦达定理，通过∠POQ为钝角，求出﹣2＜b＜2，当与反向共线时，直线y=﹣x+b过原点，此时b=0，不满足题意，即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：圆心（0，0）到直线l1：x﹣y﹣2的距离为圆的半径，r==2，所以圆C的标准方程为：x2+y2=4，…所以圆心到直线l2的距离d=

…∴…（Ⅱ）因为点G（1，3），所以，所以以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G方程：（x﹣1）2+（y﹣3）2=6（1）又圆C方程为：x2+y2=4（2），由（1）﹣（2）得直线MN方程：x+3y﹣4=0…（Ⅲ）设直线l的方程为：y=﹣x+b联立x2+y2=4得：2x2﹣2bx+b2﹣4=0，设直线l与圆的交点P（x1，y1），Q（x2，y2），由△=（﹣2b）2﹣8（b2﹣4）＞0，得b2＜8，x1+x2=b，（3）…因为∠POQ为钝角，所以，即满足x1x2+y1y2＜0，且与不是反向共线，又y1=﹣x1+b，y2=﹣x2+b所以（4）由（3）（4）得b2＜4，满足△＞0，即﹣2＜b＜2，…当与反向共线时，直线y=﹣x+b过原点，此时b=0，不满足题意，故直线l纵截距的取值范围是﹣2＜b＜2，且b≠0

…19.甲、乙二名射击运动员参加2011年广州举行亚运会的预选赛，他们分别射击了4次，成绩如下表（单位：环）甲56910乙6789（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（2）现要从中选派一人参加决赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适？请说明理由．参考答案：【考点】等可能事件的概率；众数、中位数、平均数．【专题】计算题．【分析】（1）根据题意，分别记甲、乙被抽到的成绩为x、y，用（x，y）表示从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件，记甲的成绩比乙高为事件A，用列举法可得从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个和事件A的基本事件的数目，由的等可能事件的概率公式计算可得答案；（2）根据题意，分别求出甲乙两人成绩的平均数与方差，比较可得两人的平均数相等，但甲的方差大于乙的方差，由方差的意义，可得答案．【解答】解：（1）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用（x，y）表示从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件，记甲的成绩比乙高为事件A，从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，有（5，6）、（5，7）、（5，8）、（5，9）、（6，6）、（6，7）、（6，8）、（6，9）、（9，6）、（9，7）、（9，8）、（9，9）、（10，6）、（10，7）、（10，8）、（10，9），共16个基本事件；则A包含（9，6）、（9，7）、（9，8）、（10，6）、（10，7）、（10，8）、（10，9），共7个基本事件；P（A）=；（Ⅱ）甲成绩的平均数为==7.5，乙成绩的平均数为==7.5，甲成绩的方差S12==4.25，乙成绩的方差S22==1.25，比较可得，=，而S12＞S22，即乙的成绩比较稳定；选派乙参加决赛比较合适．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与数据的数字特征的计算，是基础题，但计算量较大；需要注意计算的准确性．20.已知正项数列满足求出、、、

并推测通项公式？（不要求证明）

参考答案：解：………………2分……5分………………7分…10分由此猜测……12分略21.已知函数f(x)对任意实数p,q都满足f(p+q)=f(p)f(q)，且f(1)=当n时，求f(n)的表达式；设=nf(n)(n)，是数列的前n项和，求证：<设(n)，数列{}的前n项和为T，若<对n恒成立，求最小正整数m.参考答案：解：(1)由题意可得当时有

f(n+1)=f(n)f(1)又f(1)=即数列{f(n)}是以为首项为公比的等比数列(2)因为=nf(n)=两式相减得

=所以=得证（3）=

所以=由题意可得6恒成立即m2012所以m的最小正整数是2012略22.已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）．（