求空间角的常用方法

求空间角的常用方法平面EDB，且

平面EDB，∴PA∥平面EDB

(Ⅰ)证明如图1-2，连结AC，AC交BD于O，连结EO．∵底面ABCD为正方形，∴点O为AC中点．∵在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO．又EO

(Ⅱ)解作EF⊥DC交DC于F，连结BF．设正方形ABCD的边长为a．∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC．∴EF∥PD，F为DC中点．∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．∵在Rt△BCF中，

∵∴在Rt△EFB中，

∴EB与底面ABCD所成角的正切值为

点评求直线与平面所成的角的关键是抓射影，而由斜线上一点作平面的垂线时，需要确定垂足的位置，然后再将这个角放在三角形中利用三角形的边角关系求解．2．选点平移法

(A)

(B)

(C)

(D)

所谓“选点平移法”就是选择适当的点，通过作平行线，构造出所要求的空间角．至于点的选取何处适当，通常是视具体情况具体分析．

【例2】(2004年天津市高考题)如图1-3，在棱长为2的正方体ABCD-

中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是

，AD的中点，那么异面直线OE和所

成的角的余弦值等于()。

解如图1-4，取

的中点M，连结MO，FO．∵O为底面中心，∴O为BD中点，从而FO为△DAB的中位线．

∴FO

∴四边形

为平行四边形．

∴MO

故∠MOE(或其补角)即为异面直线

和OE所成的角．

在△MOE中，

由余弦定理得

故选B．点评求异面直线所成的角，一般都是通过“选点平移”将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来完成，但要特别注意两条异面直线所成的角的范围是此题选点还可选取

的中点或选取BC的中点P，然后再作相应的辅助线。3.垂线法当已知条件中出现二面角中一个半平面内一点到另一个半平面的垂线时(或虽未给出这样的垂线，但由已知条件能够作出这样的垂线)，可依据三垂线定理或其逆定理作出它的平面角，然后再求解．【例3】(2004年浙江省高考题)如图1-5，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面垂直，，AF＝1，M是线段EF的中点．

(I)证明：AM∥平面BDE；(Ⅱ)证明：AM⊥平面BDF；(Ⅲ)求二面角A-DF-B的大小．

(Ⅰ)证明如图1-6，设AC，BD交于点O，连EO，矩形AFEC的边长AF＝1，AC=2．∵O，M分别为AC与EF的中点，∴∴四边形AOEM是平行四边形．∴AM∥OE．又OE

平面BDE，

平面BDE，

∴AM∥平面BDE．

(Ⅱ)证明如图1-7，∵BD⊥AC，BD⊥AF,AC∩AF＝A，∴BD⊥平面ACEF，DF在平面ACEF上的射影为OF．∵AO＝AF＝1，AOMF是正方形，OF⊥AM，∴由三垂线定理得DF⊥AM．同理FB⊥AM，DF∩FB＝F，∴AM⊥平面BDF．(Ⅲ)解设AM∩OF＝H，由(Ⅱ)知AH⊥平面BDF．如图1-8，作AG⊥DF交DF于Ｇ，连结GH，由三垂线定理知GH⊥DF，∴∠AGH是二面角A-DF-B的平面角．又∵∴即∴二面角A-DF-B的大小为

点评利用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角关键是找垂线，对有棱二面角通常应注意选取合适的点构造二面角的平面角．4.垂面法在求解二面角的问题中，若能找到或者作出棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角．【例4】(2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，

∠DAB=60º，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点．(Ⅰ)证明：平面PED⊥平面PAB；(Ⅱ)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值．(Ⅰ)证明∵底面ABCD为菱形，∴AB＝AD，∠DAB=60º．∴△DAB为正三角形．又E为AB中点，∴AB⊥DE．又PD⊥平面ABCD，PE在平面ABCD上的射影为DE，∴AB⊥PE（三垂线定理）．∵PE∩DE＝E，∴平面PAB⊥平面PED．

(Ⅱ)解∵AB⊥平面PED，PE

面PED，∴AB⊥PE．

如图1-10，连结EF．∵EF面PED，∴AB⊥EF．

∴∠PEF为二面角P-AB-F的平面角．设PD＝AD＝a，则PF＝FD＝

又∵△DAB为正三角形，E为AB中点，∴AB＝AD＝a，

∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值为

点评这里由已知条件很容易找到二面角的棱AB的垂面，故运用垂面法可顺利找出二面角的平面角．

5.向量法

利用空间向量的数量积来求空间角，能化复杂的几何论证为简单的代数计算，是一种十分便捷的方法．【例5】(2005年福建卷)如图1-11，长方体ABCD-中，

AD＝1点E，F，Ｇ分别是

的中点，则异面直线与GF所成的角是()．

(A)

(B)

(C)

(D)

解以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，

为z轴建立空间直角坐标系，依题条件易知F(1，1，0)，G(0，2，1)，E(0，0，1)，

(1，0，2)．

则＝(－1，1，＋1)，

＝(－1，0，－1)，

∴选D．

点评连运用平移法及勾股定理的逆定理当然也很简单，这里主要是强调空间向量法的运用．二、求空间距离的常用方法1.直接法即直接根据点线距离、点面距离、线线距离、线面距离及两个平面间的距离的定义来计算、求解．【例6】(2004年浙江省高考题)已知平面

和平面交于直线，P是空间一点，

PA⊥

，垂足为A，PB⊥

，垂足为B，且PA＝1，PB＝2．若点A在

内的射影与点B在内的射影重合，则点P到l的距离为________．

解若A在平面

上的射影为C，则AC⊥

，PB⊥

，AC∥PB；

同理，若B在平面

上的射影也为C，则PA⊥

，BC⊥

，PA∥BC．∴四边形APBC是一个平行四边形．

又∵

故∠ACB是

二面角的平面角，∴

∴四边形PACB是一个矩形．(如图1-12所示)∵l⊥平面ACBP，∴l⊥PC．∴PC即为所求P到l的距离，PC是边长为1，2的矩形的对角线，∴故填点评求点到直线的距离，就是直接从该点向直线作垂线，如果垂足的位置不易确定，有时也可借助三垂线定理来作．2.转化法常用的方法有将线面距离转化为点面距离，将线线距离转化为线面距离或面面距离．还有，甲点到平面的距离可以转化为与其相关的乙点到平面的距离等．

【例7】(2005年湖南卷)如图1-13，正方体ABCD-

的棱长为1，O是底面

的中心，则O到平面

的距离为()．

(A)

(B)

(C)

(D)

解如图1-14，作

则∵

平面∴故平面即到平面的距离为又O为的中点

∴O到平面

的距离为到平面的距离的一半．

故选B．点评这里将点O到面

的距离转化为点到面的距离，比直接求O

到平面的距离要简单得多。【例8】如图1-15，CD，AB是两条异面直线，它们夹在两平行平面

间的部分AB，CD在平面

内的射影分别是12cm和2cm，它们与平面

的交角之差的绝对值是，求AC与BD之间的距离．

解∵AC

平面平面，平面∥平面

∴平面

与平面的距离为异面直线AC与BD间的距离．

设此距离为xcm，则

，过D点作DE∥AB交平面

于E，则四边形ABDE

是平行四边形．令则∴∴即亦即整理得解得故异面直线AC与BD之间的距离是4cm或6cm．点评本题是将两条异面直线的距离转化为异面直线所在的两个平行平面的距离来解决的．3.体积法当点到平面的距离一时不易求出时，可先构建一个合适的三棱锥，若此三棱锥的底面积易求，且通过体积变换，此三棱锥的体积也能求出，则点面距离可得．

【例9】已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为

，则球心O到平面ABC的距离为()．

(A)

(B)

(C)

(D)

解设O到平面ABC的距离为h．∵AB，AC，CB的球面距离均为

∴∠AOB=∠AOC=∠COB=

∵球半径为l，∴AO=BO=CO=1，AB=AC=BC=

∴又∴∴球心O到截面ABC的距离为

故选B

点评这是用体积法求点到平面距离的一个最通俗的实例．

4.极值法有时通过建立所求的两个研究对象上任意两点之间的距离的函数关系，来求该函数的最小值，此最小值即为这两个对象之间的距离【例10】长为a正方体

中，求异面直线BD与

之间的距离．解如图1-16，在

上任取一点M，作MN⊥BC于H，再过H作HN⊥BD于N，

连结MN．∵平面⊥平面AC

∴MN⊥平面AC．∴MH⊥HN．

设MC=x，则

∴∴在△MHN中，∴

∴∴当且仅当x＝

时，，即∴BD与

之间的距离为点评极值法多适用于两异面直线之间的距离，其背景是易于由其中一条直线上的任意一点向另一条直线作垂线，而且该垂线段的长度能够表示成某一变量的函数．5.向量法跟求空间角一样，如果试题的背景适合于建立空间直角坐标系，用空间向量来求空间距离也是很方便的事．

【例11】如图1-17，已知正方形ABCD的边长是4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

分析由题设可知CG，CB，CD两两垂直，由此可以建立空间直角坐标系，用向量法求解，即求出过点B直