浙江省宁波市慈溪慈济中学2022年高二数学理模拟试题含解析

浙江省宁波市慈溪慈济中学2022年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列中，，则数列的前11项和S11等于（

）A.24

B.48

C.66

D.132参考答案：D2.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为

(

)14

24

28

48参考答案：A略3.已知两条直线和互相垂直，则等于A.2

B.1

C.0

D.参考答案：D略4.若曲线y=x3在点P处的切线斜率为k=3，则点P的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，1），（﹣1，﹣1） D．（2，8），（﹣2，﹣8）参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出点P的坐标（），由函数在点P处的导数值等于3求得x0=±1．则P点坐标可求．【解答】解：设P（），由y=x3，得y′=3x2．∴．∵曲线y=x3在点P处的切线斜率为k=3，∴，解得：x0=±1．当x0=1时，；当x0=﹣1时，．则点P的坐标为（1，1），（﹣1，﹣1）．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．5.用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长（较长的边）和宽选用的金属材料的价格分

别为3元/米和5元/米，且长和宽必须是整数米，现预算花费不超过100元，则做成矩形框架围成的最大面积是

（

）

A．40米2

B．30米2

C．20米2

D．35米2参考答案：A略6.已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为()A．4

B．3 C．2

D．1参考答案：C7.执行右图的程序框图，若输出的，则输入整数的最大值是（

）A．15

B．14

C．7

D．6参考答案：A8.若，则等于

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略9.在同一坐标系中，方程与的图象大致是

参考答案：D略10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=4，A=，则该三角形面积的最大值是（）A． B． 3C．4 D．4参考答案：C考点：三角形的面积公式．

专题：解三角形．分析：由余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积的最大值即可．解答：解：由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即16=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤16，∴S△ABC=bcsinA≤4，则△ABC面积的最大值为4．故选：C点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是______．参考答案：【分析】易知时，单调递减；当时，利用导数得到单调性和极值，从而可得函数的图象；将问题变为与有三个交点，利用图象可得到所求范围.【详解】当时，，则时，，在上是减函数时，，在上是增函数时，取极小值，又时，，当且时，据此作出函数的图象如下图所示：函数有个零点，等价于与有三个交点由图象可知，当时，直线与函数的图象有个不同的交点时，函数有个零点本题正确结果：【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为曲线与直线交点个数问题，通过导数研究函数的单调性和极值，从而可确定函数的图象，利用数形结合求得结果．12.若=，=，则=_________；参考答案：略13.设是定义在上的奇函数，则

．参考答案：014.已知M（－1，3），N（2，1），点P在x轴上，且使PM+PN取得最小值，则最小值为

参考答案：515.已知两条直线和互相平行，则等于

参考答案：1或-316.若第一象限内的动点满足，则以P为圆心，R为半径且面积最小的圆的方程为_________．参考答案：略17.在由四条直线围成的区域内任取一点，这点没落在和轴所围成区域内的概率是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线相切。(1)求圆O的方程；(2)若圆O上有两点M，N关于直线对称，且，求直线MN的方程；参考答案：（1）（2）或【分析】（1）直接利用点到直线的距离公式求出半径，即可得出答案。（2）设出直线，求出圆心到直线的距离，利用半弦长直角三角形解出即可。【详解】解（1），所以圆的方程为（2）由题意，可设直线的方程为则圆心到直线的距离则，即所以直线的方程为或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题。19.已知函数，，

为自然对数的底数．（1）若，，证明：当时，恒成立；（2）若，，f(x)在(0,+∞)上存在两个极值点，求a的取值范围．参考答案：（1）详见解析；（2）.【分析】（1）根据导函数求出函数的单调性得函数的最值，即可得证；（2）求出导函数，将问题转化为讨论的零点问题.【详解】解：（1）由题知，

，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，当时，，命题得证；（2）由题知：，，所以与，在上正负同号，当时，没有零点，在上没有极值点；当时，令，则当时，，在）上单调递减，当时，，在上单调递增，若，即，，在上没有极值点若，即；因为，所以在上有1个零点；

由（1）知：所以，所以在上也有1个零点；

所以，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当时，在上有两个极值点：；所以【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性，解决函数的最值问题，根据函数函数的极值点个数求参数的取值范围，涉及转化与化归思想.20.我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）.（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求的分布列与数学期望.参考答案：（1）（2）见解析【分析】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.(1)设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则,从而可得结果；(2)的可能取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望.【详解】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.（1）设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则,.（2）的可能取值为0，1，2，3，4，，，=，,，,，，∴的分布列为01234

∴.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.21.集合A={(x,y)|y=－x2+mx－1},B={(x,y)|y=3－x,0≤x≤3}.（Ⅰ）当m=4时，求；（Ⅱ）若，求实数m的取值范围．参考答案：（Ⅰ），解得，所以（Ⅱ）原问题等价于方程在上有解，则或，解得22.正方体，，E为棱的中点．(1)求证：；(2)求证：平面；（3）求三棱锥的体积．

参考答案：解：解：(1)证明：连结，则//，

…………1分∵是正方形，∴．