浙江省温州市娄桥中学高二数学理摸底试卷含解析

浙江省温州市娄桥中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线与抛物线有一个公共焦点，双曲线上过点且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于

（

）A. B.

C.

D.

参考答案：B略2.设双曲线的左焦点为F，右顶点为A，过点F与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为B，且，则此双曲线的离心率为（

）A. B. C.2 D.参考答案：A【分析】根据双曲线的标准方程和题设条件，得到，进而求得，最后利用离心率的公式，即可求解.【详解】由双曲线，可得左焦点为，右顶点为，又由过与轴垂直的直线与双曲线的一个交点为，则，又因为，即，且，解得，所以双曲线的离心率为，故选A.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．3.复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是，则是（

）

A.+2i

B.-2i

C.+2i

D.-2i参考答案：B略4.设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是()A.<

B.>C.a>b2

D.a2>2b参考答案：C略5.下列推理是归纳推理的是()A.A、B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇参考答案：B略6.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确参考答案：A【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．7.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10

C．10 D．10参考答案：D【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，=∴BC==10∴x=10∴x=故塔高AB=【点评】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题．8.在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a6+a10=（）A．12 B．16 C．20 D．24参考答案：D【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列通项公式得a6=8，a2+a6+a10=3a6，由此能求出结果．【解答】解：∵在等差数列{an}中，a4+a8=16，∴a4+a8=2a6=16，解得a6=8，∴a2+a6+a10=3a6=24．故选：D．9.函数在处的切线与直线平行，则＝（

）A．0B．1C．2D．3参考答案：B略10.样本11、12、13、14、15的方差是（）A．13

B．10

C．2

D．4参考答案：C解：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在所有的两位数（10～99）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=90，再求出这个数能被2或3整除包含的基本事件个数m=45+30﹣15=60，由此能求出这个数能被2或3整除的概率．【解答】解：在所有的两位数（10～99）中，任取一个数，基本事件总数n=90，这个数能被2或3整除包含的基本事件个数m=45+30﹣15=60，∴这个数能被2或3整除的概率是p==．故答案为：．12.已知函数f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，其中e为自然对数的底，则满足f（ex）＜0的x的取值范围为．参考答案：（0，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，求出不等式f（x）＜0的解，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，∴函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′（x）=1﹣=，由f′（x）＞0得x＞e﹣1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得0＜x＜e﹣1，此时函数单调递减，在x=e﹣1时，函数取得极小值，∵f（1）=0，f（e）=0，∴不等式f（x）＜0的解为1＜x＜e，则f（ex）＜0等价为1＜ex＜e，即0＜x＜1，故答案为：（0，1）13.程序框图如图：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入；参考答案：k≤10（或k＜11）考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：程序框图的功能是求S=1×12×11×…，由程序运行的结果为S=132，得终止程序时，k=10，从而求出判断框的条件．解答：解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…，∵程序运行的结果为S=132，∴终止程序时，k=10，∴判断框的条件是k≤10（或k＜11），故答案是k≤10（或k＜11），点评：本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k值．14.函数的单调递减区间是▲

．参考答案：函数的定义域为由得令，则，解得；又则故函数的递减区间为

15.函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．参考答案：略16.若函数f（x）=xlnx在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于_________．参考答案：117.在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则b=．参考答案：5【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c的值，根据余弦定理即可求b的值．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2=acsinB=，可得：ac=4，∴c=4，∴b===5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别是BC，AC的中点．PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2，PA=．（1）求证：平面ABC⊥平面PED；（2）求AC与平面PBC所成的角；（3）求平面PED与平面PAB所成锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）根据AB，BC，AC边的长度容易得到BC⊥AB，E，D都是中点，从而DE∥AB，这便得到BC⊥DE，而由PB=PC，D为BC边中点，从而便得到BC⊥PD，从而由线面垂直的判定定理即得BC⊥平面PED；（2）取PD中点F，连接EF，CF，则∠ECF是直线AC和平面PBC所成角，由此能求出直线AC与平面PBC所成角．（3）以D为原点，分别以DC，DE为x，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PED与平面PAB所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2，PA=，∴AB2+BC2=AC2；∴BC⊥AB；D，E分别是BC，AC中点；∴DE∥AB；∴BC⊥DE；又PB=PC，D是BC中点；∴BC⊥PD，DE∩PD=D；∴BC⊥平面PED；解：（2）PA=，PC=2，AC=4，∴由余弦定理cos∠PCA=，在△PCE中，PC=2，CE=2，∴由余弦定理得PE=1，DE=1，∴PD=1；∴△PDE为等边三角形；∴如图，取PD中点F，连接EF，CF，则：EF⊥PD；又BC⊥平面PED，EF?平面PED；∴BC⊥EF，即EF⊥BC，PD∩BC=D；∴EF⊥平面PBC；∴∠ECF是直线AC和平面PBC所成角；EF=，CE=2；∴sin∠ECF===，∴直线AC与平面PBC所成角为arcsin．（3）以D为原点，分别以DC，DE为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，B（﹣，0，0），C（，0，0），E（0，1，0），A（﹣，2，0），设P（0，y，z），则由PC=2，PA=，得，解得y=，z=，∴P（0，），设平面PAB的法向量=（x1，y1，z1），∵=（0，2，0），=（），∴，取x1=1，得=（1，0，﹣2），平面PED的法向量为=（1，0，0），∴cos＜＞=，∴平面PED与平面PAB所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查线面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意线面垂直的判定定理，以及余弦定理，线面垂直的性质，线面角的概念及找法的合理运用．19.（本题12分）如图所示：直线l过抛物线y2=2px的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点.求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

参考答案：由p(t1+t2)≠0知t12+t22+=0得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线∵焦点F在直线l上∴|CF|=|DF|由抛物线定义，C（x1,y1）,D(x2,y2)到抛物线的准线x=-的距离相等.∴x1=x2,y1=-y2∴CD的垂直平分线l:y=0与直线l和抛物线有两个交点矛盾.下略.略20.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进10米后到达点B，又从点B测得斜度为，建筑物的高CD为5米．（1）若，求AC的长；（2）若，求此山对于地平面的倾斜角的余弦值．参考答案：（1）；（2）．（1）当时，，，所以，由余弦定理得：，故．（2）当，在中，由正弦定理有，在中，，又．21.设等比数列{an}的前n项和为Sn，3a7=a42，a2=2a1，在等差数列{bn}中，b3=a4，b15=a5（1）求证：Sn=2an﹣3（2）求数列{}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由3a7=a42，a2=2a1，可得=，解得q，a1．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）利用等差数列的通项公式、“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）证明：设等比数列{an}的公比为q，∵3a7=a42，a2=2a1，∴=，q=2．解得a1=3．∴an=3×2n﹣1，Sn==3×2n﹣3．∴Sn=2an﹣3．（2）解：设等差数列{bn}的公差为d，b3=a4=3×23=24，b15=a5=3×24=48．∴48=24+12d，解得d=2．∴bn=24+2（n﹣3）=2n+18．==2．∴数列{}的前n项和Tn=2+…+=2=．22.在△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以这个直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转一周，求所得到的几何体的表面积．参考答案：（1）当以AC边所在的直线为轴旋转一周时，得到的几何体是一个圆锥（如图（1）），它的母线长为AB，底面圆半径为BC＝6．由勾股定理，得AB＝＝＝10．∴这时圆锥的表面积＝π×