数学高一(上)(函数的性质-奇偶性(一))教师版

课题函数的性质—奇偶性〔一〕教学目的掌握函数奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性；掌握函数的继续偶性与函数图像的关系。教学内容【知识梳理】函数奇偶性的定义：偶函数的定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.奇函数的定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数.判断函数奇偶性的方法：步骤：〔1〕看定义域是否是对称区间〔是的话就继续，不是就是非奇非偶函数〕〔2〕找f(x)与f(-x)之间的关系，假设f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数，假设f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数注意强调：①定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇〔偶〕函数的必要条件――前提②＂定义域内任一个＂：意味着不存在＂某个区间上的＂的奇〔偶〕函数――不研究③判断函数奇偶性最根本的方法：先看定义域，再用定义：f(x)=f(x)(或f(x)=f(x))奇偶函数的图像：奇函数图象关于原点对称偶函数图象关于y轴对称根据规律判断函数的奇偶性：〔可以把函数堪称是正数，奇函数看成是负数来记忆〕偶函数与偶函数的和是偶函数偶函数与奇函数的和是非奇非偶函数奇函数与奇函数的和是奇函数偶函数与偶函数的积是偶函数奇函数与奇函数的积是偶函数偶函数与奇函数的积是奇函数【典型例题分析】判断以下函数的奇偶性：例1、〔1〕〔2〕y=2x〔3〕y=3x2+1〔4〕y=2x4+3x2〔5〕y=0〔6〕y=2x+1〔7〕解析：〔1〕奇函数〔2〕奇函数〔3〕偶函数〔4〕偶函数〔5〕既奇又偶函数〔6〕非奇非偶函数〔7〕非奇非偶函数注意：常函数f(x)=c(c为常数)只要定义域是对称区间，就一定是偶函数，当c=0时是既奇又偶函数；当定义域不是对称区间的时候就是非奇非偶函数。变式练习1：〔1〕f(x)=x+x；〔2〕f(x)=x-；〔3〕f(x)=；〔4〕f(x)=。答案：〔1〕非奇非偶函数〔2〕奇函数〔3〕偶函数〔4〕奇函数变式练习2：f〔x〕＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，那么a＝___________，解析：定义域应关于原点对称，故有a－1＝－2a，得a＝.又对于所给解析式，要使f〔－x〕＝f〔x〕恒成立，应b＝0.答案：0例2、判断以下函数的奇偶性：1．解：定义域：关于原点非对称区间∴此函数为非奇非偶函数2．解：定义域：∴定义域为x=±1且f(±1)=0∴此函数为即奇且偶函数3．解：显然定义域关于原点对称当x>0时,x<0f(x)=x2x=(xx2)当x<0时,x>0f(x)=xx2=(x2+x)即：∴此函数为奇函数4.f〔x〕=|x+1|－|x－1|解析：〔1〕函数的定义域x∈〔－∞，+∞〕，对称于原点.∵f〔－x〕=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－〔|x+1|－|x－1|〕=－f〔x〕，∴f〔x〕=|x+1|－|x－1|是奇函数.变式练习：判断以下函数的奇偶性，并证明你的结论。1.2.略3、判断的奇偶性。解：∵∴函数的定义域为R且f(x)+f(x)∴f(x)=f(x)∴f(x)为奇函数注：判断函数奇偶性的又一途径：f(x)+f(x)=0为奇函数f(x)+f(x)=2f(x)例3、函数f〔x〕的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f〔x1·x2〕=f〔x1〕+f〔x2〕.〔1〕求f〔1〕的值；〔2〕判断f〔x〕的奇偶性并证明；解析：〔1〕解：令x1=x2=1，有f〔1×1〕=f〔1〕+f〔1〕，解得f〔1〕=0.〔2〕证明：令x1=x2=－1，有f［〔－1〕×〔－1〕］=f〔－1〕+f〔－1〕.解得f〔－1〕=0.令x1=－1，x2=x，有f〔－x〕=f〔－1〕+f〔x〕，∴f〔－x〕=f〔x〕.∴f〔x〕为偶函数.变式练习1、假设f(x)是定义在R上，对任意的x,y均满足f(x+y)=f(x)+f(y),试判断f(x)为奇函数还是偶函数？答案：奇函数变式练习2、f〔x〕、g〔x〕都是奇函数，f〔x〕＞0的解集是〔a2，b〕，g〔x〕＞0的解集是〔，〕，＞a2，那么f〔x〕·g〔x〕＞0的解集是A.〔，〕 B.〔－b，－a2〕C.〔a2，〕∪〔－，－a2〕D.〔，b〕∪〔－b2，－a2〕提示：f〔x〕·g〔x〕＞0或∴x∈〔a2，〕∪〔－，－a2〕.答案：C例4、判断函数的奇偶性。解：当当时，当时，综上，对于任意,恒成立，故为偶函数。【说明】对于分段函数的奇偶性也应该分段取加以验证，此题也可以通过图像加以说明。变式练习：〔1〕f(x)为奇函数，且当x>0时的解析式是，求当x<0时的解析式。〔2〕f(x)为偶函数，且当x《0时的解析式是，求当x>0时的解析式。(3)f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0是，求f(x)的解析式。解析：〔1〕x<0时，〔2〕x>0,(3)【课堂小练】1、判断以下函数的奇偶性〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕解：〔1〕定义域，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；〔2〕定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；〔3〕定义域为，关于原点对称且此时，故函数既是奇函数又是偶函数〔4〕定义域为，定义域关于原点对称，且，故函数是奇函数；〔5〕，关于原点对称，，故函数是奇函数。【说明】：判断函数的奇偶性，首先要看函数的定义域是否关于原点对称，假设不对称，那么为非奇非偶函数。假设对称，那么需根据定义进一步判断，其中比拟复杂的函数，当难以判认的关系时，应将的解析式先化简再判断。2、下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f〔x〕=0〔x∈R〕A.1 B.2 C.3 D.4解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f〔x〕=0〔x∈〔－a，a〕〕.答案：A3、函数f〔x〕=ax2＋bx＋c〔a≠0〕是偶函数，那么g〔x〕=ax3＋bx2＋cx是A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析：由f〔x〕为偶函数，知b=0，有g〔x〕=ax3＋cx〔a≠0〕为奇函数.答案：A4、假设函数f(x)=(x-a)+bx+c是偶函数，那么a、b、c应具备什么条件？【课堂总结】奇、偶函数的性质〔1〕具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称〔也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称〕.〔2〕奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.〔3〕假设奇函数的定义域包含数0，那么f〔0〕=0.〔4〕奇函数的反函数也为奇函数.〔5〕定义在〔－∞，+∞〕上的任意函数f〔x〕都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和【课后练习】一、单项选择题1.函数f(x)=x4-x2在区间[a，b](a≠b)上()A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数2.假设奇函数f(x)在[a，b]上，(a＜b＜0)上有最大值-5，且为增函数，那么f(x)在区间[-b，-a]上是〔〕A．增函数且有最大值-5B．增函数且有最小值5C．减函数且有最小值5D．减函数且有最大值-53.假设函数定义在R上，那么f(x)〔〕A．既是偶函数，又是增函数B．既是偶函数，又是减函数C．既是奇函数，又是增函数D．既是奇函数，又是减函数4.对于定义域是R的任何奇函数f(x)，都有〔〕A．f(x)-f(-x)>0，(x∈R)B．f(x)-f(-x)≤0(x∈R)C．f(x)·f(-x)≤0，(x∈R)D．f(x)·f(-x)＜0(x∈R)5.〔〕A、B、C、D、6.假设f(x)=(m-1)x2+2mx+3(x∈R)为偶函数，那么在(0，+∞)内f(x)是〔〕A．增函数B．局部是增函数，局部是减函数C．减函数D．不能确定增减性7.函数f(x)定义域为[a，b]，其中b＞-a＞0，那么，函数f(x)+f(-x)的定义域是〔〕A．[a，b]B．[a，-a]C．[-b，-a]D．[-b，b]二、填空题1.f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=2x-3，那么当x＞0时，f(x)=_______．2.函数f(x)是偶函数，且在(-∞，0)上表达式是f(x)=x2+2x+5，那么在(0，＋∞)上表达式为_______．3.偶函数f(x)在区间[2，4]上是减函数，那么f(-3)_________f(3.5)．4.假设函数f(x)=x3+bx2+cx是奇函数，函数g(x)=x2+(c－2)x+5是偶函数，那么b=______，c=_______．5.f(x)=x5+ax3+bx－8，且f(－2)=10，那么f(2)=________．三、解答题：1、判断函数的奇偶性答案：一、单项选择题1.C2.B3.C4.C5.C6.C7.B二、填空题1.-2x-32.f(x)=x2-2x+53.“＞”4.b=0，c=25.－26三、解答题课题函数的性质---奇偶性〔二〕教学目的掌握函数奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性；掌握函数的继续偶性与函数图像的关系。教学内容【知识梳理】问题思考：什么是奇函数〔偶函数〕？如何判断函数的奇偶性？函数的就奇偶性进行分类，有哪几类？【典型例题分析】例1、设为奇函数，为偶函数，且，求和的解析式。【解析】将变量代换为，通过和的奇偶性有，这样与原等式联立方程组求解和。【答案】由有又为奇函数，为偶函数所以联立可得变式练习1：是偶函数，是奇函数，定义域都是，那么________________答案：变式练习2：任意一个定义域为对称区间的函数f(x),都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和，即f(x)=答案：,其中为偶函数，是奇函数例2、为奇函数，且当时，，求时，的解析式。【解析】设转化为，求的解析式【答案】设，那么，由时，又为奇函数即当时，的解析式为〔〕【点拨】在哪个区间求解析式，就设在那个区间里，其次要通过区间上的解析式进行代入，最后通过的奇偶性把转化为或，从而解出。变式练习1：假设为奇函数，当时，，那么当时，的解析式是〔C〕ABCD变式练习2：是R上的奇函数，且当时，，求的解析式。【解析】利用奇偶性定义，把与，与进行转化。【答案】任取因为是R上的奇函数，又所以综上所述，【点拨】在在哪个区间求解析式，就设在那个区间里，然后利用的奇偶性定义，把转化为，再利用从而解出。例3、函数对一切,都有，求证：为奇函数。【解析】从奇函数的定义考虑【答案】显然的定义域是R，它关于原点对称，在中，令再令所以为奇函数。【点拨】对于抽象函数关系式，常常通过取特殊值或变量换元进行分析。变式练习1：.设函数的定义域是R，且，对任意恒成立，那么是〔C〕A偶函数B既是偶函数又是奇函数C奇函数D既非偶函数又非奇函数变式练习2：函数对任意的实数想，x,y均有求f(0)的值(2)讨论函数f(x)奇偶性解析：〔1〕另x=y=0,得f(0)=1(2)令y=-x带入得f(-x)=f〔x〕,偶函数例4、函数是奇函数，又，求函数的值域。【答案】通过条件可得出所以的值域为：练习：函数，假设，求分析：此题要通过求的值，再来求是不可能的，考虑到是奇函数，可以利用奇函数的性质来解决。解：，那么，易证得为奇函数例5、函数的定义域为R，假设与都是奇函数，那么〔〕A是偶函数B是奇函数CD是奇函数【解析】因为与都是奇函数①②①中令②中令，即的周期是4所以是奇函数选D例6、小题组训练〔1〕A、ab=0B、a+b=0C、a=bD、a2+b2答案：D〔2〕函数f(x)偶函数，其图像与x轴有四个交点，那么方程f(x)=0的所有实根之和等于〔〕A、4B、2C答案：D〔3〕〔〕A、是奇函数但不是偶函数B、是偶函数但不是奇函数C、既是奇函数又是偶函数D、既不是奇函数也不是偶函数答案：A【课堂小练】一、根底稳固1.判断的奇偶性__________________2.函数是偶函数，那么______________3.假设〔是常数〕，且，那么________4.函数是R上的奇函数，当时，，那么当时，_______5.函数为奇函数的充要条件是〔〕ABCD6.设函数，给出以下四个命题：①时，是奇函数；②时，方程只有一个实根；③的图像关于对称；④方程至多有两个实根。其中命题正确的选项是〔〕A①④B①③C①②③D①②④二、能力提升7.假设是上的奇函数，那么______________8.函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，用定义域讨论函数的奇偶性。三、开放探究9.，问：〔1〕当为何值时，是奇函数；〔2〕当为何值时，是偶函数。四、高考体验10.函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，那么的值是〔〕A0BC1D答案：1.非奇非偶2、13.04.5.B6.C7.08.为偶函数9.〔1〕(2)10.A代入，得代入，得代入，得代入，得所以【课堂总结】判断函数的奇偶性一定先看定义域函数奇偶性的证明必须严格按照定义去证明【课后练习】1.判断以下函数的奇偶性：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕2.设函数的定义域是，且不恒等于零，瑞对于任意满足，判断的奇偶性，假设满足又怎么判断其奇偶性了？3.是偶函数，且不恒等于零，判断的奇偶性。4.设，假设_____________5.我们称一个函数图像关于