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文档简介
广东省湛江市启迪职业高级中学高二数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线,M,N是双曲线上关于原点对称的两点,P是双曲线上的动点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,k1k2≠0,若|k1|+|k2|的最小值为1,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.参考答案:B【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题.【分析】先假设点的坐标,代入双曲线方程,利用点差法,可得斜率之间为定值,再利用|k1|+|k2|的最小值为1,即可求得双曲线的离心率.【解答】解:由题意,可设点M(p,q),N(﹣p,﹣q),P(s,t).∴,且.两式相减得.再由斜率公式得:k1k2=.∵|k1|+|k2|根据|k1|+|k2|的最小值为1,可知∴故选B.【点评】本题以双曲线为载体,考查双曲线的性质,关键是利用点差法,求得斜率之积为定值.2.函数y=x2-lnx的单调递减区间为(
)A.(-1,1]
B.(0,1] C.[1,+∞)
D.(0,+∞)参考答案:B∵,∴,由,解得,又,∴故选B.3.某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算k=7.069,则认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过()A.0.1% B.1% C.99% D.99.9%参考答案:B【考点】BL:独立性检验.【分析】把观测值同临界值进行比较.得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系.【解答】解:∵K2=7.069>6.635,对照表格:P(k2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828∴认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过1%.故选:B.4.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合的真子集共有(
)
A.3个
B.6个
C.7个
D.8个参考答案:C略5.已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是(
)A. B.C.
D.参考答案:D略6.已知点分别是正方体的棱的中点,点分别是线段与上的点,则满足与平面平行的直线有(
)A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条参考答案:D7.A.
B.
C.
D.参考答案:C略8.函数的图象大致是(
)A. B.C. D.参考答案:A【分析】判断函数的奇偶性,并根据该函数在和上的函数值符号进行排除,可得出正确选项.【详解】易知函数的定义域为,,所以,函数为奇函数,排除B选项;当时,,此时,,排除C选项;当时,,此时,,排除D选项.故选:A.【点睛】本题考查函数图象的识别,再利用函数解析式来识别函数图象时,一般利用以下五个要素来对函数图象逐一排除:(1)定义域;(2)奇偶性;(3)单调性;(4)零点;(5)函数值符号.考查推理能力,属于中等题.9.在中,,则的面积等于A.
B.
C.或
D.或参考答案:D10.设x,y满足,则z=x+y()A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值参考答案:B【考点】简单线性规划.【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题,我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域,根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系,即可得到结论.【解答】解析:如图作出不等式组表示的可行域,如下图所示:由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率,因此当z=x+y过点(2,0)时,z有最小值,但z没有最大值.故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知(x,y)在映射f下的象是(x-y,x+y),则(3,5)在f下的象是_________,原象是_____________参考答案:(-2,8),(4,1)略12.直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是(
) A.(-,)
B.(,-)
C.(,-)
D.(-,)参考答案:A略13.若实数、、满足,则称比远离.若比1远离0,则的取值范围是_______________.参考答案:略14.如图是函数的导数的图象,对于下列四个命题:①在上是增函数;②是的极小值点;③在上是增函数,在上是减函数;④是的极小值点.其中正确的命题的序号是.参考答案:略15.抛物线y=2x2的焦点坐标是.参考答案:(0,)【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题.【分析】先将方程化成标准形式,即,求出p=,即可得到焦点坐标.【解答】解:抛物线y=2x2的方程即
x2=y,∴p=,故焦点坐标为(0,),故答案为:(0,).【点评】本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,把抛物线y=2x2的方程化为标准形式,是解题的突破口.16.在等比数列中,,,则=
.参考答案:917.奇函数定义域为,其导函数是.当时,有,则关于的不等式的解集为
.参考答案:令,则,由条件得当时,,∴函数g(x)在上单调递减.又函数g(x)为偶函数,∴函数g(x)在上单调递增.①当时,,不等式可化为,∴;②当时,,,不等式可化为,∴.综上可得不等式的解集为.答案:
三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α是参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离,并求出此时点P的坐标.参考答案:【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)曲线C1的参数方程为(α是参数),x=2cos2α=1+cos2α,利用cos22α+sin22α=1即可得出.曲线C2的极坐标方程为ρ=,化为ρsinθ﹣ρcosθ=1,利用即可得出.(2)设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t,代入圆的方程可得:2x2+2(t﹣1)x+t2=0,利用△=0,解得t.利用平行线之间的距离公式可得最小距离,进而得出点P.【解答】解:(1)曲线C1的参数方程为(α是参数),x=2cos2α=1+cos2α,∴(x﹣1)2+y2=1.曲线C2的极坐标方程为ρ=,化为ρsinθ﹣ρcosθ=1,∴y﹣x=1,即x﹣y+1=0.(2)设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t,代入圆的方程可得:2x2+2(t﹣1)x+t2=0,∵△=4(t﹣1)2﹣8t2=0,化为t2+2t﹣1=0,解得.取t=﹣1,直线y=x+1与切线的距离d==﹣1,即为曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离.此时2x2+2(t﹣1)x+t2=0,化为=0,解得x==,y=,∴P.19.设定义在(0,+)上的函数(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)若曲线在点处的切线方程为,求的值。参考答案:(I)(方法一),…………3分当且仅当时,的最小值为。…………3分…………2分
…………3分…………1分(II)由题意得:,
①…………2分,
②…………3分由①②得:。
…………2分略20.如图,在一个由矩形与正三角形组合而成的平面图形中,现将正三角形沿折成四棱锥,使在平面内的射影恰好在边上.(1)求证:平面⊥平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.参考答案:解:(1)折起后,因在平面内的射影在边上,所以,平面⊥平面且交线为.………4分又矩形,所以,⊥.由两平面垂直的性质定理,⊥平面⊥平面.…7分(2)折起后,由(1),在△中,∠,∴,同理得∴……9分而⊥⊥,又∴,知∠PAC是所求角…………11分在中,.………13分即直线与平面所成角的正弦值为………………14分略21.(16分)设函数(t>0).(1)若t=2,求函数f(x)的极大值;(2)若存在x0∈(0,2),使得f(x0)是f(x)在区间[0,2]上的最小值,求实数t的取值范围;(3)若f(x)≤xex﹣m(e≈2.718)对任意的x∈[0,+∞)恒成立时m的最大值为﹣1,求实数t的取值范围.参考答案:考点:利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、最小值问题中的应用.专题:导数的综合应用.分析:(1)由t=2,化简函数的解析式,求出函数的导数,利用导数为0,求出极值点,判断单调性如此极大值.(2)求出函数的导数,利用导数为0,求出极值点,通过①当t≥2时,②当1<t<2时,③当0<t<1时,④当t=1时,分别求解x0∈(0,2)使得f(x0)是f(x)在[0,2]上的最小值.推出t的取值范围.(3)由题意转化条件为对任意的x≥0恒成立,构造函数,通过函数的导数,求出新函数的最小值,然后求解t的取值范围.解答: 解:(1)若t=2,则,所以,f′(x)=3x2﹣9x+6,令f′(x)=0,得x=1,2;令f′(x)<0,得1<x<2,所以,f(x)在区间(1,2)内递减,在区间(﹣∞,1),(2,+∞)内递增,得f(x)的极大值为…4'(2)函数.得f′(x)=3x2﹣3(t+1)x+3t=3(x﹣1)(x﹣t),t>0.令f′(x)=0,得x=1,t;…6'①当t≥2时,可以判定f(x)在区间(0,1)内递增,在区间(1,2)内递减,此时,不存在x0∈(0,2)使得f(x0)是f(x)在[0,2]上的最小值;②当1<t<2时,可以判定f(x)在区间(0,1)、(t,2)内递增,在区间(1,t)内递减,欲存在x0∈(0,2)使得f(x0)是f(x)在[0,2]上的最小值,则必须有f(t)≤f(0),即,解得t≥3,不合题意,舍去.③当0<t<1时,可以判定f(x)在区间(0,t)、(1,2)内递增,在区间(t,1)内递减,欲存在x0∈(0,2)使得f(x0)是f(x)在[0,2]上的最小值,则必须有f(1)≤f(0),即,解得,所以,.④当t=1时,可以判定f(x)在区间(0,2)内递增,不存在x0∈(0,2)使得f(x0)是f(x)在[0,2]上的最小值.综上所述,得t的取值范围为…10'(3)若f(x)≤xex﹣m(e为自然对数的底数)对任意的x∈[0,+∞)恒成立,即对任意的x≥0恒成立,…11'令,由于m的最大值为﹣1,所以恒成立…12'由g(0)=1﹣3t≥0可得,当时,,再设,得h′(x)=ex﹣2=0,解得x=ln2.h(x)在区间(0,ln2)内递减,在区间(ln2,
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