初中物理竞赛及自主招生专题讲义：第3讲-功和能-(共2节)含解析

第三讲功和能我们解决物理问题时，往往从两个观点入手：力的观点和能量的观点。力的观点，即分析物体受力情况与运动情况，运用力与运动的规律来求解问题；能量的观点，即从做功与能量转化、能量守恒的角度来求解问题。本讲将介绍功、功率以及机械能的相关知识。第一节功与功率一、功（一）功的概念如果一个力作用在物体上，且物体沿着力的方向移动了一段距离，我们就说这个力对物体做了功。因此，做功有两个必不可少的要素：作用在物体上的力、物体沿力方向移动的距离。功的计算公式为，其中为物体沿力的方向移动的距离，也可理解为物体实际前进的距离沿方向的分量。功的单位为焦耳，简称焦，符号为，。对于更一般的情况，如图5.1所示，如果力与物体移动的距离之间有夹角，则可以这样求解力所做的功：将力分解为沿着移动距离方向的分力和垂直于移动距离方向的分力，由于分力与移动方向垂直，不做功，所以力做的功实际上等于其分力做的功，有。因此：（1）当时，，。（2）当时，，，即力对物体不做功。（3）当时，，，即力对物体做负功，或说物体克服力做功。比如，，我们可以说“力对物体做功”，或“物体克服力做功”。力对物体做正功，表明这个力促进物体的运动；力对物体做负功，表明这个力阻碍物体的运动。例1如图5.2所示，斜面高度为，长度为，用一个平行于斜面的力把重力为的物体匀速拉到斜面顶端，拉力所做的功为，则斜面对物体的摩擦力大小为多少？摩擦力对物体做的功是多少？分析与解设拉力为，斜面倾角为，则拉力做功为，所以。将重力正交分解，则重力沿斜面向下的分力为，则拉力，解得。考虑到摩擦力方向与物体移动方向相反，摩擦力做功。（二）变力做功的求解功的计算公式为，只适用于恒力做功，即的大小、方向均不变。当力的大小、方向发生变化时，不能再简单地套用公式来求解功的大小。下面介绍几种常见的求解变力做功的方法。1．等值法所谓等值法，即找到某个与变力做功相同的恒力，求出该恒力做的功，便可得到变力做功的值。例2如图5.3所示，定滑轮到滑块顶端的高度为，定滑轮摩擦不计，用恒力作用于细线末端，滑块在，位置时细绳与水平方向的夹角分别为和。求将滑块由点拉至点的过程中，绳的拉力对滑块做的功。分析与解作用在绳子末端的拉力为，则绳子对滑块的拉力大小也恒为，但是在滑块移动的过程中，绳子拉力的方向时刻改变，因此不能直接套用功的计算公式来求绳子对滑块做的功。考虑到绳子不可伸长，绳子只是把拉力做的功“传递”给物块，因此，绳子拉力对物块做的功等于恒力对绳子端点做的功。由几何关系，绳端移动的距离等于，拉力做功，即绳子对滑块做功为。2．图像法对于恒力做功，在力与距离同向时，除了可以应用公式来求解功外，还可以画出恒力与物体移动距离的图像，这是一条平行于横轴的直线，如图5.4（）所示，力做的功可以用图像下方的面积来表示。对于随距离变化的力，例如5.4（）所示，图像下方的面积表示变力所做的功。若力与距离的关系满足或，则图像下方的面积为三角形、梯形，我们便可以方便地求得变力做功的值。例3用铁锤把小钉钉入木板，设木板对小钉的阻力与钉进的深度成正比，已知铁锤第一次对钉子做功，将钉子钉进的深度为，如果第二次敲钉子时将钉子钉进的深度又为，问：第二次做功为多少？分析与解如图5.5（）所示，设钉子所受木板的阻力为，其中为钉入木板的深度，为比例系数。画出钉子所受阻力与钉入深度的图像如图5.5（）所示，则钉入深度为时，所做的功等于图像下方0~范围内的三角形面积，而继续钉入深度的过程中，所做的功为图像下方~范围内的梯形面积，由几何知识可得，第二次做功为。例4如图5.6所示，一长为、质量为的木板，自光滑水平面滑向粗糙区域。粗糙区域的动摩擦因数为，问：木板从开始进入粗糙区域到木板右端前进的过程中，木板克服摩擦力做的功是多少？分析与解木板在逐渐进入粗糙区域的过程中，其在粗糙区域的长度越来越大，对粗糙区域的压力也越来越大，所受摩擦力也逐渐增加。为了确定木板所受摩擦力与前进距离的关系，不妨设木板在粗糙区域内的长度为，对应的质量为，如图5.7（）所示，则当时，结合木板质量均匀分布，应有，解得，粗糙区域对长度部分的摩擦力大小为。可见，当时，与是正比例关系，当时，取得最大值；当时，木板已经全部进入粗糙区域，摩擦力恒为。据此画出整个过程的图像如图5.7（）所示，则在木板前进的过程中，图像下方为一梯形，其面积等于木板克服摩擦力做功的值，即。3．平均力法当力的方向不变、而大小随距离均匀改变（即在任意相等距离内力的变化量相同，图像为倾斜的直线）时，可用平均值法求出全过程中力的平均值，将变力做功等效为恒力做功。所谓力的平均值，即若一个恒力在一段距离内做的功与变力在同一段距离内做的功相同，我们就说这个恒力是变力在这一段距离内的平均值。如图5.8所示，段为变力随距离变化的图像，0~距离内变力的功为图中梯形的面积，图中与时间轴平行的直线表示物体受恒力作用时的图像，矩形的面积表示物体在移动距离内恒力做的功。若矩形的面积等于梯形的面积，则根据平均力的定义，该恒力就等于变力的平均值。当矩形的面积与梯形的面积相等时，容易得出，与全等，此时为的中点，有，则变力的功。例5已知汽车质量为，由静止开始运动，阻力，牵引力与汽车前进距离满足，求当车前进时，牵引力做的功。分析与解由题可知牵引力为随距离均匀变化的变力（一次函数），则可考虑采用平均力来求解牵引力的功。汽车刚启动时，牵引力，当汽车前进距离为时，牵引力，平均力，牵引力做的功为。4．微元法在力的大小、方向，位移的方向都发生变化时，可将整个过程分成个微小的过程，只要每个过程足够小，就可以认为在微小的位移内，力可以看成恒力，这样变力做功的问题就转变为若干个恒力做功的求和问题，这种方法叫做微元法。例6如图5.9所示，物体沿曲线从运动到，大小恒定的力始终与曲线相切，已知曲线的长度为，则此过程中力做功为多少？分析与解由于力的方向时刻变化，不能用功的计算公式来直接求功。考虑到力始终与曲线相切，我们可以将曲线分割成段，每一段的长度为，，…，都非常小，因此在每一段微小的距离内，都可认为力与距离同向，有，考虑到，可得。可见，大小不变而方向始终与物体运动方向相同（或相反）的力所做的功等于力的大小与路程的乘积。二、功率（一）功率的概念功率是表示物体做功快慢的物理量。物体在单位时间内做功的多少，叫做功率，公式为，功率的单位是“瓦特”，符号为“”，。在一般情况下，功的计算公式为，因此功率也可以用公式来计算，其中，为力与物体速度的夹角，速度可以是平均速度，也可以是瞬时速度，所对应的功率分别是平均功率和瞬时功率。特殊地，当与同向，即时，，则功率可以直接用来计算。例7（上海第30届大同杯初赛）如图5.10所示，水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为，木箱在与水平夹角为的拉力的作用下做匀速直线运动。从0°逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度始终保持不变，则拉力的功率（）。A．一直减小 B．一直增大C．先减小后增大 D．先增大后减小分析与解判断一个物理量随另一个物理量的变化情况，最常见的方法是写出两者之间的表达式，再根据表达式的增减情况判断。解法一由于木箱的速度始终不变，所以木箱受力平衡，可将拉力在竖直与水平方向上分解，可得始终等于木箱受到的滑动摩擦力，即，解得。拉力的功率。又由于从0°到90°变化，单调递增，因此逐渐减小。选项正确。当然，由于本题物体的速度恒定，因此我们也可以找到拉力的水平分力的变化情况，根据来判断功率的变化情况。解法二如图5.11所示，画出物体所受摩擦力与支持力的合力，即全反力，设摩擦角为，则可知与竖直方向的夹角为，方向不变。画出全反力、重力、拉力所围成的封闭三角形，可知，当从0°逐渐增大时，拉力先减小后增大，但是拉力的水平分力逐渐减小，所以拉力的功率逐渐减小。选项正确。（二）几种常见的功率的问题1．利用功率随时间变化的图像（图像）求变力做功若已知变力的功率恒为，则在时间内该力做功为，这样可以方便地直接求出变力功的数值。如果功率不恒定，我们也可以画出功率随时间变化的图像，利用图像下方的面积表示功的多少来求解功。如图5.12所示，若图像下方的面积恰为矩形、三角形、梯形等几何图形，则可以很方便地求出对应的功。2．利用功率相等求连接体速度的关系设用一段不可伸长、柔软的细绳或刚性轻杆连接着两物体，因为绳子、轻杆是不可伸长的，因此在两物体运动的过程中系统的能量既不会转化为绳子、轻杆的内能，也不会转化为绳子或轻杆的势能，这样绳子、轻杆只起到转移机械能的作用，所以这段绳子或轻杆在一段时间内对两物体做的总功为零。即绳子、轻杆对两物体在任一时刻做功的功率在数值上是相同的，或者说绳子、轻杆拉力对其中一个物体做功的功率等于另一个物体克服绳子拉力做功的功率。例8如图5.13所示，汽车甲以速度拉汽车乙前进，乙的速度为，甲、乙两汽车都在水平面上运动，求甲、乙两汽车的速度之比。分析与解设连接甲、乙两汽车的绳子的拉力大小为，则根据绳子对乙车做功的功率等于甲车克服绳子拉力所做总功的功率，考虑绳子拉力与速度的夹角，则有，故。3．交通工具的功率问题交通工具，诸如汽车、轮船之类，它们前进时所受的牵引力与速度方向相同，牵引力的功率可以表示为。任何机器都有额定功率，即机器长时间正常工作时所能达到的最大功率。若机器工作时功率超过额定功率，则机器可能会损坏或使用寿命减少。因此，一般机器工作时的功率往往等于或小于额定功率。机器实际工作时的功率，叫做实际功率。汽车等在额定功率下行驶时，功率不变，则，牵引力与速度大小成反比。汽车刚开始启动时，速度较小，牵引力较大（大于阻力），汽车会逐渐加速，在加速的过程中，牵引力又逐渐减小，当牵引力减小到等于阻力时，汽车受力平衡，速度增加到最大值，此后保持匀速直线运动。因此，汽车达到最大速度的条件是，汽车匀速时速度。例9某汽车发动机的额定功率，汽车的质量，该汽车在水平公路上行驶时所受阻力为车重的0.1倍，取，问：（1）当汽车在保持额定功率的条件下匀速行驶时，速度是多大？（2）若汽车以的速度匀速行驶，汽车发动机实际输出功率为多大？分析与解（1）当汽车匀速行驶时，牵引力等于阻力，即，匀速运动时的速度。（2）当汽车以的速度匀速行驶时，牵引力仍然与阻力平衡，即，则这个速度下的功率为。练习题1．一个人先后用同样大小的力将不同质量的物体分别在光滑水平面、粗糙水平面和粗糙斜面上沿力的方向移动相同的距离（如图5.14所示），该力在这三个过程中所做的功分别为，，，关于它们之间的大小关系说法正确的是（）。A． B． C． D．2．（上海第2届大同杯复赛）如图5.15所示，斜面高度为，长度为，用一个平行于斜面的力把重力为的物体匀速拉到斜面顶端，拉力所做的功为，则斜面和物体间的摩擦力为（）。A． B．C． D．3．（2007青岛竞赛题）飞机、轮船运动时，受到的阻力并不固定，当速度很大时，阻力和速度的平方成正比，如果要把飞机、轮船的速度增大到2倍，发动机的输出功率要增大到原来的（）。A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍4．（上海第7届大同杯复赛）如图5.16所示，将两个质量相同的物体甲和乙，分别沿两个光滑的斜面（已知）从同一水平面匀速地拉到顶点，则对甲、乙两物体的用力（、）和做功（、）的判断正确的是（）。A．，B．，C．，D．，5．（2007青岛竞赛题）一辆娱乐电瓶车工作时消耗电能的功率为，电能转化为机械能的效率为80%，电瓶车及人所受的总重力为，行驶时阻力是总重力的0.1倍，则此电瓶车水平匀速行驶所用的时间约为（）。A． B． C． D．以上都不对6．质量为、初速度为零的物体在变化不同的外力作用下沿力的方向都通过距离。以下情况中外力做功最多的是（）A． B． C．D．7．（上海第21届大同杯初赛）如图5.17所示，放在水平桌面上的匀质长直木板长度为，质量为，它的右端与桌面平齐，与桌面间的动摩擦因数为0.2。若在木板左端用一水平推力将其匀速推下桌子，水平推力至少要做功（）。A． B．C． D．8．一放在水平面上的物体，受到水平拉力的作用，在0~内其速度-时间图像与力的功率-时间图像如图5.18所示，则下列说法正确的是（）。A．时，拉力的大小为B．0~内拉力的平均值为C．物体所受摩擦力的大小为D．0~内物体克服摩擦力做的功与拉力做的功相等9．（上海第30届大同杯初赛）野山鼠擅长打洞，假设野山鼠打洞时受到的阻力与洞的深度成正比，即（为比例常数），则野山鼠从洞深打到洞深时，需要克服阻力做的功为（）。A． B．C． D．10．（上海第30届大同杯初赛）如图5.19所示，位于水平面上的物体在水平恒力的作用下，以速度沿水平面做匀速直线运动；若改为斜向上的恒力作用，让物体以速度沿水平面做匀速直线运动。已知与的功率相同，则可能有（）。A．，B．，C．，D．，11．（上海第29届大同杯初赛）如图5.20所示，轻绳的一端通过定滑轮与质量为、可看成质点的小物体相连，另一端受到大小为的恒力作用，开始时绳与水平方向的夹角为。小物体从水平面上的点被拖动到水平面上的点，，之间的距离为，随后从点沿斜面被拖动到滑轮处，，之间的距离也为。小物体与水平面及斜面间的动摩擦因数均为，若小物体从运动到的过程中，对小物体做的功为，小物体在段运动过程中克服摩擦力所做的功为，则以下结果正确的是（）。A．B．C．D．12．（上海第7届大同杯复赛）如图5.21所示，斜面长，高。某人用的力沿斜面将重力为的重物在内由推到，则此人做功的功率是________。13．如图5.22所示，小球在大小不变的拉力的作用下，在水平槽内做速度为的圆周运动。如果圆半径为，拉力的方向恒与小球瞬时速度方向一致，则在小球运动一周的过程中，拉力所做的功为________，拉力的功率为________。14．如图5.23所示，长为的轻质杆两端有两个小球和，球靠在竖直墙壁上，球与地面接触。开始时，杆与两球均处于静止状态，放手后小球下滑，小球右滑，当杆与水平面成角时，两球的速度，之比是________。15．用大小不变、方向始终与物体运动方向一致的力，将质量为的小物体沿半径为的固定圆弧轨道从点推到点，圆弧对应的圆心角为60°，如图5.24所示，则在此过程中，力对物体做的功为________；若将推力改为水平恒力，则此过程中力对物体做功为________。16．质量为的物体放在动摩擦因数的水平地面上，在水平拉力的作用下，由静止开始运动，拉力做功和物体位移之间的关系如图5.25所示。物体从开始运动到前进的过程中，拉力大小为________；已知在前进距离为时速度恰为，则从静止开始到运动的过程中，拉力的最大功率为________。17．物体受到水平拉力的作用，做功的功率随时间的变化规律如图5.26所示，则物体在0~内，拉力做功的大小为________，拉力的平均功率为________。18．质量为的汽车以恒定的功率从静止开始启动，经过后达到最大速度为，假设汽车在这一过程中阻力恒定，且阻力，则汽车达到最大速度时发动机的功率为________，这段时间内发动机做的功为________。19．（上海第29届大同杯复赛）无风时，以速度跑步，人所受的空气阻力，为阻力系数，为空气的密度，为在垂直于运动方向上的截面积，阻力功率。已知某人于平地上匀速跑步时，身体为跑步持续提供的功率，若此人质量，，，空气密度，且跑步时没有任何打滑，则此人的跑步速度为________；若肌肉消耗能量做功的效率为25%，则此人跑步消耗________的能量。20．（上海第27届大同杯复赛）各种比赛常以体重区分量级，已知运动员肌肉施力的大小与肌肉的横截面积成正比，假设运动员的形体虽有不同，但密度几乎相等，且肌肉的伸缩速率也大致相同，则运动员的功率与其质量的关系可以写成，式中的为一比例常数，由此可推出的大小为________。参考答案1．C。力对物体做的功等于力的大小与物体沿着该力发生的距离的乘积，而与其他的因素无关，四个选项中，物体都是在力的作用下沿的方向前进了的距离，因此做功相同。2．B。设斜面倾角为，物体沿斜面匀速运动，受力平衡，则沿斜面方向，拉力满足，拉力做功为，解得。3．D。设阻力，匀速时，则，可见，发动机的输出功率与速度的3次方成正比，当速度加倍时，功率应增大为原来的8倍。4．B。设斜面倾角为，斜面高度为，斜面长度为，则。物体匀速时，沿斜面向上的拉力，则由题意可知；拉力做功为，可见拉力做功，选项正确。5．C。电动车前进时要克服阻力做功，电能转化为机械能的功率即克服阻力做功的功率，则，，则，行驶所用的时间。6．C。各选项中图像与坐标轴所围成的面积表示外力做的功，显然项面积最大，做功最多。7．B。提示：本题要注意摩擦力与接触面积无关，当木板中心离开桌面时，木板将翻下桌面。8．ABC。由图5.18，可知时物体的速度为，拉力的瞬时功率，则拉力，选项正确。0~内，拉力做功，物体在0~内前进的距离，则拉力的平均值，选项B正确。在2~内，物体做速度为的匀速直线运动，则摩擦力，拉力功率为，则，选项正确。在0~内，物体前进的总距离为，物体克服摩擦力做的功，而拉力做的功为功率图像下方的面积，，因此选项错误，本题正确选项为ABC。9．A。画出阻力与洞的深度的关系如图5.27所示，则图像下方到范围内梯形的面积即表示从洞深打到洞深时需要克服阻力做的功，因此，选项A正确。10．AB。由本节例7可知，当拉力与水平方向夹角逐渐增大时，拉力的水平分力逐渐变小，因此，大于的水平分力，而两力功率相等，则必有。当由逐渐增大时，拉力先变小再变大，因此，，均可能存在，本题正确选项为AB。11．BC。物块从被拉到点时，拉力作用点移动的距离，则拉力做功，选项B正确。由几何关系，与水平方向的夹角为，物块从运动到的过程中，滑动摩擦力的大小为，则克服摩擦力所做的功为，选项C正确。12．1。人推物体做功的功率。13．，。由于拉力始终与物体运动方向相同，拉力做功应等于拉力大小与路程的乘积，即，拉力的功率等于拉力大小与速度的乘积，即。14．。设杆对两球的作用力大小为，球的速度为，球的速度为，由于杆是一不可形变的刚性轻杆，所以杆对两球做功的瞬时功率大小相等，即，所以。15．；。力大小不变，方向始终沿物体运动方向时，做的功等于的大小乘以运动的路程，弧长为，所以做功为。力为水平恒力时，做的功等于力的大小与沿力方向前进距离的乘积，沿力方向前进的距离等于，两点水平方向的距离，因此做功为。16．20；。由，可知图像的斜率为拉力的大小，则在0~范围内，拉力。同理在1~范围内，拉力，而物体所受摩擦力，因此物体在0~内做加速运动，拉力的功率逐渐增加，在1~内物体做匀速运动，功率保持不变。但值得注意的是，最大功率出现在物体恰好运动时，而拉力未从变成之前，因此最大功率。17．48，6。图像下方的面积表示拉力做的功，0~内拉力做功，这段时间内拉力的平均功率为。18．，。汽车达到最大速度时，牵引力等于阻力，即，对应的发动机功率，这段时间内发动机做的功。19．5.36；。由题意，人克服阻力做功的功率为，则，人跑步克服阻力做功为，肌肉消耗能量做功的效率，则。20．。设肌肉的横截面为边长为的正方形，为方便起见，取长也为的肌肉作为研究对象。肌肉截面积，肌肉的体积，肌肉的质量，则，。肌肉施力的大小，设肌肉伸缩速率为，则肌肉伸缩的功率，因为，，均为恒量，因此可将功率表达式写为。第二节机械能自然界中的能量有很多，诸如电能、内能、化学能、核能等。机械能是重力势能、弹性势能和动能的总称。一、重力势能1．重力做功的特点当物体上升或者下降时，重力就会对物体做功，重力所做的功对应着物体与地球之间能量的变化。如图5.28所示，我们分别计算物体沿不同路径从高度运动至高度时，重力做的功。物体沿下落时，有。物体沿下落时，设与水平方向夹角为，则，因为，因此。可见，，无论物体沿着竖直方向下落，还是沿着倾斜直线下落，重力所做的功都等于重力大小与下降高度的乘积。这个结论可以用来求解沿下降时重力的功。将曲线分割成无限多的微元段，则每一个微元段可以视为倾斜的直线，微元段的竖直高度分别为，，，…，则综上可知，重力做功与物体的移动路径无关，只与物体的初、末位置的高度差有关，可以用来计算重力做的功，其中表示物体在初、末位置的高度差，如果物体有一定的形状和大小，则表示物体的重心在初、末位置的高度差。2．重力势能的定义重力做功时，对应着物体能量的变化。这种能量是由于物体与地球之间存在引力作用，而该种引力（重力）做功又与路径无关，只与初、末位置有关，物体和地球间的这种由相对位置决定的能叫做重力势能。重力势能是物体和地球所共有的，为了叙述方便，可以说成是某一物体的重力势能。重力势能的计算公式为，在国际单位制中，重力势能的单位是焦（）。式中是物体重心相对某个参考平面（零势能面）的高度，选择不同的参考平面，物体的高度不同，物体的重力势能也就不同，所以物体的重力势能具有相对性。但是物体从一个高度运动到另一高度，重力势能的变化量是绝对的，跟参考平面的选取无关，例如，质量为的物体从房顶落到地面，下落高度为，不论选择怎样的参考平面，该物体的重力势能总是减少。例1（上海第27届大同杯初赛）两个完全相同的正方体均匀物块，分别沿各自虚线切割掉一半，将剩余部分和按照图5.29所示位置摆放在同一水平面上，两物块的重力势能的比较结果为（）。A．比较大 B．比较大C．一样大 D．无法判断分析与解和质量相同，比较它们重力势能的大小，只需比较两者的重心高度即可。设原来正方体的边长为，则的重心高度为。的重心高度等于图中等腰直角三角形的重心高度，而三角形的重心在底边中线上，且重心距底边的距离为的中线长度，因此重心的高度，显然，选项正确。例2一根质量为、长为的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，桌面足够高，若在链条两端和中央各挂一个质量为的小球，如图5.30所示。由静止释放，当链条刚离开桌面时，重力做功为________，系统重力势能变化量为________。分析与解本题若要计算链条与铁球系统的重心下降高度，则较为烦琐，现利用“等效法”来处理。画出链条刚离开桌面时的位置如图5.31所示，并与链条的初始状态相比较，可见，原来位于链条中部和底部的两铁球的，相当于后来的，位置，其间的链条位置也相当于位置，未发生变化。整个链条下落的过程仅相当于桌面上的铁球运动到了最低处，以及间的链条运动到了处。由此，铁球下降的高度为，链条的重心下降了，则重力做的功为，系统重力势能减少了。二、弹性势能弹性势能是指物体由于发生弹性形变而具有的能量，拉伸的橡皮筋、被拉伸或被压缩的弹簧都具有弹性势能。弹性势能用表示，单位是焦耳。对弹簧而言，在弹性限度内，弹簧的弹力与其形变量成正比，即。利用图像，可以得出弹簧的弹性势能与形变量的关系。如图5.32（）所示，设弹簧在原长位置时的弹性势能为零。向右缓慢拉动弹簧时，弹簧的弹性势能的大小就等于弹簧克服拉力所做的功，也就是等于拉力对弹簧所做的功。由于拉力等于弹簧弹力，可画出拉力随弹簧形变量的关系，如图5.32（）所示，当弹簧形变为时，图下方三角形的面积即为拉力所做的功：，则弹簧的弹性势能为，其中为弹簧的劲度系数。三、动能动能是指物体由于运动而具有的能量，大小等于质量与速率平方乘积的一半，即，动能的单位是（焦耳）。注意动能公式中的“”是指速度的大小，即速率，当物体只是速度方向改变时，动能不变。动能没有方向，不能误以为物体运动的方向就是动能的方向。由于速度的大小与参考系有关，所以动能也具有相对性。例3某地强风的风速约为，空气密度（即体积为的空气质量为），如果把通过横截面积为的风能全部转化为电能，则利用上述物理量计算电功率的公式________，产生的电功率的大小约为________。分析与解经过时间，有长度为的空气柱通过截面，如图5.33所示，则时间内通过截面的空气柱体积为，空气柱的质量，空气柱的动能，由于风的动能全部转化为电能，得电功率，代入数据可得。四、机械能和机械能守恒在物理学中，重力势能、弹性势能和动能统称为机械能。机械能是用来表示物体的机械运动状态的物理量，一个物体可能同时具有动能、重力势能等，物体的机械能就是这些能量的总和。对于一般的单个运动物体，我们考虑其动能和重力势能比较多，因此通常情况下所说的物体的机械能往往是动能与重力势能之和。不同形式的机械能之间可以相互转化，比如物体从高处下落时重力势能可以转化为动能，压缩的弹簧把木块弹开时弹性势能转化为动能等，实现这种相互转化的条件是做功。当只有重力或者是弹簧的弹力做功时，物体（包括弹簧）的机械能总和保持不变，即机械能守恒。机械能守恒是指动能和势能相互转化但总和不变，即势能的变化量等于动能的变化量。在分析物体机械能转化情况时，尤其要注意机械能是只在一个物体内转化，还是在不同的物体之间转化。例4如图5.34所示，小球从点自由落下，在点恰与竖立在地面上的弹簧接触，并在点将弹簧压缩得最短，计空气阻力，则下列说法正确的是（）。A．小球从点下落到点的过程中，小球机械能守恒B．小球从点下落到点的过程中，小球机械能守恒C．小球在点速度达到最大D．小球在点时弹簧的弹性势能小于小球在点时的重力势能分析与解小球从点下落到点的过程中，不考虑空气阻力，则只有重力做功，小球的重力势能减少，动能增加，减少的重力势能全部转化为小球的动能，因此，这个过程小球的机械能守恒，选项正确。小球从到的过程中，小球在点和在点速度均为零，小球减少的重力势能最终并未转化为小球的动能，而是转化为弹簧的弹性势能，因此，小球的机械能减少，减少的那一部分机械能转化为弹簧的弹性势能，选项B错误。小球到达点时，弹簧还未被压缩，小球在点还要加速，当弹簧的压缩量很小时，弹簧对小球的弹力也很小，小于重力，那么小球仍要向下加速，可见，点并不是小球速度最大的位置，速度最大的位置（弹力等于重力的位置）应在，两点之间，选项C错误。当小球到达点时，弹簧被压缩得最短，小球速度为零，小球在点时的重力势能转化为弹簧的弹性势能与小球在点的重力势能，因此，选项D正确。本题正确选项为AD。例5如图5.35所示，一根质量分布均匀的木杆竖直立在水平地面上，在木杆倾倒过程中底部没有滑动，不计空气阻力。以地面为重力势能零点，则动能恰好与重力势能相等时，木杆与水平地面间的夹角为（）。A．15° B．30°C．45° D．60°分析与解木杆在倒地过程中，其机械能守恒。设木杆质量为，长为，则木杆初始状态动能为0，重心高度为，重力势能为，因此初始状态下的机械能为，设木杆动能与重力势能相等时，木杆与水平面的夹角为，则其重心高度为，重力势能为，此时的机械能为。由杆的机械能守恒，得，即，显然，。选项正确。五、功和能量变化的关系能量是一个状态量，一定的状态对应一定的能量；功是一个过程量，物体由一个状态变化到另一个状态，对应的能量发生了变化，这一个过程一定涉及做功；做功多少则能量变化多少。功和能的关系是：功是能量变化的量度。1．重力做功和重力势能变化的关系设一个质量为的物体，如果初状态时的高度为（相对于某一位置），重力势能为；末状态时的高度为，重力势能为，这一过程中，重力做的功。由上式可得：（1）若，表示物体高度下降，重力做正功，，即重力势能减少；若，表示物体高度上升，重力做负功，，即重力势能增加。（2）只要始末位置一定，即，一定，不管经过哪一路径，重力做的功就是一定的，即重力做功跟路径无关。2．外力做功和物体动能变化的关系设一个质量为的物体，初状态时的速度为，在恒定的外力的作用下，发生一段位移，的方向与速度方向相同，末状态时的速度为，则有外力做的功，如果物体受几个力，上述结论仍正确，但是所有外力对物体做的功的代数和。上式表示：外力对物体做的功等于物体动能的增量。这一结论叫做动能定理。从上式可得：合外力是动力，物体的动能就增加，增加的动能等于动力对物体所做的功。合外力是阻力，物体的动能就减小，物体克服阻力做的功等于物体动能的减少量。例6（上海第27届大同杯初赛）如图5.36所示，一个质量为的圆环在一根固定的水平粗糙直杆上，现给环一个向右的初速度，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力的作用，已知力的大小（为常数，为环的运动速度），物体的动能与速度的关系为，则环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功（杆足够长）可能为（）。A． B．0C． D．分析与解本题中由于力与速度有关，因此杆对环的弹力也在发生变化，则环受到的摩擦力大小也随速度变化，直接求解环克服摩擦力做的功有困难。由于环运动过程中只有摩擦力做功，则环克服摩擦力做的功等于其动能的减少量。下面分情况讨论环的运动情况：①若初始时，即，，则杆对环的弹力，滑动摩擦力为零，环恰以速度做匀速直线运动，克服摩擦力做功为零。选项正确。②若初始时，即，则杆对环的弹力，方向垂直于杆向下，环受滑动摩擦力，因此环将减速，而随着环速度的减小，力逐渐减小，当力减小到时，即环的速度时，杆对环的弹力，滑动摩擦力为零，此后环保持这个速度做匀速直线运动，因此环克服摩擦力做功为，选项正确。③若初始时，即，则杆对环的弹力，方向垂直于杆向上，环受滑动摩擦力而减速，随着环速度的减小，力逐渐减小，而弹力逐渐增大，滑动摩擦力逐渐增大，直至环速度减为零。因此，环克服摩擦力做功为，选项正确。综上所述，本题正确选项为。3．外力做功与机械能变化的关系如果除了重力（和弹力）外，还有其他外力对物体做功，则物体的机械能不守恒，机械能和其他形式能之间发生转化。若其他力做正功，物体的机械能增加；其他力做负功，物体的机械能减少。用表示重力和弹簧弹力以外的力做的功，，分别表示物体初、末状态的机械能，则有，即除重力、弹力以外的其他力做的功等于物体机械能的增加量。例7（上海第30届大同杯初赛）滑块以某初速度从固定的粗糙斜面底端向上运动，然后又滑回到斜面底端，若滑块向上运动的距离中点为，取斜面底端重力势能为零，则滑块（）。A．上滑过程机械能减小，下滑过程机械能增大B．上滑过程机械能减小，下滑过程机械能也减小C．上滑至点时动能大于重力势能D．下滑至点时动能大于重力势能分析与解设滑块的质量为，受到的摩擦力为；滑块上滑的高度为，通过的路程为。根据能量关系，滑块在最开始具有的动能为。当滑块上滑至斜面中点时，具有的重力势能为；具有的动能为。所以，此时动能大于重力势能。当滑块下滑至斜面中点时，具有的重力势能为；具有的动能为。所以，此时动能小于重力势能。本题正确选项为。利用功能关系，可以求解变力做的功，即只需要确定变力所做的功等于哪些能量的变化，求出这些能量的增减情况，就可以得出变力做功的值。例8（上海第27届大同杯初赛）如图5.37所示，容器的质量为，若从容器的底部通过小孔向容器内注入质量为的水，需要做功为。现将小孔打开，水自然会从小孔流出，与此同时提升容器，使容器内的水面相对地面始终保持原有高度，当容器内的水全部流走时，需要做的功为（）。A． B．C． D．分析与解本题中的变力较为复杂，所做的功也显然无法用第一节中求变力做功的几种方法求解，因此可以考虑利用功能关系来求解。通过小孔向容器内注入质量为的水，需要做功为，设这些水的重心高度为，则水的重力势能，即。当提升容器，使得水面高度恒为时，实际上相当于将水的重心提高了的高度，因此要对水做功，而容器最终被提升的高度为，因此对容器做的功，所以，提升容器时需要做的总功为，选项正确。练习题1．长为的细绳，一端被固定于点，另一端系住一个质量为的小球，若让小球从图5.38中的点下摆至最低位置点，小球的重力势能减少了（）A． B．C． D．2．下列有关动能的叙述，正确的是（）。A．甲、乙两物体质量之比为，它们的速度之比为，则两物体的动能是相等的B．甲、乙两物体质量之比为，它们的速度之比为，则两物体的动能之比为4：1C．甲、乙两物体质量之比为，它们的速度之比为，则两物体的动能之比为2：1D．甲、乙两物体质量之比为，它们的速度之比为，则两物体的动能之比为1：43．（上海第7届大同杯复赛）一只垒球以某一速度飞向木栅栏，会被木栅栏弹回来，而一辆汽车以相同的速度撞向这一栅栏，木栅栏就会被汽车撞坍，这是因为汽车（）。A．具有较大的势能 B．具有较大的动能C．具有较大的弹性 D．具有较大的功率4．（上海第9届大同杯复赛）如图5.39所示，用倾斜放置的传送带将货物匀速地自低处运送到高处。在这一过程中，货物的重力势能不断增加。这是因为（）。A．静摩擦力做功 B．重力做功C．支持力做功 D．动能转化为势能5．（上海第10届大同杯复赛）两辆汽车分别在水平公路和盘山公路上行驶，如果它们的牵引力相同，当它们行驶了相同的路程后，汽车牵引力所做的功分别为和，则（）。A． B．C． D．条件不足，无法比较6．（上海第31届大同杯初赛）如图5.40所示，弹簧开始处于原长，在物体由静止释放后下降的过程中（）。A．物体的动能与下降的距离成正比B．物体重力势能的变化量与下降的距离成正比C．弹簧的弹性势能与下降的距离成正比D．物体的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小，后增大7．（上海第29届大同杯初赛）将小球竖直上抛，然后又落回到抛出点。小球向上过程的中点为，取抛出点的重力势能为零。若该球在整个过程所受的空气阻力大小不变，则小球（）。A．上升过程损失的机械能大于下降过程损失的机械能B．上升过程损失的机械能等于下降过程损失的机械能C．上升至点时的动能大于势能D．下落至点时的动能大于势能8．（上海第27届大同杯初赛）关于功、功率和机械效率相互关系的说法中，正确的是（）。A．机械效率越高，机械做功越快 B．做功越多的机械，机械效率越高C．功率越大的机械，做功越多 D．做功越快的机械，功率越大9．（上海第27届大同杯初赛）如图5.41所示，一轻质弹簧一端固定在墙上的点，另一端可自由伸长到点。今使一质量为的小物体靠着弹簧，将弹簧压缩到点，然后释放，小物体能在水平面上运动到点静止，已知；若将小物体系在弹簧上，在点静止释放，直到最后静止，小物体通过的总路程为，则下列说法中可能的是（）。A． B． C． D．10．（上海第26届大同杯初赛）如图5.42所示，长为的轻杆一端通过光滑铰链铰在竖直墙上，另一端装一轻小光滑滑轮，重力的物体通过细线经滑轮系于墙上点，平衡时恰好水平。现将点沿着竖直墙向上缓慢移动少许，重新平衡后轻杆受到的压力恰好也为，该过程中，外力所做的功至少为（数点后保留两位）（）。A． B．C． D．11．某物体速度增大为原来的3倍，则它的动能增大为原来的________倍。洒水车在洒水过程中匀速前进，则它的动能________，重力势能________（选填“减小”“增大”或“不变”）。12．某物体在离地高处具有的重力势能，该物体的质量为________，若将该物体移至离地高处，则它的重力势能增加了________．（取）13．一质量为且分布均匀、边长为的立方体金属块放在水平地面上，以地面为参照平面，则金属块的重力势能为________。14．（上海第8届大同杯复赛）已知铜的密度大于铝的密度。把质量相等的实心铜球和实心铝球静止地放在同一水平桌面上，如图5.43所示，则铜球具有的机械能________铝球具有的机械能；若它们都由图示位置掉落到水平地面上，则铜球减少的重力势能________铝球减少的重力势能（填“大于”“小于”或“等于”）。15．（上海第17届大同杯复赛）有报道说：台湾地区一家厂商发明了一种“手机自生能”技术，装上特制的电池，上下左右摇晃，即可产生电能，每摇一分钟可通话两分钟。如果将手机上下摇动一次，相当于将的重物举高，每秒约摇一次，则根据报道可知手机使用时的功率约为________（）。16．如图5.44所示，边长为、质量为的正方形均匀木板竖直放置在水平地面上，若以此板的一个顶点为支点，使木板在竖直平面内缓慢绕此支点转动，它的重力势能的最大值为________，此过程中外力做的功为________。17．（上海第26届大同杯复赛）交通运输中用“客运效率”来反映交通工具的某项效能，即客运效率=人数×路程/消耗能量。一个人骑电动自行车，消耗100万焦的能量可行驶30千米，一辆载有4人的普通轿车，消耗3200万焦的能量可行驶100千米，则电动自行车与这辆轿车的客运效率之比是________。有一种自动充电式电动车，前轮装有发电机，发电机与蓄电池连接。当骑车者用力蹬车或车自行滑行时，自行车就可以连通发电机向蓄电池充电，转化成电能储存起来。某人骑车以500焦的初动能在粗糙的水平路面上滑行，若关闭自动充电装置，让车自由滑行，其动能随位移变化关系如图5.45中的图线1所示；若启动自动充电装置，其动能随位移变化关系如图线2所示，则向蓄电池所充电能是________焦。18．如图5.46所示，一块质量为、边长为的立方体石块放在粗糙地面上，缓慢地翻动它，使石块移动距离，对石块至少要做多少功？如果用水平力推石块，使石块匀速移动距离，所做的功跟缓慢地翻动石块做的功一样多，则石块和地面之间的动摩擦因数为多少？19．（上海第9届大同杯复赛）某学生用质量不同的滑块以不同的速度，从地面沿倾角为的光滑斜面往上滑，如图5.47所示。他记录了滑块滑至最高点（此时小球速度为零）的高度，如表5.1所示.表5．1滑块质量123速度1.02.03.04.05.01.02.03.04.05.01.02.03.04.05.0高度0.050.200.450.801.250.050.200.450.801.250.050.200.450.801.25根据上述数据分析，归纳出：（1）小球能够达到的最大高度跟它在斜面底端的速度和质量有无关系，有何关系，并写出关系式。（2）若假定小球在地面的重力势能为0，且重力势能的大小跟小球离地高度成正比，跟小球质量成正比，则小球在斜面底端的动能与小球在斜面底端的速度、质量有何关系。参考答案1．D。先求出，两点的竖直高度差。点到点的竖直高度差为，则，间的竖直高度差为，重力势能的减少量。2．D。提示：动能的表达式为。3．B。垒球和汽车以相同的速度撞向栅栏，汽车能把栅栏撞坍，是因为汽车质量较大，具有较大的动能。4．A。物块受重力、支持力和静摩擦力的作用，其中支持力与传送带垂直，不做功，重力做负功。由于物块有相对于传送带下滑的趋势，静摩擦力方向沿传送带向上，静摩擦力与物块运动方向相同，使物体匀速上升，重力势能增加，因此静摩擦力对物块做正功是物块重力势能增加的原因。5．B。提示：汽