广东省湛江市启迪职业高级中学高二数学理测试题含解析

广东省湛江市启迪职业高级中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用|k1|+|k2|的最小值为1，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意，可设点M（p，q），N（﹣p，﹣q），P（s，t）．∴，且．两式相减得．再由斜率公式得：k1k2=．∵|k1|+|k2|根据|k1|+|k2|的最小值为1，可知∴故选B．【点评】本题以双曲线为载体，考查双曲线的性质，关键是利用点差法，求得斜率之积为定值．2.函数y=x2－lnx的单调递减区间为（

）A．(－1,1]

B．(0,1] C．[1,+∞)

D．(0,+∞)参考答案：B∵,∴,由，解得，又，∴故选B．3.某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算k=7.069，则认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过（）A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%参考答案：B【考点】BL：独立性检验．【分析】把观测值同临界值进行比较．得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．【解答】解：∵K2=7.069＞6.635，对照表格：P（k2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828∴认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过1%．故选：B．4.设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合的真子集共有（

）

A．3个

B．6个

C．7个

D．8个参考答案：C略5.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（

）A． B．C．

D．参考答案：D略6.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则满足与平面平行的直线有（

）A.0条

B.1条

C.2条

D.无数条参考答案：D7.A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.函数的图象大致是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】判断函数的奇偶性，并根据该函数在和上的函数值符号进行排除，可得出正确选项.【详解】易知函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，排除B选项；当时，，此时，，排除C选项；当时，，此时，，排除D选项.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，再利用函数解析式来识别函数图象时，一般利用以下五个要素来对函数图象逐一排除：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）单调性；（4）零点；（5）函数值符号.考查推理能力，属于中等题.9.在中，，则的面积等于A．

B．

C．或

D．或参考答案：D10.设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值．故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知（x,y）在映射f下的象是(x-y,x+y)，则(3,5)在f下的象是_________，原象是_____________参考答案：（-2，8），（4，1）略12.直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（

） A．(-,)

B．(,-)

C．(,-)

D．(-,)参考答案：A略13.若实数、、满足，则称比远离.若比1远离0，则的取值范围是_______________．参考答案：略14.如图是函数的导数的图象，对于下列四个命题：①在上是增函数；②是的极小值点；③在上是增函数，在上是减函数；④是的极小值点.其中正确的命题的序号是.参考答案：略15.抛物线y=2x2的焦点坐标是．参考答案：（0，）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先将方程化成标准形式，即，求出p=，即可得到焦点坐标．【解答】解：抛物线y=2x2的方程即

x2=y，∴p=，故焦点坐标为（0，），故答案为：（0，）．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，把抛物线y=2x2的方程化为标准形式，是解题的突破口．16.在等比数列中，，，则=

．参考答案：917.奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为

．参考答案：令，则，由条件得当时，，∴函数g(x)在上单调递减．又函数g(x)为偶函数，∴函数g(x)在上单调递增．①当时，，不等式可化为，∴；②当时，，，不等式可化为，∴．综上可得不等式的解集为．答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离，并求出此时点P的坐标．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（α是参数），x=2cos2α=1+cos2α，利用cos22α+sin22α=1即可得出．曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，利用即可得出．（2）设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t，代入圆的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，利用△=0，解得t．利用平行线之间的距离公式可得最小距离，进而得出点P．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α是参数），x=2cos2α=1+cos2α，∴（x﹣1）2+y2=1．曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，∴y﹣x=1，即x﹣y+1=0．（2）设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t，代入圆的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，∵△=4（t﹣1）2﹣8t2=0，化为t2+2t﹣1=0，解得．取t=﹣1，直线y=x+1与切线的距离d==﹣1，即为曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离．此时2x2+2（t﹣1）x+t2=0，化为=0，解得x==，y=，∴P．19.设定义在（0，+）上的函数（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若曲线在点处的切线方程为，求的值。参考答案：（I）（方法一），…………3分当且仅当时，的最小值为。…………3分…………2分

…………3分…………1分（II）由题意得：，

①…………2分，

②…………3分由①②得：。

…………2分略20.如图，在一个由矩形与正三角形组合而成的平面图形中，现将正三角形沿折成四棱锥，使在平面内的射影恰好在边上．（1）求证：平面⊥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：解：（1）折起后，因在平面内的射影在边上，所以，平面⊥平面且交线为.………4分又矩形，所以，⊥．由两平面垂直的性质定理，⊥平面⊥平面.…7分（2）折起后，由(1),在△中，∠，∴，同理得∴……9分而⊥⊥，又∴,知∠PAC是所求角…………11分在中，.………13分即直线与平面所成角的正弦值为………………14分略21.（16分）设函数（t＞0）．（1）若t=2，求函数f（x）的极大值；（2）若存在x0∈（0，2），使得f（x0）是f（x）在区间[0，2]上的最小值，求实数t的取值范围；（3）若f（x）≤xex﹣m（e≈2.718）对任意的x∈[0，+∞）恒成立时m的最大值为﹣1，求实数t的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由t=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，利用导数为0，求出极值点，判断单调性如此极大值．（2）求出函数的导数，利用导数为0，求出极值点，通过①当t≥2时，②当1＜t＜2时，③当0＜t＜1时，④当t=1时，分别求解x0∈（0，2）使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最小值．推出t的取值范围．（3）由题意转化条件为对任意的x≥0恒成立，构造函数，通过函数的导数，求出新函数的最小值，然后求解t的取值范围．解答： 解：（1）若t=2，则，所以，f′（x）=3x2﹣9x+6，令f′（x）=0，得x=1，2；令f′（x）＜0，得1＜x＜2，所以，f（x）在区间（1，2）内递减，在区间（﹣∞，1），（2，+∞）内递增，得f（x）的极大值为…4'（2）函数．得f′（x）=3x2﹣3（t+1）x+3t=3（x﹣1）（x﹣t），t＞0．令f′（x）=0，得x=1，t；…6'①当t≥2时，可以判定f（x）在区间（0，1）内递增，在区间（1，2）内递减，此时，不存在x0∈（0，2）使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最小值；②当1＜t＜2时，可以判定f（x）在区间（0，1）、（t，2）内递增，在区间（1，t）内递减，欲存在x0∈（0，2）使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最小值，则必须有f（t）≤f（0），即，解得t≥3，不合题意，舍去．③当0＜t＜1时，可以判定f（x）在区间（0，t）、（1，2）内递增，在区间（t，1）内递减，欲存在x0∈（0，2）使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最小值，则必须有f（1）≤f（0），即，解得，所以，．④当t=1时，可以判定f（x）在区间（0，2）内递增，不存在x0∈（0，2）使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最小值．综上所述，得t的取值范围为…10'（3）若f（x）≤xex﹣m（e为自然对数的底数）对任意的x∈[0，+∞）恒成立，即对任意的x≥0恒成立，…11'令，由于m的最大值为﹣1，所以恒成立…12'由g（0）=1﹣3t≥0可得，当时，，再设，得h′（x）=ex﹣2=0，解得x=ln2．h（x）在区间（0，ln2）内递减，在区间（ln2，