数据标准化方法

数据标准化方法问题1：将一个人的体重和身高相加在一起有无什么意义？答：量纲〔就是单位〕不同的量相加是没有意义的。不加处理就将两个不同量纲的量相加这是数学建模的大忌！问题2：如何将一个人的体重G和身高H这两个指标综合为一个指标用以评价一个人身材？答：通常考虑加法模型和乘法模型。乘法模型在这里不太适合，故考虑加法模型，一般采用加权组合的方式，即，这里，但是这样就犯了一个严重的错误。因此需要先对进行预处理→无量纲化，也就是数据标准化方法。数据标准化方法主要有以下三种：〔1〕标准化方法对序列进行变换：那么新序列且无量纲。一般的数据需要时都可以考虑先进行标准化处理。〔2〕正规化方法对序列进行变换：，这里，那么新序列的均值为0，而方差为1，且无量纲。〔3〕归一化方法对正项序列进行变换：那么新序列且无量纲，并且显然有。归一化方法在确定权重时经常用到。针对实际情况，也可能有其他一些量化方法，或者要综合使用多种方法，总之最后的结果都是无量纲化。例1：DVD分发问题中满意度的量化现有20种DVD要分发给100个会员，规定如果要向某人发放DVD，那么一次发给3张，问如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？DVD编号D001D002D003D004D005D006……DVD现有数量812210840……会员偏好C0001002000……C0002109007……C0003060007……C0004000040……C0005500004……………注：表中的数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的订单中。解：我们考虑三种方法进行变换，然后对它们进行比拟。利用公式利用公式利用模糊数学中的隶属函数的概念，选取适宜的函数，对满意度进行量化，这里为待定常数令代入可得。三种量化方法的比拟：结论：方法1可行；方法2不太可取；方法3可行。注意：无论采用哪一种方法，对每一个会员的满度度均需要作归一化处理，使得每一个会员对选中的DVD的满意度之和等于1，〔算出的每人的满意度或综合满意度都应该介于0-1之间〕。

例2：长江水质的定量综合评价〔2005年赛题〕下表是《地表水环境质量标准》，给出了水质类别的分类标准。序号

分类

标准值

项目Ⅰ类Ⅱ类Ⅲ类Ⅳ类Ⅴ类劣Ⅴ类1溶解氧(DO)

≥7.5〔或饱和率90%〕653202高锰酸盐指数(CODMn)≤2461015∞3氨氮〔NH3-N

≤0.150.51.01.52.0∞4PH值〔无量纲〕6---9下表给出了17个观测点的水质情况。序号点位名称断面情况主要监测工程(单位:mg/L)水质类别pH*DOCODMnNH3-N本月1四川攀枝花干流7.6

6.8

0.2

0.1

II

2重庆朱沱

干流〔川-渝省界〕

7.63

8.41

2.8

0.34

II

3湖北宜昌南津关

干流〔三峡水库出口〕

7.07

7.81

5.8

0.55

III

4湖南岳阳城陵矶

干流

7.58

6.47

2.9

0.34

II

5江西九江河西水厂

干流〔鄂-赣省界〕

7.34

6.19

1.7

0.13

II

6安徽安庆皖河口

干流

7.52

6.54

3.2

0.22

II

7江苏南京林山

干流〔皖-苏省界〕

7.78

6.9

3.1

0.11

II

8四川乐山岷江大桥

岷江〔与大渡河集合前〕

7.66

4.2

5.8

0.53

IV

9四川宜宾凉姜沟

岷江〔入长江前〕

8.01

7.63

2.4

0.25

II

10四川泸州沱江二桥

沱江〔入长江前〕

7.63

4.02

3.6

1.06

IV

11湖北丹江口胡家岭

丹江口水库〔库体〕

8.63

10.2

1.8

0.1

I

12湖南长沙新港

湘江〔洞庭湖入口〕

7.42

6.45

4.3

0.99

III

13湖南岳阳岳阳楼

洞庭湖出口

7.73

6.26

1.4

0.21

II

14湖北武汉宗关

汉江〔入长江前〕

8

6.43

2.4

0.17

II

15江西南昌滁槎

赣江〔鄱阳湖入口〕

6.64

5.18

1.1

0.92

III

16江西九江蛤蟆石

鄱阳湖出口

7.28

6.87

2.7

0.15

II

17江苏扬州三江营

夹江〔南水北调取水口〕

7.29

6.9

1.6

0.15

II

分析水质的类别确实定可知：它是由首要污染物决定的。请根据以上数据对长江当前的水质情况做出定量的综合评价。

解：1、数据的标准化处理溶解氧是极大型指标〔指标越大，水质越好〕，PH值是居中型指标，其余两种是极小型指标，统一进行极小型处理。〔1〕溶解氧：〔共有17个观测点〕〔2〕PH值：然后对进行标准化处理，即：得到标准化矩阵，这里且无量纲。2、确定四