2022年黑龙江省绥化市金星中学高二数学理模拟试题含解析

2022年黑龙江省绥化市金星中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，已知，则的面积是

（

）A．

B．

C．或

D．参考答案：C2.已知集合M={0,1}，则下列关系式中，正确的是（

）A． B． C． D．参考答案：C3.设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的点．若PF1⊥F1F2，∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），由题意可得xP=﹣c，代入椭圆方程求得P的坐标，再由解直角三角形的知识，结合离心率公式，解方程可得所求值．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），由题意可得xP=﹣c，代入椭圆方程，解得yP=±b=±，在直角三角形F1PF2中，tan60°==，即有b2=2ac，即为a2﹣2ac﹣c2=0，由e=，可得e2+2e﹣=0，解得e=（负的舍去）．故选：B．4.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是()A、12.512.5

B、12.513C、1312.5

D、1313参考答案：B略5.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为和，则（

）

A.1:3

B.1:1

C.2:1

D.3：1参考答案：D6.2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6参考答案：D7.抛物线上的点到直线的距离最小值为A．

B．

C．

D．3参考答案：B略8.执行如右图所示的程序框图，当输入时，输出的结果等于A.32

B.64

C.128

D.256参考答案：B略9.若直线与曲线有两个交点，则k的取值范围是（

）A．[1,+∞)

B．[-1,-)

C．(,1]

D．(-∞,-1]参考答案：B10.函数

则（

）

A．1

B．2

C．6

D．10参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果椭圆的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍，则此椭圆的标准方程为_____参考答案：【分析】由椭圆的焦点坐标分析可得该椭圆的焦点在x轴上，且，再根据长轴长是短轴长的倍可得，通过即可解可得、的值，最后将其代入椭圆的标准方程即可得答案。【详解】根据题意，由椭圆的一个焦点坐标为可得，且焦点在x轴上，又由长轴长是短轴长的倍，即，即，则有，解得，则椭圆的标准方程为，故答案为。【点睛】本题考查椭圆的相关性质，主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆的长轴、短轴、焦点之间的联系，解题时注意椭圆标准方程的形式，是简单题。12.如图是y=f（x）的导数的图象，则正确的判断是（1）f（x）在（﹣3，1）上是增函数（2）x=﹣1是f（x）的极小值点（3）f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数（4）x=2是f（x）的极小值点以上正确的序号为．参考答案：（2）（3）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】由导数的符号与函数的单调性的关系，导数图象在横轴上方的区间，函数是增函数，反之在下方的区间，函数是减函数，由此在结合极值点的定义，对四个命题逐一进行判断，得出正确命题．【解答】解：（1）f（x）在（﹣3，1）上是增函数，不是真命题，在这个区间上导数图象在x轴下方，应是减函数；（2）x=﹣1是f（x）的极小值点，此命题正确，由导数图象知，此点左侧函数减，右侧函数增，由极小值定义知，是正确命题；（3）f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数是正确命题，由导数图象知在（2，4）上导数值为负，在（﹣1，2）上导数值为正，故正确；（4）x=2是f（x）的极小值点，此命题不正确，由导数图象知，此点左侧导数值为正，右侧为负，应是极小值．综上正确的序号为（2）（3）故答案为（2）（3）13.已知在上是增函数,则实数的取值范围是

.参考答案：

14.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为___________．参考答案：3略15.抛物线y=3x2+ax的准线是y=–1，则a=

，焦点坐标是

。参考答案：±，(±，–)16.若变量满足，则的最大值是

．参考答案：7017.抛物线的焦点坐标是

.参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=anxn（x∈R），求数列{bn}前n项和的公式．参考答案：【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．【分析】（1）本题是一个数列的基本量的运算，根据题目所给的首项和前连续三项的值，写出关于公差的方程，解方程可得结果．（2）构造一个新数列，观察这个数列是有一个等差数列和一个等比数列的积构成的，这种结构要用错位相减法求的结果，解题时注意等比数列的公比与1的关系，进行讨论．【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，则a1+a2+a3=3a1+3d=12．又a1=2，得d=2．∴an=2n．（2）当x=0时，bn=0，Sn=0，当x≠0时，令Sn=b1+b2+…+bn，则由bn=anxn=2nxn，得Sn=2x+4x2++（2n﹣2）xn﹣1+2nxn，①xSn=2x2+4x3++（2n﹣2）xn+2nxn+1．②当x≠1时，①式减去②式，得（1﹣x）Sn=2（x+x2++xn）﹣2nxn+1=﹣2nxn+1．∴Sn=﹣．当x=1时，Sn=2+4++2n=n（n+1）．综上可得，当x=1时，Sn=n（n+1）；当x≠1时，Sn=﹣．19.已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）?f（a﹣x）=b恒成立，则称f（x）为“Γ﹣函数”．（1）判断函数f1（x）=x，是否是“Γ﹣函数”；（2）若f3（x）=tanx是一个“Γ﹣函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；（3）若定义域为R的函数f（x）是“Γ﹣函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域．参考答案：【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题．【分析】（1）假设f1（x），f2（x）为Γ﹣函数，根据新定义得出恒等式，判断恒等式是否成立即可得出结论；（2）假设f3（x）为Γ﹣函数，列出恒等式，根据和角的正切公式计算，得出关于x的恒等式解出a，b；（3）根据定义列出恒等式，根据所给条件归纳得出当x∈[2k，2k+2]时，f（x）∈[22k，22k+2]，从而求的f（x）的值域．【解答】解：（1）若f1（x）=x是“Γ﹣函数”，则存在实数对（a，b），使得（a+x）（a﹣x）=b．即x2=a2﹣b对x∈R恒成立，而关于x的方程x2=a2﹣b最多有两个解，不符合题意．因此f1（x）=x不是“Γ﹣函数”．若是“Γ﹣函数”，则存在实数对（a，b），使得3a+x?3a﹣x=32a=b，即存在常数对（a，32a）满足条件，因此是“Γ﹣函数”．（2）∵f3（x）=tanx是一个“Γ﹣函数”，∴存在序实数对（a，b）满足tan（a+x）?tan（a﹣x）=b恒成立，当时，tan（a+x）?tan（a﹣x）=﹣cot2x，不是常数．∴．当时，有恒成立，即（btan2a﹣1）tan2x+（tan2a﹣b）=0恒成立．则，当，时，tan（a+x）?tan（a﹣x）=cot2a=1成立．因此满足f3（x）=tanx是一个“Γ﹣函数”时，实数对．（3）函数f（x）是“Γ﹣函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），∴f（x）?f（﹣x）=1，f（1+x）?f（1﹣x）=4，∵f（1+x）?f（1﹣x）=4?f（x）?f（2﹣x）=4，x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，f（2﹣x）∈[1，2]，，∴x∈[0，2]时，f（x）∈[1，4]，，∴x∈[2，4]时，f（x）∈[4，16]，x∈[4，6]时，f（x）∈[16，64]，…以此类推可知：x∈[2k，2k+2]时，f（x）∈[22k，22k+2]，∴当x∈[2014，2016]时，f（x）∈[22014，22016]，因此x∈[0，2016]时，f（x）∈[1，22016]，x∈[﹣2016，0]时，，综上可知当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）对的值域为[2﹣2016，22016]．20.已知（1）判断函数的奇偶性（2）令，求的值域参考答案：解：（1）由得

，则为奇函数

（7分）（2）令，由

（14分）略21.已知椭圆C:经过点，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l交椭圆于A，B两点，F为椭圆C的左焦点，若，求直线l的方程.参考答案：（1）；（2）或【分析】（1）由椭圆的离心率可得，，从而使椭圆方程只含一个未知数，把点的坐标代入方程后，求得，进而得到椭圆的方程为；（2）因为直线过定点，所以只要求出直线的斜率即可，此时需对直线的斜率分等于0和不等于0两种情况进行讨论，当斜率不为0时，设直线的方程为，点、，利用得到关于的方程，并求得.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，∴，，所以，椭圆的方程为，将点的坐标代入椭圆的方程得，解得，则，，因此，椭圆的方程为.（2）①当直线斜率为0时，与椭圆交于，，而.此时，故不符合题意.②当直线斜率不为0时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程代入椭圆的方程，并化简得，，解得或，由韦达定理可得，，，同理可得，所以，即解得：，符合题意因此，直线的方程为或.【点睛】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系并与向量进行交会，求解过程中要始终领会设而不求的思想，即利用坐标运算解决几何问题，考查运算求解能力.22.已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且BE⊥PD．（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣B的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由于直线PA与CD不在同一平面内，要把两条异面直线移到同一平面内，做AF∥CD，异面直线PA与CD所成的角与AF与PA所成的角相等．（Ⅱ）证明CD⊥平面PDB，可得CD⊥BE，结合BE⊥PD即可得证．（Ⅲ）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD．过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD，则∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．【解答】（Ⅰ）解：取BC中点F，连接AF，则CF=AD，且CF∥AD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD，∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．∵PB=AB=BF=1，∴AB⊥BC，∴PA=PF=AF=．∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°即异面直线PA与CD所成的角等于60°．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．∴CD⊥BD又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD，