数形结合思想在中学数学教学中的应用1

数形结合思想在中学数学教学中的应用学生姓名：张夏学号：20075030050数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师：张留伟职称：讲师摘要：本文首先给出了数形结合思想的主要内容，然后从三个方面结合实例具体地分析了数形结合思想在中学数学教学中的应用．关键词：数;形;数形结合思想;数形结合TheApplicationsofNumberShapeUnionThoughtinmiddleschoolmathematicalteachingAbstract：Thisarticlefirstlyintroducedmaincontentsaboutthenumbershapeunionthought,thenunifiedmanyexamplesfromthreeaspectstospecificlyanalyzethenumbershapeunioninmathematicsapplication.Keywords：Number；Shape；Numbershapeunionthought；Numbershapeunion0前言数形结合的思想方法是中学数学中的一种重要的思想方法．数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形是数学知识体系中的两大根底概念，把刻画数量关系的数和具体直观的图形有机结合，根据研讨问题的需要，把数量关系的比拟转化为图形性质或位置关系的讨论，或把图形的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数形结合的思想方法．数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠联璧合，相映生辉．著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.有些数量关系，借助图形的性质，可以使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化；而图像的一些性质借助与数量的计算和分析，得以严谨化．初中生假设能掌握这种思想方法,那么对题目以后的学习和成长都会产生巨大的影响．下面我将列出中学数学中主要有哪些内容蕴藏着数形结合思想．1在中学数学中蕴藏着数形结合思想1.1有理数内容表达的数形结合思想数轴的引入是有理数内容表达数形结合思想的力量源泉．由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比拟，是通过这两个有理数在数轴上的对应位置关系进行的〔实数的大小比拟也是如此〕，相反数、对值概念那么是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的．尽管我们学习的是〔有理〕数，但要时刻牢记它的形〔数轴上的点〕，通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法那么．例1实数在数轴上的对应点如图1所示,化简〔图1〔图1〕答案：应用题内容隐含的数形结合思想列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就是要根据题意画出相应的示意图，这里隐含着数形结合的思想方法．例2一小船由港到港顺流需6小时，由港到港逆流需8小时．一天，小船从早餐6点由港出发顺流到港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，一小时后找到救生圈．问：〔1〕假设小船按水流速度由港漂流到港需要多少小时？〔2〕救生圈是在何时掉入水中的？分析〔1〕答：小船按水流速度由港漂流到港需用48小时．〔2〕如图2，设救生圈是在上午点钟落入水中点的．当小船由点顺流行驶到港时，救生圈由点顺流漂到点;当小船由港用一小时逆流行驶到点找到救生圈时，救生圈同时用一小时由点顺流漂到了点．于是,,，因为,所以有从而得到方程解方程，得11，所以救生圈是在上午11点钟掉入水中〔C点〕的．ACDEBACDEB〔〔图2〕不等式内容蕴藏着数形结合思想“九义”教材《代数》第一册〔下〕第六章内容是“一元一次不等式和一元一次等式组”，教学时，为了加深初一学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表达出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解．这里蕴藏着数形结合的思想方法．在数轴上表示数是数形结合思想的具体表达，而在数轴上表示数集，那么比在数轴上表示又前进了一步．确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效．相关内容的中考题，也着重考察学生对数形结合思想方法的应用．例3〔1〕解不等式并把它的解集在数轴上表示出来．〔2〕假设关于x的不等式组无解，那么的取值范围是〔〕．答案：〔1〕〔如图3〕〔2〕提示不等式组有解时，(如图4)，其中;不等式组无解时，(如图5)∴〔注意不要漏掉等号〕x〔图5〕x-3x〔图5〕x-30〔图3〕〔图4〕x函数及其图像内容凸显了数形结合思想由于在直角坐标系中，有序实数对〔,〕点P的一一对应，使函数与其图像的数形结合成为必然．一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提高了很大的帮助．因此，函数及其图像内容凸显了数形结合的思想方法．教学时老师假设注意了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果．〔A〕(B)(C)(D)xyyxxx〔A〕(B)(C)(D)xyyxxxyyxy0MN(图6)P〔2〕如图6，在反比例函数的图像上任取一点，过点分别作轴与轴的垂线，垂足分别为，那么四边形的面积为〔〕xy0MN(图6)P答案：〔1〕C(2)6初步统计内容融入了数形结合思想在初步统计中，一组数据反映在坐标平面上就是一群离散点．研究一组数据的集中趋势〔平均数、众数、中位数〕，相当于考察这群离散点的分布状态；而研究一组数据的波动大小〔方差、标准差〕，就相当于考察坐标平面上这群离散点的分布规律．这里融入了数形结合的思想方法，教学中老师假设注意到了这一数形结合的思想方法，可加深学生对平均数、众数、中位数、方差、标准差概念的理解．例5如图7是某单位职工的年龄〔取正整数〕的频率分布直方图，根据图形提供的信息，答复以下问题〔直接写出答案〕该单位职工共有多少人？不大于38岁但小于44岁的职工人数占总人数的百分比是多少？o26481012〔o26481012〔图7〕3436384042444648〔岁数〕〔人数〕答案：〔1〕该单位职工有50人．〔2〕不小于38岁但小于44岁的职工人数占总人数的60％．〔3〕年龄在42岁以上的职工15人．平面几何内容充满了数形结合思想平面几何研究的是图形的性质及其位置关系，然而平面几何内容中又充满了数形结合的思想和方法．例如，三角形的内角和定理、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比列定理、解直角三角形、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系、切线长定理、相交弦定理、正多边形的有关计算、三角形的面积、平行四边形的面积、梯形的面积、圆的面积、扇形的面积、弓形的面积等内容中，无一不与数量关系紧密相联．教学时老师假设注重了相应内容中表达出来的数形结合思想，对于学生学好平面几何无疑是大有脾益的．例6如图8，设为线段中点，是以为一边的正方形，以为圆心，为半径的圆与及其延长线相交与,证明：KKADEBC〔图8〕H分析此题一般可用几何证法，但下面代数的证法更显得数形结合简捷：设,那么,,又,,于是．例7如图9，是一块锐角三角形余料，边毫米，毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个定点分别在上，设该矩形的长毫米，宽毫米．(1)求证：；当与分别取什么值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ABCDEPNMQ〔图9〕分析(1ABCDEPNMQ〔图9〕即＝，y=120-．(2)设矩形的面积为，那么，即当=40时，S有最大值为2400，此时=60．∴当=40毫米时，=60毫米时，矩形的面积最大，最大面积为2400平方毫米．2结合中学生的特点，因材施教中学生的特点及数形结合思想教学的四个阶段由于生理和心理的特点，中学生的思维还处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，因而根本上，他们的思维仍然有感性经验相关联．“数形结合”就是把抽象的“数”转化为具体的“形”，通过解决具体的“形”而到达解决抽象的“数”，这种思想正符合初中生的心理特点，乐于被他们接受．因此，作为一项教学改革，需要我们教师在教学中加强这方面的训练指导，也需要我们的中学生加强这方面的练习．对中学生来说，数形结合思想的形成一般要经历四个阶段．由于数形结合的思想以知识为载体，但数学知识是逐步深化的，这就导致了在知识的不同开展阶段对数形结合思想的不同层次的要求，因此在考虑实施数形结合思想教学时主要可分四个阶段进行．第一阶段渗透孕育起期．由于学生刚升入中学，他们对数形结合的认识主要还停留在用线段图解应用题这种简单浅显的层次，因此这一时期的要求不能太高，因以“数轴”、“相反数”、“绝对值”、“有理数是计算”等内容为载体，以数轴为结合点．在数学中提出数与形的问题，使学生感受到“数”与“形”间存在着相互联系、相互转化的辩证关系．并且通过问题的解决，发觉到数轴的作用．如：设点在数轴上的数为-3，点在数轴上，且点到点的距离是5,那么点所表示的数是多少？这个对刚升入中学的学生来说比拟抽象，假设借助数轴将抽象的数的关系转化为直观的位置关系，那么问题就容易解决了．第二阶段体会领悟期．这一时期，代数以“不等式”的知识为载体继续向学生介绍数形结合思想，使学生明白如果不借助“数轴”这个工具，就不容易找出不等式组的解集．由此而领悟到，数形结合对解决数学问题不是可有可无的，而是一种非常重要的方法．另一方面，学生开始学习几何知识，几何入门比拟难，但借助以学过的代数知识，将直观图形数量化转化为代数运算加以解决，可降低机几何学习的难度．具体的做法有：不考虑几何问题中的位置关系，直接采用代数和的方法解题．例８如图10，,为锐角,平分,平分，求的度数．OAA aBCOAA aBCMN〔图10〕．通过几何知识的学习，使学生意识到数形结合思想不仅可以用“形”的直观表达抽象的数也可以将直观的图形数量化，转化为“代数运算”进而解决问题．这种领悟可以使学生对知识的理解到达更深刻的程度，同时也体会到数形结合思想在几何中也有广阔的应用背景．第三阶段形成尝试期．以平面几何知识为载体．由于知识深化“数”与“形”之间的因果关系不那么明显，因此学生在解决问题时很难将“数”与“形”有效的结合进行思考．这个阶段的教学可分为两个层次进行：①理解迁移．深刻理解数学知识中蕴含的数形结合思想，找出概念、定理、性质中“数”与“形”的特征．如勾股定理，代数的特征是是这三个数是某直角三角形的三边．解决相关问题时可以引导学生与已有的知识经验“直角三角形——求线段长——解方程”产生关联，找出解题途径．例9如图11点是矩形内一点，,,求的长．分析求线段的长度需要有直角三角形，但图中没有现成的直角三角形，故需添辅助线．解过作//交与,过作//交与与,并设,,，那么ABCDABCDEFMN(图11)P解得即．②提炼方法．作为第二层次的教学,应该引导学生从解决问题的技巧中提炼出蕴含数、形结合思想且又易于操作的方法．进而理解这些方法的实质．比方在一些问题的解决中,都用到从面积的角度去思考探索证明途径．这一技巧其实质就是利用公式(方程的思想)为问题的解决铺平道路．例10如图12在等腰中,,,是底边上任一点,求到两腰的距离的和．ABCDEF〔图12〕P解过作于,作于,过作于,连接,，即ABCDEF〔图12〕P,∴=∴=，即．第四阶段应用开展期．这个阶段主要以方程、函数和知识为载体,以解决问题为主要教学方式,突出数形结合思想在解题中的指导作用(见例12)．指导学生正确、迅速地找出问题中数形转化的等价关系,展现由“数”思“形”,由“形”定“数”的思维过程．例11(由“数”思“形”)解方程分析方程(2)可变形为:,显然,.由于(3)与勾股定理形式类似,因此可构造(13),使,并延长至使，,就把题中的数量关系转化为图中的几何关系,,ABCD∴,设ABCD∴在中∴〔图13〕∴〔图13〕∴,从而,．例12(由“形”定“数”)假设方程的两根满足:,,求的取值范围．xy13〔图14〕分析xy13〔图14〕原方程化为设依题意,画示意图(图14)从上看出当时，………①当时，………②,这样就把图中的几何条件转化为数的条件．与②组成不等式组解得．综上所述，在数学教学中应经常引导学生用图形直观地研究数、式问题，用数、式对图形性质进行更为丰富、精确、深刻的探讨．这对培养学生分析问题、解决问题的能力及用互相联系、互相转化的辩证唯物主义观点分析事物是大有裨益的．数形结合数形能培养学生哪些方面的能力中学阶段，数形结合中的“形”是数轴、函数图像、几何图形等．“数”是指代数、三角形等．数形结合就是充分利用“形”的直观性和“数”的准确性,培养学生思维的灵活性、广阔性是初中数学中值得探索的方法，那么学好数形结合究竟能提高学生哪些方面的能力呢？下面我将结合实际来谈谈．1．数形结合，培养解题思维的独创性思维的独立创造性是指敢于超越传统习惯的束缚,摆脱原有知识范围和思维定势的禁锢,善于把头脑中已有的知识信息重新组织,产生具有进步意义的新设想和新发现．利用形的直观性,探寻到具有创新意识的简捷妙法,可避开繁琐运算,简捷解题,提高解题速度,到达培养思维的独创性之目的．2．形结合，培养解题思维的准确性正确是指解题结果完全符合预期的设想．在解题过程中,准确是解题的关键．数形结合,可用利用“形”的直观性提高“数”的准确性．3．数形结合，培养解题思维的广阔性思维的广阔性是指思维活动中避开单一狭隘的思维模式，对所学知识融会贯穿,多角度、全方位思考问题、解决问题的程度．思维越广解决处理的方法越多．利用数形结合，用大树知识解决几何问题,或用几何知识解决代数问题，防止以代数解代数，几何解几何的单一模式．数形结合解题就是根据数量的特征与图形结构，使数与形相互转化,开辟解题新途径．4．数形结合,培养解题思维的灵活性思维的灵活性是指思维活动具有较高的灵活程度，能善于沿着不同角度，顺着不同方向，选择不同方法，对同一问题从多方位、多侧面的认识．数形结合思想引导学生多方位思考，审时度势，适时突破常规的思维定势，有利于培养解题思维的灵活性．中学生怎样去形成用数形结合思想解题的能力在中学阶段数形结合思想具体表达在用代数方法解决几何问题或几何方法解决代数问题．代数方法精确深刻，几何方法形象直观，两者的结合开辟了新的解题思路，能促进学生数学思维的开展．现在中学学生在代数中已经学过代数式、方程、函数，在几何中已经学过点、线、三角形、四边形、圆的知识，这两种学科间联系密切，是互相统一的．因此，我们必须重视数形结合的教学．1．加强学生对数形结合概念的理解代数和几何两种学科间的联系、两种知识面的统一是随着数轴、平面直角坐标系与函数的深入学习,才逐渐沟通与深化的．所以在这一段的教学中为使学生形成数形结合的统一意识，教师就要讲清数轴、平面直角坐标系、函数图像等的性质，应在知识领域理凸显数形结合的思想方法．2．坐标系的建立为数形结合开拓了思路数形结合的载体是数轴，数轴能反映出数与点的对应关系，这是学生学习数学的一大飞跃．运用数形结合的思想方法思考问题，能给抽象的数量关系以形象的几何凸显，也能把几何图形问题转化为数量关系问题去解决．通过数形结合的数学思想方法来学习相反数、绝对值的定义、有理数大小比拟的法那么、函数等，可以大大降低学生这些知识的难度．数形结合思想的教学应贯穿于整个数学教学的是始终．3．注意培养学生用数形结合的数学方法分析问题、解决问题的能力不管用代数方法研究几何问题,还是用几何图形研究代数式，都贯穿着数形结合方法分析问题和解决问题的思想．因此教师应加强对学生的数形结合意识的渗透和能力的培养．我们可通过数量关系的讨论来研究几何图形的性质，比方解析几何这门学科就是建立在这种思想方法的根底上，另一方面是利用几何图形的直观性，揭示数量关系的许多特征,深刻理解这一观点，有利于提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学素养．如列一元一次方程解应用题的关键在于分析题中的数量关系，可以通过画直线形(或圆形)示意图直观地显示出来．一旦学生掌握了这种数形结合的分析方法，对较为复杂的习题就能独立分析和解决了．4．善于观察图形,以揭示图形中蕴含的数量关系观察是人们认识客观事物的开始,直观是图形的根本特征,观察图形的形状、大小和相互位置关系,并在此根底上揭示图形中蕴含的数量关系,是认识、掌握数形结合的重要进程．正确绘制图形,以反映图形中相应的数量关系观察图形,既要定性也要定量,借助图形来完成某些题时,仅画出示意图是不够的,还必须反映出图形中的数量关系．切实把握“数”与“形”的对应关系,以图识性以性识图数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系,熟知这些对应关系,深化两者的联系,才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应图形的特征之间的关联,以求相辅相成,相互转化．灵活运用“数”与“形”的转化,提高思维的灵活性和创造性在中学数学中,数形结合的思想和方法表达得最充分的是解析几何,此外,函数与图像之间,复数与几何之间的相互转化也充分表达了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对于关系是实现转化的先决条件,而强化这种转化训练的那么是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．总之，在教学中教师应充分利用图形、图像,使学生正确理解和掌握所学的概念和知识，通过运用数形结合的思想方法实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观，让学生逐步理解数与形间的相互联系与转化的辩证．3.学好数形结合思想能提高中学生的知识水平数学是研究现实世界的中的数量关系与空间形式的科学．数与形是数学额中最根本的两个概念,二者相辅相成．因此许多代数问题均可根据其题设与结论的特征通过观察、联想构造出相应的几何模型，然后根据图形的性质得到一种简捷的解法．这种以数辅形的方法对解求值问题、恒等式证明、不等式证明等尤为巧妙简捷．构造三角形有些代数问题如题设或结论中出现形如公式,,及其变形或三角形的面积公式可联想到构造三角形求解．例13正数满足,,,计算的值．解将题设改写为,,PQROa(图15)，而因此联想到构造使,,并在其内取一点O使得,,PQROa(图15)且,,(如图15)．,即,整理得．构造四边形例14正数,满足,求证．证一由结论联想到矩形面积公式又由题设可构造边长为的正方形(如图17),由图便知．证二由题目特征还可构造边长为的三角形ABC(如图1