2022年湖南省株洲市示范性中学高二数学理上学期摸底试题含解析

2022年湖南省株洲市示范性中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)的导函数的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是(

)

参考答案：A2.用数学归纳法证明：，第一步即证下述哪个不等式成立（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A． B．C．3 D．4参考答案：C【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意易得线段AB的方程为，（x≥0，y≥0），由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）∴1=≥2，∴xy≤3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程，属基础题．4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为(

)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度决定参考答案：A【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A【点评】考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力．5.如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（

）A．90°

B．60°

C．45°

D．0°参考答案：B略6.已知数列{an}的前n项和，则（

）A. B. C. D.参考答案：C∵当时，，当时∴∴首项，公比故选C7.直线m在平面α内，直线n在平面β内，下列命题正确的是（） A． m⊥n?α⊥β B． α∥β?m∥β C． m⊥n?m⊥β D． m∥n?α∥β参考答案：B选项B为面面平行的性质.8.设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，若在双曲线C的下支上存在一点P使得|PF1|=4|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．[，+∞） B．（1，] C．[，+∞） D．（1，]参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的下支上，可得|PF2|≥c﹣a，从而求得此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：∵|PF1|=4|PF2|，∴由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，∴|PF2|=a，∵点P在双曲线的下支，∴a≥c﹣a，即a≥c，∴e≤，∵e＞1，∴1＜e≤，∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，]．故选：D．9.要得到函数y=cos2x的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到函数y=cos2x的路线，即可得到选项．【解答】解：函数y=cos2x=sin（2x+），所以只需把函数y=sin2x的图象，向左平移个长度单位，即可得到函数y=sin（2x+）=cos2x的图象．故选A10.在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为()参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点，是抛物线上两个不同的动点，且直线的斜率互为相反数，则直线的斜率为

．参考答案：－２略12.已知正六棱锥S-ABCDEF的底面边长为2，高为.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积.则概率的值_________.参考答案：【分析】该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有种取法，然后再找到在正六棱锥中三角形的面积为的三角形个数，即可求解【详解】如图，从该棱锥7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有种取法，其中三角形的面积的三角形如，这类三角形共有6个，，答案是【点睛】本题考查组合的计算，属于基础题13.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且有=t，则椭圆C的离心率为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），G为△F1PF2的重心，可得G．由=t，可得IG∥x轴，I的纵坐标为，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为G，∵=t，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴S△F1PF2=?|F1F2|?|y0|，又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，∴S△F1PF2=?（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）=?|F1F2|?|y0|，（2a+2c）=3×2c，∴2c=a，∴=．故答案为：．14.命题“若△不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆命题是

；参考答案：若△的任何两个内角不相等，则△不是等腰三角形。15.定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离；现已知抛物线到直线的距离等于，则实数的值为

.参考答案：6略16.复数z=，则=

；参考答案：

17.已知O为坐标原点,F是椭圆的左焦点,A,B,D分别为椭圆C的左,右顶点和上顶点,P为C上一点,且轴,过点A,D的直线l与直线PF交于点M,若直线BM与线段OD交于点N,且,则椭圆C的离心率为__________．参考答案：【分析】利用相似三角形的比例关系可得离心率.【详解】如图，因为轴，,所以，即；同理,所以,因为，所以有；联立可得，故离心率为.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解，主要是构建的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列满足：，，，数列满足：

，数列的前项和为．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求证：数列是等比数列；（Ⅲ）若当且仅当时，取最小值，求的取值范围．

参考答案：解析：有（1）得=数列是等比数列，首项为，公比为3所以所以因为，所以，所以为递增数列，由题知，解得

19.设函数.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)关于的方程f(x)=a在区间上有两个根,求a的取值范围.

参考答案：解:(1),由得

(2分)x03f’(x)20.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．参考答案：【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B（Ⅱ）若△ABC的面积S=，则bcsinA=，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B=A﹣B，∴A=2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．21.（本题满分12分）在中，是三角形的三内角，是三内角对应的三边，已知．（1）求角的大小；（2）若＝，且△ABC的面积为，求的值.参考答案：解：（1）又为三角形内角，所以………………4分（2），由面积公式得：………………6分由余弦定理得：………10分由②变形得………12分略22.在如图所示的几何体中，，平面，，，，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.参考答案：(1)证明见解析；(2).分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，据此可得.利用线面垂直的判断定理可得平面.(2)(方法一)延长，相交于，连接，由题意可知二面角就是平面与平面所成二面角.取的中点为，则就是二面角的平面角.结合几何关系计算可得.(方法二)建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量.取平面的法向量为.利用空间向量计算可得.详解：(1)在中，.所以，所以为直角三角形，.又因为平面，所以.而，所以平面.(