亚纯函数差分算子及代数体函数的值分布问题

亚纯函数差分算子及代数体函数的值分布问题Finland著名的数学家R.Nevanlinna在亚纯函数值分布理论的建立过程中有着极大的贡献。二十世纪二十年代,他注意到可以很形象、自然地刻画亚纯函数增长性的特征函数,以及非常重要的两个定理:Nevanlinna第一、二基本定理。这不仅在亚纯函数值分布研究史上具有着里程碑式的意义,同时也成为了研究复分析所不可或缺的一个强大的理论工具。函数的唯一性和分担值之间有着极为紧密的联系。早在1926年,Nevan-linna便利用其值分布理论证明了四值定理和五值定理。在这之后的几十年间,越来越多的数学家们开始涉足这一领域,并且涌现出了大量有关于亚纯函数或者整函数与分担值的唯一性结论。随着Nevanlinna理论不断地深化、成熟和丰富,也在其他众多相关领域,比如动力系统、复微分方程、解析数论、多复变等方面得到了极为广泛的推广和应用,极大地推动了数学的发展。近一个世纪以来,经过国内外众多数学工作者们的深入研究,在亚纯函数的唯一性理论方面已经给出了很多有趣、简洁、完美的结果。其中很重要的是引入了差分、代数体函数和导数,并且结合函数自身来研究其值分布问题。目前虽然已经有很多不错的结论,但仍然有不少问题尚未解决或有待进一步改进和完善。本文在我的导师扈培础教授严格耐心的指导下,认真研读了有关差分算子以及代数体函数方面的大量文献,在前人的基础上对其值分布问题展开了研究工作。主要介绍了Nevanlinna理论在差分算子以及代数体函数中的推广和应用,改进完善了一些己有的结果。首先,对于任意一个亚纯函数及其k阶导数的值分布问题。仪洪勋(见文献[17])在1994年给出了一个值分布定理,并且得到在整函数情形下的推论。2015年,曾翠萍(见文献[18])将该定理推广到了涉及差分算子的有限级亚纯函数中。考虑了形式更为一般的差分算子,将文献[17]中的k阶导数替换成了阶差分算子,相应地也得到了在有限级整函数情形下的一个推论。本文中,我们减弱了曾翠萍(见文献[18])定理的条件,证明了如下结论。定理1.设f(z)和g(z)为亚纯函数,且λ(f)<∞,λ(g)<∞。F(z)和G(z)分别为f(z)与g(z)的一般形式的差分算子,且F(z)≠C,G(z)≠C。如果F(z)和G(z)CM分担1,f(z)和g(z)CM分担∞,且:N(r,1/f)+N(r,g/1)+(3k-1)N(r,f)<(λ+o(1))T(r),其中,0<λ<1,T(r)=max{T(r,f),T(r,g)},那么F.G≡1或F≡G。该定理扩大了k的范围,因此改进了文献[18]中的结论。此时,文献[18]中的推论1(整函数情形)仍是成立的。其次,对于代数体函数的唯一性问题。Ullrich,Valiron,Eremenko和何育赞等已经给出了很多完美简洁的结论。2014年,高宗升与姜云波(见文献[37])深入探讨了代数体函数和其导数的唯一性问题,得到一个唯一性定理。本文中,我们将其定理中的条件“CM分担0”改进为“CM分担任一有限复数”。证明了如下结论:定理2.设w(z)是一个v(v≥2)值代数体函数。w1,w2,…,wv是其v个单值解析分支,b1,b2,…,b2v是互异的2v个有限复数。如果w(z)和w’(z)CM分担b1,b2,…,b2v,且(?)c,R为两个有限非负的实数,使得当|z|=r>时,有|wj(z)|>c和|wj’(z)|>c(j=1,2,…,v),则w(z)三w’(z)。由于代数体函数研究的困难主要就在其分支点上,因此如果我们考虑其分支点相对较少的一类特殊函数,即满足条件Nx(r,w)=o(T(r,w),将会简化研究的难度。对于这一类特殊函数和其导数的唯一性问题。2011年,刘慧芳(见文献[34])证明了如下定理:设w(z)是个v值代数体函数,且Nx(r,w)=o(T(r,w)),b1,b2是互不相同的有穷非零复数。如果w(z)和w’(z)CM分担0,b1,b2,那么wz)三w’(z)。本文中,我们减弱了该定理的条件,证明了“CM分担b1,b2”可替换为“IM分担b1,b2。定理3.设w(z)是一个v值代数体函数,且Nx(r,w)=0(T(r,w))。如果w(z)和w’(z)CM分担0,IM分担互异的两个有穷非零复数b1,b2,那么w(z)=w’(z)。从该定理的证明过程可看出条件“CM分担0”起着很重要的作用。我们进一步证明了“CM分担0”这一特殊条件可用“IM分担三个有穷非零复数”来替代,得到如下结论。定理4.设w(z)是一个v值代数体函数,且Nx(r,w)=o(T(r,w))。如果w(z)和w’(z)IM分担互异的五个有穷非零复数b1,b2,…,b5,那么w(z)=w’(z)。显然,定理3和定理4改进和推广了刘慧芳的结论。本文分为以下三章。第一章,叙述了本文所需的一些基础知识。简洁扼要地介绍了Nevan-linna理论的基本定义、相关记号及一些重要结果。第二章,我们探讨了有限级亚纯函数一