山西省太原市中北大学附属中学高二数学理联考试题含解析

山西省太原市中北大学附属中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若关于x的方程9x+（a+4）?3x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞） B．（﹣∞，﹣4） C．[﹣8，﹣4） D．（﹣∞，﹣8]参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令3x=t＞0，由条件可得a=，利用基本不等式和不等式的性质求得实数a的取值范围．【解答】解：令3x=t＞0，则关于x的方程9x+（4+a）?3x+4=0即t2+（4+a）t+4=0有正实数解．故a=，由基本不等式可得：t+≥4，当且仅当t=时，等号成立，∴﹣（t+）≤﹣4，即﹣4﹣（t+）≤﹣8，∴a≤﹣8，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣8]．故选：D．2.

若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是（）A.（，1）B．（0,0）C．（1,2）D．（1,4）参考答案：A3.在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞1的概率是（）A．0.25 B．0.5 C．0.6 D．0.75参考答案：D【考点】几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，可得答案．【解答】解：数集（1，4]的长度为3，数集[0，4]的长度为4，∴在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞1的概率为：=0.7，故选：D．4.圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A5.函数f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx（a∈R），则下列说法不正确的命题个数是（）①当a＜0时，函数y=f（x）有零点；②若函数y=f（x）有零点，则a＜0；③存在a＞0，函数y=f（x）有唯一的零点；④若a≤1，则函数y=f（x）有唯一的零点．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；命题的真假判断与应用；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．【分析】先将函数进行参变量分离，得到2a=，令g（x）=，转化成y=2a与y=g（x）的图象的交点个数，利用导数得到函数的单调性，结合函数的图象可得结论．【解答】解：令f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx=0，则2a（x+lnx）=x2，∴2a=，令g（x）=，则g′（x）==令h（x）=x+lnx，通过作出两个函数y=lnx及y=﹣x的图象（如右图）发现h（x）有唯一零点在（0，1）上，设这个零点为x0，当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x0）上单调递减，x=x0是渐近线，当x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，则g（x）在（x0，1）上单调递减，当x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，∴g（1）=1，可以作出g（x）=的大致图象，结合图象可知，当a＜0时，y=2a与y=g（x）的图象只有一个交点，则函数y=f（x）只有一个零点，故①正确；若函数y=f（x）有零点，则a＜0或a≥，故②不正确；存在a=＞0，函数y=f（x）有唯一零点，故③正确；若函数y=f（x）有唯一零点，则a＜0，或a=，则a≤1，故④正确．故选：B．6.已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(?RB)；(2)若A∩B＝{x|－1＜x＜4}，求实数m的值．

参考答案：略7.为了得到函数的图象，需要把函数图象上的所有点（

）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度参考答案：C【分析】直接根据三角函数图象的平移变换法则求解即可.【详解】因为函数图象上的所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，所以为了得到函数的图象，需要把函数图象上的所有点向右平移个单位长度，故选C.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8.设实数满足，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.若函数的导函数为，则（

）A.1 B. C. D.0参考答案：C【分析】根据函数的求导法则，，代入即可求得导数值.【详解】由题：函数的导函数为，所以.故选：C【点睛】此题考查求导数值，关键在于熟练掌握求导法则和常见函数的导函数，根据法则准确计算求解.10.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：A∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴m2＞m+2＞0，解得m＞2或﹣2＜m＜﹣1．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意的，都有，则m的取值范围是________.参考答案：【分析】由，得，分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：，，时，，时，；时，；时，；当时，由，解得或，若对任意，都有，则。故答案为：。【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．

12.设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是

．参考答案：4【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化简整理，根据ab的范围，求得答案．【解答】解：∵是3a与3b的等比中项∴3a?3b=3a+b=3∴a+b=1∴ab≤=（当a=b时等号成立）∴+==≥4．故答案为：4【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时要注意等号成立的条件．13.已知，分别求，，，然后归纳猜想一般性结论

．参考答案：14.若，则最大值为___▲_______．参考答案：2

15.已知命题，，则：___________参考答案：，略16.为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为_______.参考答案：

解析：17.为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为▲

．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)是定义在(－4,4)上的奇函数，满足，当时，有（1）求实数a，b的值；（2）求函数f(x)在区间(0,4)上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；（3）解关于m的不等式．参考答案：（1）；（2）在上单调递增；（3）或.【分析】（1）根据条件可得，解不等式组即可；（2）将a，b的值代入中，利用定义证明的单调性即可；（3）根据的单调性和，可得，解不等式即可.【详解】（1）由题可知，函数是定义在上的奇函数，且，则，解得；（2）由（1）可知当时，，当时，任取，且，且，则于是，所以在上单调递增.（3）由函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则在上单调递增，所以的解为，解得或，∴不等式的解集为或．【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定与证明，以及函数性质的应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义，合理利用函数的单调性转化不等关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.已知集合,集合．（Ⅰ）若,求;（Ⅱ）若,求实数的取值范围．参考答案：（1）（1,3）（2）略20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，，，平面ABCD，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．参考答案：(Ⅰ)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°.因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.…………3分又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED.…………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直．以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB＝1，21.设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点，线段FA的中点在抛物线上．设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．（1）求p的值；（2）试判断圆C与x轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由中点坐标公式求得FA的中点，由中点在抛物线上求得pD的值；（2）联立直线方程和抛物线方程，由直线和抛物线相切求得切点坐标，进一步求得Q的坐标（用含k的代数式表示），求得PQ的中点C的坐标，求出圆心到x轴的距离，求出，由半径的平方与圆心到x轴的距离的平方差的符号判断圆C与x轴的位置关系；（3）法一、假设平面内存在定点M满足条件，设出M的坐标，结合（2）中求得的P，Q的坐标，求出向量的坐标，由恒成立求解点M的坐标．法二、由（2）中求出的P，Q的坐标求出PQ的中点坐标，得到以PQ为直径的圆的方程，利用方程对于任意实数k恒成立，系数为0列式求解x，y的值，从而得到顶点M的坐标．【解答】解：（1）利用抛物线的定义得，故线段FA的中点的坐标为，代入方程y2=2px，得，解得p=1；（2）由（1）得抛物线的方程为y2=2x，从而抛物线的准线方程为，由，得方程，由直线与抛物线相切，得，且，从而，即，由，解得，∴PQ的中点C的坐标为．圆心C到x轴距离，，∵=∵k≠0，∴当时，，圆C与x轴相切，当时，，圆C与x轴相交；（3）方法一、假设平面内存在定点M满足条件，由抛物线对称性知点M在x轴上，设点M坐标为M（x1，0），由（2）知，，，∴．由得，．∴，即或．∴平面上存在定点，使得圆C恒过点M．证法二、由（2）知，，PQ的中点C的坐标为.．∴圆C的方程为．整理得．上式对任意k≠0均成立，当且仅当，解得．∴平面上存在定点，使得圆C恒过点M．22.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，点F在棱PD上，且FD=PD．（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；（Ⅱ）求三棱锥F﹣ADC与四棱锥P﹣ABCD的体积比．

参考答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1：6考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）如图所示，连接BD，利用三角形中位线定理可得：PB∥OE，再利用线面平行的判定定理即可证明．（Ⅱ）由FD=PD，可得：点F到平面ACD（也是平面ABCD）的距离与点P到平面ABCD的距离比为1：3，又易知△ACD的面积等于四边形ABCD面积的一半，即可得出体积之比．解答：（I）证明