四川省宜宾市思坡中学2022年高二数学理期末试卷含解析

四川省宜宾市思坡中学2022年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】几何概型．【分析】根据安全飞行的定义，则安全的区域为以棱长为1的正方体内，则概率为两正方体的体积之比．【解答】解：根据题意：安全飞行的区域为棱长为1的正方体∴p=故选B2.已知命题p1：函数在R为增函数，p2：函数在R为减函数，则在命题q1：，q2：，q3：和q4：中，真命题是A.q1，q3 B.q2，q3 C.q1，q4 D.q2，q4参考答案：C是真命题，是假命题，∴：，：是真命题.选C.3.某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1，2，3正常工作的概率都为），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：D

【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式

【解答】解：∵三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502），

∴三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p=，

设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，

B={超过1000小时时，元件3正常}，

C={该部件的使用寿命超过1000小时}，

则P（A）=1﹣（1﹣）2=，P（B）=，

故该部件的使用寿命超过1000小时的概率P（C）=P（AB）=P（A）P（B）==．

故选：D．

【分析】由已知得三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p=，设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）=1﹣（1﹣）2=，P（B）=，P（C）=P（AB）=P（A）P（B），由此能求出该部件的使用寿命超过1000小时的概率．

4.读如图21－3所示的程序框图，若输入p＝5，q＝6，则输出a，i的值分别为()图21－3A．a＝5，i＝1

B．a＝5，i＝2C．a＝15，i＝3

D．a＝30，i＝6参考答案：D5.如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE,BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于C、D，若∠AEB=,则∠PCE等于(

)A

B

C

D参考答案：C6.设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合的真子集共有（

）

A．3个

B．6个

C．7个

D．8个参考答案：C略7.已知函数，若同时满足条件： ①，为的一个极大值点；②，。则实数的取值范围是（

） A. B. C.

D.参考答案：A略8.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是(

)A．

B．C．

D． 参考答案：A9.设，，则满足条件，的动点P的变化范围（图中阴影部分含边界）是

(

）参考答案：A10.已知△ABC中，,,,那么角A等于

（

）A.135°

B.90° C.45°

D.30°参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若且，则实数的值是

．参考答案：略12.在等比数列中，，则数列的前10项的和为

参考答案：102313.已知椭圆+=1与双曲线﹣y2=1有共同焦点F1，F2，点P是两曲线的一个交点，则|PF1|?|PF2|=．参考答案：5略14.在极坐标系中，若点A在圆上，则点A到直线距离的最大值为________.参考答案：【分析】先由圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，加上半径，即可得出结果.【详解】由可得圆的直角坐标方程为；其圆心坐标为，半径为；由可得，直线的直角坐标方程为；所以圆心到直线的距离为，因点在圆上，所以，点到直线距离的最大值为.故答案为15.曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是．参考答案：2x﹣y﹣1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】求出导函数，令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程．【解答】解：y′=2x当x=1得f′（1）=2所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1）即2x﹣y﹣1=0故答案为2x﹣y﹣1=0【点评】本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率．16.设，那么实数a,b,c的大小关系是_________.参考答案：17.的二项展开式中，的系数是__________（用数字作答）．参考答案：10三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a，b，c，使等N+都成立，（1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论。参考答案：（1）；（2）见解析【分析】先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即1?22+2?32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），再递推到n=k+1时，成立即可．【详解】(1):假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1?22+2?32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）①令n=2，得22=（4a+2b+c）②令n=3，得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有1?22+2?32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．(2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，即1?22+2?32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，1?22+2?32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．【点睛】本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．19.英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词：每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）（1）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；（2）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数的分布列和期望。参考答案：（1）见解析（2）见解析【分析】（I）根据古典概型概率公式求解，（Ⅱ）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式得结果.【详解】（Ⅰ）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有个后两天学过的事件为，则由题意可得（Ⅱ）由题意可得ξ可取0，1，2，3，则有，，

所以的分布列为：0123

故.20.

(本小题满分15分)已知椭圆，直线与椭圆交于不同的两点。（1）．若直线与椭圆交于不同的两点，当时，求四边形面积的最大值；（2）在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率之积为定值。若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案：21.（本小题满分12分）在Δ中，角、、的对边分别是、、，且，（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，求Δ的面积。参考答案：（Ⅰ），，

（Ⅱ），，。，，；Δ的面积为。22.环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：空气污染指数(0，50](50，100](100，150](150，200](200，300](300，＋∞)空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号).王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.(1)求频率分布直方图中m的值；(2)若按分层抽样的方法，从空气质量等级为良与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率；(3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数112711731

根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.

空气质量优、良空气质量污染总计限行前

限行后

总计

参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考公式：，其中.参考答案：(1)0.003；(2)；(3)有.【分析】(1)因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，再利用概率和为1解得答案.(2)利用分层抽样得到空气质量良的天气被抽取的有4天，空气中度污染的天气被抽取的有2天，利用排列组合公式的到没有中度污染的概率，用1减得到答案.(3)补全列联表，计算，跟临界值表作比较得到答案.【详解】(1)因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.05×2＝0.1，由频率分布直方图可知(0.004＋0.006＋0.005＋m)×50＋0.1＝1，解得m＝0.003.(2)因为空气质量良