山东省聊城市冠县冠城镇第二中学高二数学理模拟试题含解析

山东省聊城市冠县冠城镇第二中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.点先后通过矩阵和的变换效果相当于另一变换是(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：D2.已知正四棱锥S--ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE,SD所成的角的余弦值为（

）A．

B． C．

D．参考答案：C3.i为虚数单位，复数在复平面内对应的点到原点的距离为（）A． B． C． D．1参考答案：C【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，复数在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，1），到原点的距离为：．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.一次实验中，四组值分别为(1,2)、(2,3)、(3,5)、(4,6)，则回归方程为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】本题首先可以根据题目给出的四组值求出四组值的样本中心，然后根据回归方程的性质可知样本中心一定在回归方程上，最后将样本中心坐标代入选项中验算即可得出结果。【详解】因为四组值分别为、、、，所以，，回归方程必过定点，将点代入四个选项中可得点在直线上，故选C。【点睛】本题考查回归方程的相关性质，主要考查回归方程的求法，能否掌握数据的样本中心一定在回归直线方程上是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题。5.已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．【解答】解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．6.我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A． B． C． D．a参考答案：A【考点】F3：类比推理．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质【解答】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=a，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故选：A．7.“p或q为假”是“p且q为假”的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的性质结合复合命题的性质进行判断即可．解答： 解：若p或q为假，则p假q假，则p且q为假，是充分条件，若p且q为假，则p假或q假，推不出p或q为假，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了复合命题的判断，是一道基础题．8.设a1，a2，…，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件参考答案：A【考点】8G：等比数列的性质．【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．【解答】解：由a1，a2，…，an∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，若a1，a2，…，an成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=an=0，则a1，a2，…，an不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故选：A．9.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（

）

A． B． C． D．参考答案：C10.复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.或

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数满足则的最小值是

▲

．参考答案：12.按文献记载，《百家姓》成文于北宋初年，表1记录了《百家姓》开头的24大姓氏：表1：赵钱孙李周吴郑王冯陈褚卫蒋沈韩杨朱秦尤许何吕施张

表2记录了2018年中国人口最多的前10大姓氏：表2：1：李2：王3：张4：刘5：陈6：杨7：赵8：黄9：周10：吴

从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏，则这个姓氏是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为_____________.参考答案：【分析】在2018年人口最多的前10大姓氏中找出位于《百家姓》的前24位的姓氏，并确定这些姓氏的数目，再利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率。【详解】2018年中国人口最多的前10大姓氏也是《百家姓》的前24大姓氏的是赵、李、周、吴、王、陈、杨、张，共8个，故所求概率为，故答案为：.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题关键就是要确定所求事件所包含的基本事件数，考查计算能力，属于基础题。13.如图是y＝f(x)的导函数的图象，现有四种说法：(1)f(x)在(－3,1)上是增函数；(2)x＝－1是f(x)的极小值点；(3)f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数；(4)x＝2是f(x)的极小值点；以上正确的序号为________．参考答案：②略14.二项式的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是______.参考答案：【分析】先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n＝6，再求出其通项公式，令x的指数为0，求出r，再代入通项公式即可求出常数项的值．【详解】的展开式中只有第四项的二项式系数最大，所以n＝6．其通项公式Tr+1＝C6r?（）r?，令30，求得r＝2，可得展开式中的常数项为C62?（）2，故答案为．【点睛】本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大，考查通项公式的应用，是基础题15.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P（X≤1）等于

．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由P（X≤1）=P（X=0）+P（X=1），利用排列组合知识能求出结果．【解答】解：∵从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，∴P（X≤1）=P（X=0）+P（X=1）==．故答案为：．16.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是

．

参考答案：如图，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体的棱长为，过作于．

因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）．又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．17.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中第100项的值是(

)A.10

B.13

C.14

D.100

参考答案：C略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设椭圆的方程是（），离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为.⑴求椭圆的方程；⑵是否存在过点的直线与椭圆交于两点，且满足（其中为坐标原点）？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。参考答案：解：⑴由已知，，

…3分解得，所以椭圆的方程为

…6分⑵假设存在满足条件的直线l，其斜率存在，设斜率为k∴过点满足题意的直线…………7分由，消去得，…………8分令，解得.

…9分设两点的坐标分别为则因为，所以，即所以所以…12分解得.…13分此时满足综上，过点存在直线与椭圆交于两点，且满足；的方程为

…14分略19.已知圆O的方程为x2+y2=5．（1）P是直线y=x﹣5上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，求证：直线CD过定点；（2）若EF、GH为圆O的两条互相垂直的弦，垂足为M（1，1），求四边形EGFH面积的最大值．参考答案：【考点】圆的标准方程．【分析】（1）设P的坐标，写出以OP为直径的圆的方程，与圆方程联立即可求得直线CD的方程，结合P在直线y=x﹣5，利用线系方程证明直线CD过定点；（2）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1、d2，则且，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得四边形EGFH面积的最大值．【解答】（1）证明：设P（x0，y0），则，由题意，OCPD四点共圆，且直径是OP，其方程为，即x2+y2﹣x0x﹣y0y=0，由，得：x0x+y0y=5．∴直线CD的方程为：x0x+y0y=5．又，∴，即（2x+y）x0﹣10（y+1）=0．由，得：．∴直线CD过定点；（2）解：设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1、d2，则．∴，故．当且仅当，即d1=d2=1时等号成立．∴四边形EGFH面积的最大值为8．20.已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{bn}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；（II）若cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（I）数列{an}的前n项和sn=n2﹣n，当n=1时，a1=s1；当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1．可得an．利用等比数列的通项公式可得bn．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）数列{an}的前n项和sn=n2﹣n，当n=1时，a1=s1=0；当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=（n2﹣n）﹣=2n﹣2．当n=1时上式也成立，∴an=2n﹣2．设正项等比数列{bn}的公比为q，则，b2=q，b3=q2，3a2=6，∵3a2是b2，b3的等差中项，∴2×6=q+q2，得q=3或q=﹣4（舍去），∴bn=3n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn==，∴数列{cn}的前n项和Tn=…①．Tn=…②①﹣②得Tn==2×=1﹣．∴Tn=．【点评】本题考查了数列的递推式的处理，及等差数列、等比数列的通项，错位相减法求和，属于中档题．21.已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．

(1)讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；

(2)设g（x）=﹣，若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范围．

参考答案：（1）解：f（x）=x﹣alnx，（x＞0），

f′（x）=1﹣=，

①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）无极值；

②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，

∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，

f（x）有1个极小值点；

（2）解：若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，

令h（x）=f（x）﹣g（x），即h（x）最小值＞0在[1，e]恒成立，

则h（x）=x﹣alnx+（a∈R），

∴h′（x）=1﹣﹣=，

①当1+a≤0，即a≤﹣1时，在[1，e]上为增函数，f（x）min=f（1）=1+1+a＞0，

解得：a＞﹣2，即﹣2＜a≤﹣1，

当a＞﹣1时

①当1+a≥e时，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，

∴f（x）min