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文档简介

14三月2024高等数学ppt132(2)

近似:当充分小时,=(x,y,z)在上上近似于常数(即近似于不变)任取(3)

精确化:当时,定义:若极限设S是一光滑(或分段光滑)的曲面,f(x,y,z)在S上有定义且有界,记,如果对S任意的划分及任取的点,其值A与划分无关,与

的选取无关,则称f(x,y,z)沿曲面S对面积而言可积;极限值A称为函数f(x,y,z)沿曲面S的第一型曲面积分,记作,即

f(x,y,z)称为被积函数;S称为积分曲面;

x,y,z称为积分变量;

dS称为面积元素;

f(x,y,z)dS称为被积表达式说明:(1)质量:曲面S的面积:2º第二型曲面积分的基本性质若z=f(x,y,z)在曲面上连续,则f(x,y,z)在上对面积而言可积(1)

可积的充分条件(2)线性运算性质设f,g沿对面积可积,则对任意实数k1,k2,k1f+k2g在上对面积可积,且(3)区域可加性设f在1,2上对面积可积(1,2除边界外不重叠),则f在=1

2上对面积也可积,且(4)保序性设f,g在上对面积可积,且在上有f(x,y,z)g(x,y,z),则(5)估值定理设f在上对面积可积,且mf(x,y,z)M,(x,y,z),则(6)中值定理设f在上连续,则存在点(,,)使(7)

第一型曲线积分的值与积分变量的名称无关3º第二型曲面积分的计算方法设函数f(x,y,z)在光滑曲面上连续因为被积函数f(x,y,z)在上取值,所以积分的被积表达式可表示为:z=z(x,y),(x,y)Dxy

其中Dxy是在xoy平面上的投影区域,z=z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数将f(x,y,z)dS沿的累积(积分)=

沿的投影区域Dxy对变量x,y的累积(积分)所以有以下第一型曲面积分的计算公式:同样的方法可得(1)若:y=y(x,z),(x,z)Dxz

(2)若:x=x(y,z),(y,z)Dyz

解例计算,其中S为锥面被z=b所截下的部分S在xoy平面上的投影区域解例计算,其中S为锥面与z=0,曲面所界的立体的边界面(1)计算由于S1关于xz平面对称将S1往xy平面上投影,得投影区域(2)计算由于S2关于xz平面对称:两曲面的交线:消去y得其在xz平面上的投影曲线S2往xz平面上投影,得投影区域:(3)计算由于S3关于xz平面对称:S3往xy平面上投影,得投影区域解例设曲面,其面密度为常数,试求该曲面在部分的重心坐标曲面的重心坐标由于S关于xz,yz平面对称:S在xy平面上的投影区域曲面的重心坐标:解例试求均匀密度的球面关于x轴的转动惯量空间第一型曲线积分的计算设L:x=x(t),y=y(t),z=z(t)t[,]是空间光滑曲线则由被积函数f(x,y,z)在L上取值,且其中<解例计算,其中L是圆柱螺线

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