福建省福州市碧里乡牛坑中学高二数学理模拟试题含解析

福建省福州市碧里乡牛坑中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

如右图所示，正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，分

别是的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（）A．

B．

C．

D．随点的变化而变化。参考答案：B2.下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；②f(－)是极小值，f()是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值．A．①③

B．①②

C．②

D．①②③参考答案：B3.在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知数列的前项和，若它的第项满足，则（

）A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8参考答案：B当n=1时，，即当时，令，解得：，∴故选：B

5.某地区一次联考的数学成绩X近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为（

）A．4

B．6

C．94

D．96参考答案：A由题可得：又对称轴为85，故，故成绩小于分的样本个数大约为100×0.04=4,故选A.

6.用秦九韶算法求n次多项式，当时，求需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（

）A．

B．n,2n,n

C．0,2n,n

D．0,n,n参考答案：D7.若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则的值为A．-

B．

C．-2

D．2参考答案：A8.已知B、C两点在双曲线上，且关于中心O对称，焦点F1和B点都在y轴的右侧，，则双曲线的离心率是(

)A.2+

B.3+

C.

D.参考答案：D9.“a是2的倍数”是“a是4的倍数”的（

）条件A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要参考答案：B略10.一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人按先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向数轴的正方向，以1步的距离为1个单位长度．用P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）=0则下列结论错误的是（）A．P（3）=3 B．P（5）=1 C．P（2003）＞P（2005） D．P（2008）＜P（2010）参考答案：D【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】按“前进3步后退2步”的步骤去算，发现机器人每5秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导，就可得出正确选项．【解答】解：根据题中的规律可得：P（0）=0，P（1）=1，P（2）=2，P（3）=3，P（4）=2，P（5）=1，P（6）=2，P（7）=3，P（8）=4，P（9）=3，P（10）=2，P（11）=3，P（12）=4，P（13）=5，P（14）=4，P（15）=3，…以此类推得：P（5k）=k，P（5k+1）=k+1，P（5k+2）=k+2，P（5k+3）=k+3，P（5k+4）=k+2，（k为正整数），故P（3）=3，P（5）=1，故A和B同时正确，∴P（2003）=403，且P（2005）=401，∴P（2003）＞P（2005），故C正确；P（2008）=401+3=404，P（2010）=402，∴P（2008）＞P（2010），故D错误．故选：D．【点评】本题主要考查了数列的应用，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.2-3,,log25三个数中最大数的是

_,参考答案：log2512.已知实数x，y满足，若z=x+y的最小值是﹣3，则z的最大值为

．参考答案：6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最小值，得到k值，再把最大值时最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（k，k），联立，解得B（﹣2k，k），由z=x+y，得y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过B（﹣2k，k）时，直线在y轴上的截距最小为﹣k=﹣3，则k=3．当直线y=﹣x+z过A（k，k）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2k=6．故答案为：6．13.在（2x+1）（x﹣1）5的展开式中含x4项的系数是

．（用数字作答）参考答案：15【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】把多项式按乘法展开，将问题转化为二项展开式的系数问题；利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，分别令x的指数为3，4求出展开式含x3，x4项的系数；再求（2x+1）（x﹣1）5展开式中含x4项的系数．【解答】解：（2x+1）（x﹣1）5=2x（x﹣1）5+（x﹣1）5，∴（x+2）（x﹣1）5展开式中含x4项的系数为（x﹣1）5展开式中x4系数与x3系数的2倍之和；∵（x﹣1）5展开式的通项为Tr+1=（﹣1）rC5rx5﹣r，令5﹣r=4，得r=1；∴展开式中含x4的系数为﹣5；令5﹣r=3，得r=2；∴展开式中含x3的系数为10；∴（2x+1）（x﹣1）5展开式中含x4项的系数为（﹣5）+2×10=15．故答案为：15．14.曲线在点处的切线方程是_____________参考答案：略15.已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为

．参考答案：略16.若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是_______.参考答案：a≤8略17.设，则实数=

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：和直线l：x+y﹣4=0，求椭圆上的点到直线l的距离的最小值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆上的点P（cosθ，sinθ），利用点到直线的距离公式和三角函数性质能求出椭圆上的点P到直线l的距离的最小值．【解答】解：椭圆C：和直线l：x+y﹣4=0，设椭圆上的点P（cosθ，sinθ），∴椭圆上的点P到直线l的距离：d==，∴当sin（）=1时，椭圆上的点到直线l的距离取最小值dmin=1．【点评】本题考查点到直线的距离的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．19.如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点，记CD=x，V（x）表示四棱锥F﹣ABCD的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）求V（x）的最大值．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由于FA⊥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，可得FA⊥平面ABCD．由于BC=2，BD⊥CD，CD=x，可得DB=（0＜x＜2）．∴S平行四边形ABCD=2S△BCD．即可得出V（x）=．（2）由基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵四边形ADEF为正方形，∴FA⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，∴FA⊥平面ABCD．∵BC=2，BD⊥CD，CD=x，∴DB=（0＜x＜2）．∴S平行四边形ABCD=2S△BCD=2×=．∴V（x）===．（0＜x＜2）．（2）由基本不等式的性质可得：V（x）=，当且仅当，即x=时取等号．∴V（x）的最大值是．【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，G分别是PA，PB，BC的中点；（1）求直线EF与平面PAD所成角的大小；（2）若M为线段AB上一动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证AB⊥平面PAD，推出EF⊥平面PAD，即可求解直线EF与平面PAD所成角．（2）取AD中点O，连结OP．以O点为原点，分别以射线OG，OD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面EFG的法向量，求出，利用直线MF与平面EFG所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD所以AB⊥平面PAD．…又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD，所以直线EF与平面PAD所成角的为：．…（2）取AD中点O，连结OP，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD所以PO⊥平面ABCD…如图所示，以O点为原点，分别以射线OG，OD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣2，0），B（4，﹣2，0），，，G（4，0，0）所以，…设平面EFG的法向量为，由即可取…设…即（xM，yM+2，zM）=λ（4，0，0），解得，即M（4λ，﹣2，0）．故…设直线MF与平面EFG所成角为θ，，…解得或．…因此AM=1或AM=3．…21.已知数列{an}的第1项a1=1，且an+1=．（1）计算a2，a3，a4；（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法进行证明．参考答案：【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．【分析】（1）利用递推关系式可求出a2，a3，a4的值．（2）通过观察归纳出规律，从而猜想其通项公式，即可用数学归纳法证明．【解答】解：（1）由题意可得：a2===，a3===，a4===…3分（2）通过观察归纳出规律：其通项应是一个真分数，分子为1，分母与相应的下标相同，故猜想an=（n∈N*）．…6分用数学归纳法证明如下：①当n=1时，猜想显然成立；②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即：ak=，那么，ak+1===，所以，当n=k+1时猜想也成立．根据①②，可知猜想对任何n∈N*都成立…14分【点评】本题主要考查了数学归纳法的应用，正确理解递推关系并求出数列的前几项和使用归纳推理是解题的关键，属于中档题．22.（本小题满分12分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设cm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包