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分段数列综合题例58数列{an}的首项a1＝1，且对任意n∈N，an与an＋1恰为方程x2－bnx＋2n＝0的两个根.(Ⅰ)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Sn.解：(Ⅰ)由题意n∈N*，an·an＋1＝2n∴eq\f(an＋1·an＋2,an·an＋1)＝eq\f(an＋2,an)＝eq\f(2n＋1,2n)＝2'(1分)又∵a1·a2＝2'a1＝1'a2＝2∴a1，a3，…，a2n－1是前项为a1＝1公比为2的等比数列，a2，a4，…，a2n是前项为a2＝2公比为2的等比数列∴a2n－1＝2n－1'a2n＝2n'n∈N*即an＝又∵bn＝an＋an＋1当n为奇数时，bn＝2eq\f(n－1,2)＋2eq\f(n＋1,2)＝3·2eq\f(n－1,2)当n为偶数时，bn＝2eq\f(n,2)＋2eq\f(n,2)＝2·2eq\f(n,2)∴bn＝(Ⅱ)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn当n为偶数时，Sn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝eq\f(3－3·2\f(n,2),1－2)＋eq\f(4－4·2\f(n,2),1－2)＝7·2eq\f(n,2)－7(当n为奇数时，Sn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝Sn－1＋bn＝10·2eq\f(n－1,2)－7(Sn＝例59数列的通项，其前n项和为.(1)求;(2)求数列｛｝的前n项和.解:(1)由于,故,故()(2)两式相减得故例60数列(Ⅰ)求并求数列的通项公式；(Ⅱ)设证明：当.解:(Ⅰ)因为所以一般地，当时，＝，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为(Ⅱ)由(Ⅰ)知，①②①-②得，所以要证明当时，成立，只需证明当时，成立.证法一(1)当n=6时，成立.(2)假设当时不等式成立，即那么当n=k+1时，由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，证法二令，那么所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，例61设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．〔Ⅰ〕假设，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；解：因是公比为d的等比数列，

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