浙江省宁波市慈溪龙山中学高二数学理月考试题含解析

浙江省宁波市慈溪龙山中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2015秋?辽宁校级月考）已知数列{an}中，a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，则a2009=（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3参考答案：B【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】计算题．【分析】由已知条件变形可得数列{an}的周期为6，可得a2009=a5，在由已知条件求得a5即可【解答】解：由条件an+2=an+1﹣an可得：an+6=an+5﹣an+4=（an+4﹣an+3）﹣an+4=﹣an+3=﹣（an+2﹣an+1）=﹣[（an+1﹣an）﹣an+1]=an，于是可知数列{an}的周期为6，∴a2009=a5，又a1=3，a2=6，∴a3=a2﹣a1=3，a4=a3﹣a2=﹣3，故a2009=a5=a4﹣a3=﹣6．故选B【点评】本题考查数列的周期性，得出周期为6是解决问题的关键，属基础题．2.设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略3.不等式的解集是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.已知表示把M中的元素x映射集合N中仍为x，则等于（

）A.0

B.1

C.-1

D.1参考答案：B5.已知直线y=kx+3与圆x2+y2﹣6x﹣4y+5=0相交于M，N两点，若|MN|=2，则k的值是（）A．2或﹣ B．﹣2或﹣ C．﹣2或 D．2或参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再利用弦长公式求得k的值．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣4y+5=0即（x﹣3）2+（y﹣2）2=8，当|MN|=2时，圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d==∵d=，∴=，求得k=﹣2或，故选：C．6.如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数，那么最长边的长度为(

)

(A)3

(B)4

(C)6

(D)7参考答案：B略7.设双曲线=1的两焦点分别为F1，F2，P为双曲线上的一点，若PF1与双曲线的一条渐近线平行，则?=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得两焦点的坐标和渐近线方程，可设PF1与直线平行，求得平行线的方程代入双曲线的方程，求得P的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：由双曲线=1的a=，b=1，c=2，得F1（﹣2，0），F2（2，0），渐近线为，由对称性，不妨设PF1与直线平行，可得，由得，即有，，?=﹣×+（﹣）2=﹣．故选B．8.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则两球在正方体的面上的正投影是

A.

B.

C.

D.

参考答案：B略9.函数在上为增函数，在为减函数，则的值为（）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，则中间项系数是

.参考答案：462略12.若定义在区间D上的函数，对于D上的任意n个值，总满足，则称为D上的凸函数。现已知在上是凸函数，则在锐角三角形ABC中，的最大值是___________。参考答案：【分析】利用已知结论，可将转化为的余弦求解，再由为定值，即可求解，得到答案．【详解】利用已知条件，可得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，利用已知条件得到式子的运算规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．13.将全体正奇数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为

．参考答案：n2﹣n+5【考点】F1：归纳推理．【分析】根据数阵的排列规律确定第n行（n≥3）从左向右的第3个数为多少个奇数即可．【解答】解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n﹣1）=个，则第n行（n≥3）从左向右的第3个数为为第个奇数，所以此时第3个数为：1=n2﹣n+5．故答案为：n2﹣n+5．14.已知曲线在点（1,1）处的切线与曲线相切,则a=

．参考答案：8试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．15.在等比数列中，若前项之积为，则有。则在等差数列中，若前项之和为，用类比的方法得到的结论是_______。

参考答案：16.在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状为．参考答案：等腰三角形【考点】三角形的形状判断．

【专题】计算题．【分析】利用正弦定理，将等式两端的“边”转化为“边所对角的正弦”，再利用两角和与差的正弦即可．【解答】解：在△ABC中，∵acosB=bcosA，∴由正弦定理得：sinAcosB=sinBcosA，∴sin（A﹣B）=0，∴A﹣B=0，∴A=B．∴△ABC的形状为等腰三角形．故答案为：等腰三角形．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理，考查转化思想，属于中档题．17.过点（，）且与极轴平行的直线的极坐标方程是．参考答案：ρ?sinθ=1【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先根据公式x=ρ?cosθ，y=ρ?sinθ，求出点的直角坐标，根据题意得出直线的斜率为0，用点斜式表示出方程，再化为极坐标方程．【解答】解：由x=ρ?cosθ==1，y=ρ?sinθ==1，可得点（，）的直角坐标为（1，1），∵直线与极轴平行，∴在直角坐标系下直线的斜率为0．∴直线直角坐标方程为y=1，∴直线的极坐标方程是ρ?sinθ=1．故答案为：ρ?sinθ=1．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了基本公式x=ρ?cosθ，y=ρ?sinθ，注意转化思想，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知且；：集合且.若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.参考答案：对p：所以．若命题p为真，则有

；对q：∵且∴若命题q为真，则方程无解或只有非正根．∴或,∴∵p,q中有且只有一个为真命题∴(1)p真，q假：则有；(2)p假，q真：则有；略19.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x﹣1被圆心在原点O的圆截得的弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点A在椭圆2x2+y2=4上，点B在直线x=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆C的位置关系，并证明你的结论．参考答案：【考点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设出圆O的半径为r，利用圆心到直线的距离d与弦长的一半组成直角三角形，利用勾股定理求出半径，即可写出圆的方程．（Ⅱ）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x2+y2=2相切．【解答】解：（Ⅰ）设圆O的半径为r，则圆心O到直线y=x﹣1的距离为d=，又直线被圆O所截得的弦长为，所以r2=+=2，所以圆O的方程为x2+y2=2．（Ⅱ）直线AB与圆x2+y2=2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．∵OA⊥OB，∴tx0+2y0=0，解得t=﹣．当x0=t时，y0=﹣，代入椭圆C的方程，得t=±．故直线AB的方程为x=±，圆心O到直线AB的距离d=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为y﹣2=（x﹣t），即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．圆心O到直线AB的距离d===．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．20.椭圆的左、右焦点分别是，且点在上，抛物线与椭圆交于四点A，B，C，D.（I）求的方程；（Ⅱ）试探究坐标平面上是否存在定点Q，满足?（若存在，求出Q的坐标；若不存在，需说明理由.）参考答案：（I）依题意有：所以所以椭圆的方程为：（Ⅱ）法一：由于椭圆和抛物线都关于轴对称，故它们的交点也关于轴对称，不妨设，则若存在点满足条件，则点心在轴上，设，联立则，由于所以又所以则即故坐标平面上存在定点，满足法二：由于椭圆和抛物线都关于轴对称，故它们的交点也关于轴对称，不妨设，则的中心依题意，只要探究的垂直平分线和轴的交点是否为定点.联立则，所以，直线：令得：为定值，故坐标平面上存在定点，满足.21.（本大题满分12分）如图，、为椭圆的左右焦点，P为椭圆上一点，且位于轴上方，过点P作x轴的平行线交椭圆右准线于点M，连接，（1）若存在点P，使为平行四边形，求椭圆的离心率e的取值范围；（2）若存在点P，使为菱形；①求椭圆的离心率；②设、，求证：以为直径的圆经过点B．参考答案：（1）设，则，∵，∴，由；（2）①，，∵，∴；②以为直径的圆方程为，下证满足方程，即…（＊），∵，∴，∴，∴（＊）成立，∴以为直径的圆经过点B．22.某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：30，27，9，14，33，25，21，12，36，23，乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39（1）根据两组数据完成甲乙运动员得分的茎叶图，并通过茎叶图比较两名运动员成绩的平均值及稳定程度；（不要求计算出具体数值，给出结论即可）（2）若从甲运动员的十次比赛的得分中选出2个得分，记选出的得分超过23分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎