数形结合在高中数学解题中的应用

数形结合在高中数学解题中的应用摘要:数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；数形结合的解题方法，能使很多问题迎刃而解，且解法简捷、事半功倍。关键词:数形结合数学思想高中数学一、高中学生用“数形结合”解题的现状目前，从高中生数形结合解题能力调查可知，高中生数形结合解题意识不强，这主要表达在数学解题中数与形的别离上，即一个问题仅仅是从数的角度求解，或者是仅仅从形的角度考虑。而且学生利用数形结合解题时容易出现问题，不易找到数形结合解题的突破口。因此，高中数学教学如果能有效地引导学生自觉强化运用数形结合的解题意识，善于培养学生寻找数形结合解题突破口的能力，将能大大提高学生解题准确率。二、“数形结合”的思想及重要性“数”与“形”，作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫别离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致。可见，所谓数形结合，指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化。“数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位。近年高考数学试卷，就是一个有力的明证。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。三、数形结合的具体应用及效果在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”。在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，如果巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍。数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：(一)、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。应用1：设命题甲：0<x<3，命题乙：|x－1|<4，那么甲是乙成立的〔〕A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件将两个命题用数轴表示，如图：A.UAB应用2：设是全集，，那么①，②，UAB③，④。上面结论中不正确的选项是：_______。解：画出适合条件的韦恩图即知③不正确。[点评］对于处理集合的问题，可以用数形结合的方法，如果是含字母参数的，可以画韦恩图；如果是具体的数集，那么可以画数轴，都可以使集合间的关系直观化.(二)、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。应用：设，关于的一元二次方程有两实根，且，求的取值范围。12分析：此题告诉我们方程有两个根，所以可考虑解出两根，再把两根带入求解不等式即可。显然这样的思路想来简单，但求解却是非常困难的事情，所以我们不得不考虑其他方法。假设我们令:12那么问题就可以转化为二次函数与轴应有两个交点，而交点的位置一个在内、一个在内，由图可列出图像应满足的条件并求解：(三〕、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就表达了数形结合思想的应用。应用：某电脑用户方案用不超过500元的资金购置单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，那么不同的选购方式共有〔〕A5种B．6种C．7种D．8种分析1：该题可用例举法一一例举出结果分析2：利用线性规划知识求解：设需买软片片、买磁盘盒，由题意知：上述约束条件所表示的平面区域为如右图所示的阴影三角形上。整点〔，〕共有7个，即为〔3，2〕、〔4，2〕、〔5，2〕、〔6，2〕、〔3，3〕、〔4，3〕、〔3，4〕，共有7种不同的选购方式应选C[点评]显然前一种方法虽然可以求解该题，但花费时间较长，且容易漏解，第二种方法解该题却显得既准确又快捷。(四)、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间确实定或比拟三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。应用：假设,记，对于函数，给出以下4个命题：⑴该函数的值域是；⑵当且仅当时，该函数取得最大值1；⑶该函数是以为最小正周期的周期函数；⑷当且仅当时，．上述命题中正确的命题是解析：根据题意，可把函数转译为，将其简图画出〔见图1〕，由此图像可知，该函数值域是；当或时，该函数取得最大值1；该函数是以2为最小正周期的周期函数，所以命题⑴、⑵、⑶都不正确，而命题⑷是正确的。[点评]：此题的特点是给出的函数较为复杂，如果利用以往学过的函数性质不便于解题。这时我们利用的正弦，余弦函数图像解题，那么简单，明了，准确。(五〕除以上应用之外，数形结合在解决解析几何、立体几何等问题时，同样可以起到使复杂的问题简单化、直观化的效果。从上面数形结合的解题实例中可以看出，充分抓住数与形的内在联系去探索问题，将会收到事半功倍的效果。总而言之，问题是数学的心脏,提出并解决问题是推动数学开展的动力。而数形结合就是高效解决数学问题的重要方法之一。假设我们的学生能恰当地利用数形结合思想提高解题效率，就更有时机在高考的大军中突围而出，抢占一席之地。然而，数与形的结合方式多种多样，不同的问题往往有不同的方法.因此数形结合这一思想方法,并非通过一两道例题就能掌握的，数形结合的思想需要渗透在学习新知识和运用知识解决问题的过程之中，这就需要教师在教学过程中把握时机,选择适当的方法,使学生在潜移默化的过程中逐步领悟并学会运用这一思想方法去解决问题。参考文献：[1]王君芬.例谈数学教学中的数形结合[J].黑