河南省信阳市实验高级中学高二数学理联考试题含解析

河南省信阳市实验高级中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(

) A．5年

B．6年

C．7年

D．8年参考答案：D2.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±） B．（14，±） C．（7，±2） D．（﹣7，±2）参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】设P的坐标为（m，n），根据抛物线的定义得m+2=9，解出m=7，再将点P（7，n）代入抛物线方程，解之可得n=±2，由此得到点P的坐标．【解答】解：设P（m，n），则∵点P到抛物线y2=8x焦点的距离为9，∴点P到抛物线y2=8x准线x=﹣2的距离也为9，可得m+2=9，m=7∵点P（7，n）在抛物线y2=8x上∴n2=8×7=56，可得n=±2，因此，可得点P的坐标为（7，±2），故选C．【点评】本题给出抛物线上一点P到焦点的距离，求点P的坐标，着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质的知识，属于基础题．3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有(

)A.1440种

B.960种

C.720种

D.480种参考答案：A4.若等比数列{an}满足a4?a6+2a5?a7+a6?a8=36，则a5+a7等于（）A．6 B．±6 C．5 D．±5参考答案：B【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列性质得a52+2a5?a7+a72=（a5+a7）2=36，由此能求出a5+a7的值．【解答】解：∵等比数列{an}满足a4?a6+2a5?a7+a6?a8=36，∴a52+2a5?a7+a72=（a5+a7）2=36，∴a5+a7=±6．故选：B．5.已知向量a=(-3,2),b=(2,m)且a⊥b,则m=

（

）．3

.3

. .参考答案：A6.执行右面的程序框图，输出的S是（

）A．－378

B．378

C．－418

D．418参考答案：D7.函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+在区间[0，]上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．0参考答案：B【考点】三角函数的最值．【分析】把函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式积特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）在区间[0，]上的最小值【解答】解：∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）∴当x∈[0，]时，∴﹣≤2x﹣≤，∴当2x﹣=﹣时，函数的最小值为，故选B．8.下列说法不正确的是

（

）A

空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B

同一平面的两条垂线一定共面；C

过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D

过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。

参考答案：D略9.如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是(

)A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90° D．AP+PD1的最小值为参考答案：C考点：棱柱的结构特征．专题：应用题；空间位置关系与距离．分析：利用DC1⊥面A1BCD1，可得DC1⊥D1P，A正确利用平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，得出平面D1A1P⊥平面A1AP，B正确；当A1P=时，∠APD1为直角角，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，C错；将面AA1B与面ABCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值．解答：解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P?面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴D正确．故选：C．点评：本题考查正方体的结构特征，空间位置关系的判定，转化的思想10.函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为A.0

B.1

C.2

D.4

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.展开式中的系数是

．参考答案：略12.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于

．参考答案：48【考点】双曲线的应用．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的性质求得|PF1|，作PF1边上的高AF2则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则△PF1F2的面积可得．【解答】解：∵双曲线中a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，∴∴△PF1F2的面积为S=故答案为：48．【点评】此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．13.将正偶数按下表排成5列：

第1列第2列第3列第4列第5列第1行

2468第2行16141210

第3行

18202224…

…2826

那么2014应该在第________行第_______列．参考答案：252,2略14.参考答案：15.函数在处的切线方程是

参考答案：略16.设若函数有大于零的极值点，则的范围

参考答案：17.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有

盏灯．参考答案：195【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可．【解答】解：由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，设塔的顶层灯的盏灯为x，则x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，解得x=3，可以得出塔的顶层和底层共有x+64x=195盏灯．故答案为：195．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于A、B两点，若，求直线的方程．参考答案：（Ⅰ）设抛物线的方程为（），由已知，到准线的距离为，即，所以，所以抛物线的方程为．

………3分（Ⅱ）设直线的方程为，，，由得，根据韦达定理，，．

整理得，解得．所以，直线的方程为或．

………10分19.如图，长方体AC1中，AB＝2，BC＝AA1＝1.E、F、G分别为棱DD1、D1C1、BC的中点．(1)求证：平面平面；2)试在底面A1B1C1D1上找一点H，使EH∥平面FGB1；(3)求四面体EFGB1的体积．参考答案：解：（1）

(2)取A1D1的中点P，D1P的中点H，连结DP、EH，则DP∥B1G，EH∥DP，∴EH∥B1G，又B1G?平面FGB1，∴EH∥平面FGB1.即H在A1D1上，且HD1＝A1D1时，EH∥平面FGB1.(3)∵EH∥平面FGB1，∴VE—FGB1＝VH—FGB1，而VH—FGB1＝VG—HFB1＝×1×S△HFB1，S△HFB1＝S梯形B1C1D1H－S△B1C1F－S△D1HF＝，∴V四面体EFGB1＝VE—FGB1＝VH—FGB1＝×1×＝.20.（本小题满分13分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.

参考答案：解：（Ⅰ）由题意，得，解得，

∴，∴所求双曲线的方程为（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，

由得（判别式）,

∴,∵点在圆上，∴，∴.21.（本题满分12分）已知均为正实数.（I）求证：；（II）求证：.参考答案：证明：（I）∴ 同理②③由①+②+③得：∴……………………6分（II）∵∴……………..12分

22.下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：x34567y2.5344.56（1）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？附：=，a=﹣．参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（1）由题意，计算、，求出回归系数，、，写出回归直线方程；（2）计算x=100时的值，预测生产100吨甲产品的生产能耗，再