高三数学-参数方程

高三数学高三数学一、参数方程的概念一、参数方程的定义：1定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点P的坐标和都可以表示为某个变量的函数：反过来，对于的每个允许值，由函数式：所确定的点都在这条曲线上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，变量是参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2说明：(1)参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义.(2)同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样(3)在实际问题中要确定参数的取值范围3.参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述了曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标.4.参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点M坐标为（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点M坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程5.关于参数方程中参数的选取选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单.与运动有关的问题选取时间做参数.与旋转的有关问题选取角做参数.或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等.二、例题选讲例1一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？（教材21页探究）解：由物理学知识得①救援物资落地时，应有，即解得s.将代入①，得到m.因此，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，可以使其准确落在指定地点.例2已知曲线C的参数方程是（为参数）.（1）判断点，与曲线C的位置关系；（2）已知点在曲线C上，求的值.解：（1）把点的坐标代入方程组，解得，因此在曲线C上.把点的坐标代入方程组，得到这个方程组无解，因此点不在曲线C上.（2）因为点在曲线C上，所以解得.因此，.例3设炮弹发射角为，发射速度为，（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）（2）若，，当炮弹发出2秒时，求炮弹高度和射程解：(1)由物理学知识得(2)若，，当炮弹发出2秒时，所以炮弹高度为80.4m，射程为173.2m.课后练习：1．点在曲线为参数）上，则的值为【】A．—5B．3C．—5或3D．—2或32曲线与坐标轴的交点是【】ABCD3下列在曲线上的点是【】ABCD4．动点M作匀速直线运动，它在轴和轴方向的速度分别是2m/s，5m/s,直角坐标系的长度单位是1m，点M的起点位置在处，则点M的轨迹的参数方程为【】ABCD5．已知曲线的参数方程为，它表示的曲线是【】A直线B圆C椭圆D双曲线6.已知曲线C的参数方程是（为参数），当时，曲线上对应点的坐标是.7.已知弹道曲线的参数方程为（为参数），则炮弹从发射到落回地面所需的时间为.8.已知曲线C的参数方程是（1）判断点与曲线C的位置关系（2）已知点在曲线C上，求的值．参考答案：1．C2．B3．B4．D5．A6.7．8．解：（1）把点的坐标代入方程组，解得，因此在曲线C上.把点的坐标代入方程组，得到这个方程组无解，因此点不在曲线C上.（2）因为点在曲线C上，所以解得.因此，.二、圆的参数方程一、圆的参数方程1.圆心为原点半径为r的圆的参数方程如图，设圆的半径是r，点M从初始位置（t=0时的位置）出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，点M绕点转动的角速度为.以圆心为原点，所在的直线为x轴，建立直角坐标系.显然，点M的位置由时刻t惟一确定，因此可以取t为参数.如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是，那么.设，那么由三角函数定义，有，即这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程.其中参数t有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）.考虑到，也可以取为参数，于是有这也是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程.其中参数的几何意义是绕点逆时针旋转到OM的位置时，转过的角度.2.圆心为原点半径为r的圆的参数方程如图，设圆上任意一点P(x,y)，它是圆O上一点按平移向量平移后得到的，则根据平移公式，有，由于，故这就是圆心为，半径为r的圆的参数方程.二例题选讲例1如图所示，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q（6，0）是轴上的定点，M是PQ的中点.当点P绕作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程.解：设点M的坐标是(),,则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).由中点坐标公式可得因此，点M的轨迹的参数方程是例2把圆化为参数方程.解：方程可化为，所以圆心为（3，0），半径为3.因此，圆的参数方程是例3已知x、y满足,求的最大值和最小值．解：由已知圆的参数方程为故.课后练习：1．半径为3，圆心在点的圆的参数方程为【】A．B．C．D．2．是曲线（为参数）上任意一点，则的最大值为【】A．36B．6C．26D．253．直线：与圆：的位置关系是【】A．相交且过圆心B．相交而不过圆心C．相切D．相离4．点是曲线为参数）上任意一点，则的最大值为【】A．1B．2C．D．5圆的圆心的轨迹是【】A．圆B．直线C．椭圆D．双曲线6．圆的参数方程为．7．点是曲线（为参数）上任意一点，则的最大值为．8.已知点是圆上一个动点，定点，点在线段上，且，当点在圆上运动时，求点的轨迹．参考答案：1．A2．A3．B4．D5．A6.（为参数）7．8．解：设点M的坐标是(),,则点P的坐标是(4cosθ,4sinθ).∵，∴由题设.∴()=∴因此，点M的轨迹的参数方程是.三、参数方程和普通方程的互化一、参数方程和普通方程的互化1.参数方程化为普通方程参数方程化为普通方程的过程就是消参过程.常见方法有三种：代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；三角法：利用三角恒等式消去参数；整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.2.普通方程化为参数方程一般地，如果知道变数，中的一个与参数t的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么就是曲线的参数方程.二、例题选讲例1把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）（为参数）；（2）（为参数）.解：（1）由有代入，得到.又因为，所以与参数方程等价的普通方程是.这是以（1，1）为端点的一条射线（包括端点）.（2）把平方后减去，得到又因为，所以.因此，与参数方程等价的普通方程是，这是抛物线的一部分.例2求椭圆的参数方程：（1）设，为参数；（2）设，为参数.解：（1）把代入椭圆方程，得到，于是，即.由参数的任意性，可取，因此，椭圆的参数方程是（为参数）.（2）把代入椭圆方程，得，于是,即.因此，椭圆的参数方程是（为参数）和（为参数）.例3将参数方程（为参数）化为普通方程，并指出它表示什么曲线.解：∵，∴，即，它表示双曲线.课后练习：1．将参数方程化为普通方程为【】ABCD2．参数方程为表示的曲线是【】A一条直线B两条直线C一条射线D两条射线3．已知直线与直线相交于点，又点，则【】A．2B．C．D．34．参数方程的普通方程为【】A．